1、 2 金融数量方法金融数量方法 Quantitative Methods in Finance 3 课前说明课前说明 o 课程性质：专业选修课（考查）课程性质：专业选修课（考查） o 教学时间：第教学时间：第1 1周周-16-16周周 o 教学学时：教学学时：3232课时课时 o 考核成绩：考核成绩：总评成绩总评成绩= =平时成绩平时成绩30%+30%+期末成绩期末成绩70%70% o 授课方式：课堂讲授授课方式：课堂讲授+ +课中后练习课中后练习 4 主要参考文献主要参考文献 1.1. 英英 特里特里J. J. 沃特沙姆；基思沃特沙姆；基思帕拉莫尔著，陈工帕拉莫尔著，陈工 孟，陈守东译：孟，
2、陈守东译：金融数量方法金融数量方法，上海人民出版，上海人民出版 社，社，20042004。 2. 2. 美美Sheldon M. RossSheldon M. Ross著，陈典发著，陈典发 等译：等译：数理金融数理金融 初步初步，机械工业出版社，机械工业出版社，20052005。 3.3.张树德张树德 编著编著金融数量方法教程金融数量方法教程，经科出版社，经科出版社， 20102010年年8 8月月 4.4.约翰约翰赫尔赫尔 著，张陶伟译：著，张陶伟译：期权、期货和衍生证期权、期货和衍生证 券券，华夏出版社，华夏出版社，19971997 5. 5. 郑志勇：郑志勇：金融数量分析金融数量分析基于
3、基于MATLABMATLAB编程编程，北，北 京航空航天大学出版社，京航空航天大学出版社，20092009 6. 6. 杨云红编著：杨云红编著：金融经济学金融经济学，武大出版社，武大出版社，20062006 5 本课程特点本课程特点 o 1. 注重金融学中使用的定量方法，量化投资模型注重金融学中使用的定量方法，量化投资模型 （包括数学工具）及其应用（包括数学工具）及其应用 o 2.需要一定量的理论推导需要一定量的理论推导 o 3.有些内容与金融经济学内容重复，但侧重背后的有些内容与金融经济学内容重复，但侧重背后的 理论方法理论方法 o 4. 可能有些难度可能有些难度 6 内容简介内容简介 o
4、本课程的内容含量较大，信息量较多。从涉及的学科分本课程的内容含量较大，信息量较多。从涉及的学科分 支来看，将涉及高等数学、线性代数、概率论与数理统支来看，将涉及高等数学、线性代数、概率论与数理统 计、运筹学、西方经济学、计量经济学、多元统计分析、计、运筹学、西方经济学、计量经济学、多元统计分析、 投入产出学、投资学、金融学等多个分支。投入产出学、投资学、金融学等多个分支。 o 该课程将全面地、系统地、深入浅出地讲授数量分析方该课程将全面地、系统地、深入浅出地讲授数量分析方 法，以及其如何应用于经济问题中，从而解释和解决实法，以及其如何应用于经济问题中，从而解释和解决实 际金融现象，不仅使学生更
5、好地体会和掌握数量分析方际金融现象，不仅使学生更好地体会和掌握数量分析方 法的思想精髓，而且使他们基本把握分析实际问题的关法的思想精髓，而且使他们基本把握分析实际问题的关 键因素，可以说它是一门集数量分析方法与金融学应用键因素，可以说它是一门集数量分析方法与金融学应用 于一体的综合性课程，具有交叉学科的属性。于一体的综合性课程，具有交叉学科的属性。 o 具体来说，本课程在简介数量分析方法的思想精具体来说，本课程在简介数量分析方法的思想精 髓的基础上，重点对其在经济领域中的大量应用实例进髓的基础上，重点对其在经济领域中的大量应用实例进 行详细和深入的剖析。由于总学时所限，本课程内容共行详细和深入
6、的剖析。由于总学时所限，本课程内容共 分如下六章。分如下六章。 7 本课程主要内容体系本课程主要内容体系 oCH1 金融中的微分法金融中的微分法 oCH2 数据描述与描述统计学数据描述与描述统计学 oCH3 金融中的概率方法金融中的概率方法 oCh4 金融中的优化方法金融中的优化方法 oCH5 金融计量学方法金融计量学方法 oCH6 金融衍生品定价中的数量方法金融衍生品定价中的数量方法 8 CH1 金融中的微分法金融中的微分法 o 主要内容主要内容 o 1.1 微分法基础微分法基础 o 1.2 金融中的微分法金融中的微分法 9 1.1 1.1 微分法基础微分法基础 o主要内容主要内容 一、极限
7、的概念及其性质一、极限的概念及其性质 二、一阶导数和高阶导数概念及其几何意义二、一阶导数和高阶导数概念及其几何意义 三、三、Taylor级数展开及其近似逼近级数展开及其近似逼近 10 一、极限的概念及其性质一、极限的概念及其性质 . 函数在某一点的极限函数在某一点的极限 定义：定义： 2. 重要极限之一：重要极限之一： 3. 极限性质：四则运算极限性质：四则运算 1 (1) lim x x e x 11 二、一阶导数与二阶导数及其几何意义二、一阶导数与二阶导数及其几何意义 o 在经济和金融问题中常用到变化率的概念，而变在经济和金融问题中常用到变化率的概念，而变 化率又分为化率又分为平均变化率与
8、瞬时变化率。平均变化率与瞬时变化率。 o 平均变化率主要用于离散问题的分析，意思平均变化率主要用于离散问题的分析，意思就是就是 函数增量和自变量增量之间的比率。用符号表示函数增量和自变量增量之间的比率。用符号表示 为为 y/y/x x o 瞬时变化率则是指自变量连续变化的情形，也就瞬时变化率则是指自变量连续变化的情形，也就 是某一个是某一个函数关于自变量的导数，即当自变量增函数关于自变量的导数，即当自变量增 量趋于零时的平均变化率的极限。用符号表示为量趋于零时的平均变化率的极限。用符号表示为 x y dx dy x 0 lim 12 1. 1. 一阶导数的概念一阶导数的概念 o 如果函数如果函
9、数y=f(x)y=f(x)在在x0 x0 可导，则在范围（可导，则在范围（x0, x0+x0, x0+x x） 内的内的平均变化率为平均变化率为 o 而在而在x=x0 x=x0处的处的瞬时变化率瞬时变化率为为 o 可见，瞬