1、大一轮复习讲义 第二章函数概念与基本初等函数 2.7函数与方程 考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在性定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 知识梳理 1.函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数y
2、f(x)有 . f(x)0 零点 x轴 (3)函数零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且 有 ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在 c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的根. 2.二分法二分法 对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系 000)的图象 与x轴的交点_无交点 零点个数210 (x1，0)，(x2，0)(x1，0) 微思
3、考 1.函数f(x)满足什么条件，才能保证f(x)在(a，b)上有唯一零点. 提示f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上有 且仅有一个零点. 2.能否用二分法求任意方程的近似解. 提示不能.用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应 的函数在零点附近连续不断，二是该零点左、右的函数值异号. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.() (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上没有零点.(
4、) (4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是 解析对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相 同的，故不能用二分法求解. 3.已知函数yf(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表： x123456 y124.4357414.556.7123.6 则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)， (3,4)，(4,5)内均有零点，所以yf
5、(x)在1,6上至少有3个零点. 4.若函数f(x)x24xa存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是 _. (，4) 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数a的值为 解析当a0时，f(x)x1， 令f(x)0得x1， 故f(x)只有一个零点为1. 当a0时，则14a0， 6.若函数f(x)axb有一个零点2，则函数g(x)bx2ax的零点是 _. 解析由题意知2ab0，则b2a， 令g(x)bx2ax0， TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 1.(2021开封模拟)函数f(x)xln x3的零点所在的区间为 A.(0,1
6、) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 题型一函数零点所在区间的判定 自主演练 解析f(x)在(0，)上单调递增， 且f(2)ln 210， 故f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选C. 2.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两 个零点分别位于区间 A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内 解析函数yf(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点， 由于abc，则ab0，ac0，bc0，f(b)(bc)(ba)0. 所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0， 令f(x)0
7、x3， f(x)00 x3， f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，)上单调递增， f(x)在(1，e)内有零点. 4.已知2a3b4，方程logaxxb的解x0(n，n1)，nN*，则n _.2 解析方程logaxxb的解， 即为函数f(x)logaxxb的零点， x0为f(x)logaxxb的零点， 2a3b4， f(x)在(0，)上单调递增， 又f(2)loga22b0， x0(2,3)，即n2. 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象 是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必 有
8、零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有 交点来判断. 思维升华 题型二函数零点个数的判定 师生共研 例1(1)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析方法一f(0)f(1)(1)110， 且函数在定义域上单调递增且连续， 函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. 方法二设y12x，y22x3， 在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示， 在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数. 故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. (2)已知函数yf(x)是周期为2的周期函数，且当x1
9、，1时，f(x)2|x| 1，则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是 A.9 B.10 C.11 D.18 解析由函数yf(x)的性质，画出函数yf(x)的图象，如图，再作出函 数y|lg x|的图象， 由图可知，yf(x)与y|lg x|共有10个交点， 故原函数有10个零点. 函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续不断的 曲线，且f(a)f(b)0)， yln x(x0)的图象，如图所示. 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. (2)函数ylg
10、|x|sin x的零点个数为_.6 解析在平面直角坐标系中，分别作出ylg|x|与ysin x的图象， 如图所示， 由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点. 核心素养题型三函数零点的应用 命题点1根据函数零点个数求参数 例2已知函数f(x) (aR)，若函数f(x)在R上有两个零 点，则实数a的取值范围是 A.(0,1 B.1，) C.(0,1) D.(，1 解析画出函数f(x)的大致图象如图所示. 因为函数f(x)在R上有两个零点， 所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点. 当x0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需a0. 综上，0a1. 命题点2根据
11、函数零点范围求参数 例3函数f(x)x2xkx2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围 是_. (0,3) 解析令f(x)0，x2xkx20， 且(1)0，(2)3. 0k0且a1)的两个零点是m，n，则 A.mn1 B.mn1 C.0mn1 D.以上都不对 结合图象可知0m1， 所以0mn1，故选C. (1)已知函数的零点求参数，主要方法有：直接求方程的根，构建方程 (不等式)求参数；数形结合；分离参数，转化为求函数的最值. (2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个 函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满 足条件的参数范围. (3)函数
12、零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分 析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养. 素养提升 解析作出函数f(x)的图象如图， 因为关于x的方程f(x)2a恰有两个不同实根， 所以y2a与函数yf(x)的图象恰有两个交点， 结合图象， KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.函数f(x)ln x 的零点所在的区间是 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 且在(1，)上连续. 因为f(2)ln 220， 所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2,3
13、). 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.(2021青岛模拟)已知xa是函数f(x)2x 的零点，若0 x00 C.f(x0)0 D.f(x0)的符号不确定 解析f(x)2x 在(0，)上单调递增，且f(a)0， 1 2 log x 1 2 log x 又0 x0a，f(x0)f(a)0，即f(x0)0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 解析借助余弦函数的图象求解.f(x)xcos 2x0 x0或cos 2x0， 故原函数有5个零点. 123456
14、78910 11 12 13 14 15 16 4.(2020济宁模拟)若函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实 数a的取值范围是 A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 解析由条件可知f(1)f(2)0， 即(22a)(41a)0，即a(a3)0， 解得0a0时，由f(x)ln x0，得x1. 因为函数f(x)有两个不同的零点， 则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点. 令f(x)0，得a2x. 因为02x201， 所以0a1，所以BC正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14
15、15 16 作出其函数图象如图所示： 由图可知，x1x22，2x11； 由f(x3)f(x4)，得|log2x3|log2x4|， 即log2x3log2x40， 所以x3x41， 由图可知0k1，故选BCD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知函数f(x) a的零点为1，则实数a的值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 1和1 解得x1或x1， f(x)的零点为1和1. 9.已知函数f(x)|1x2|a，若f(x)有四个零点，则实数a的取值范围是 _. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1,0) 解析
16、函数yf(x)有四个零点， 即ya与y|1x2|有四个交点， 作出函数y|1x2|的图象如图， 由图可知0a1，即1a0. 10.已知函数f(x) 若函数yf(f(x)m)有四个零点，则实数m 的取值范围是_. 3，1) 解析令f(x)0 x2或1. 令f(f(x)m)0得f(x)m2或f(x)m1， f(x)2m或f(x)1m. 作出yf(x)的图象，如图所示. yf(f(x)m)有四个零点， f(x)2m，f(x)1m各有两个根， 解得3m0). (1)作出函数f(x)的图象； 解函数f(x)的图象如图所示. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)当0ab且f(
17、a)f(b)时，求 的值； 故f(x)在(0,1上单调递减，在(1，)上单调递增， 由0ab且f(a)f(b)，得0a1b， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围. 解由函数f(x)的图象可知， 当0m1时， 方程f(x)m有两个不相等的正根， 即实数m的取值范围为(0,1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.(2020长沙统考)已知函数f(x)|ex1|1，若函数g(x)f(x)2f(x) a有三个零点，则实数a的取值范围是 A.(2，1) B.(1,0) C.(
18、0,1) D.(1,2) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析作出f(x)的图象如图所示， 令g(x)0，f(x)2或f(x)a， f(x)2有一解， f(x)a有两解. 由图知1a2， 即2a0)恰有三个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)为偶函数，且T2， 当x0,1时，f(x)2x， 作出函数yf(x)的图象如图， 方程axaf(x)0(a0)有三个解， 即yf(x)与yaxa有三个交点， 又yaxaa(x1)恒过定点(1,0)， 12345678910 11 12 13 14 1
19、5 16 拓展冲刺练 15.对于函数f(x)和g(x)，设x|f(x)0，x|g(x)0，若存在， 使得|1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)ex1 x2与g(x)x2ax1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 A. B.2，) C.2,2 D.(，22，) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)ex1x2，f(x)在R上单调递增， 又f(1)e0120， f(x)有唯一零点为1， 令g(x)的零点为x0， 依题意知|x01|1，即0 x02， 即函数g(x)在(0,2)上有零点， 令g(x)0，则x2ax10在(0,2)上有解， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意知，当x0时， 作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象的对称性可知，x1x26，x4x56，x1x2x4x50， 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
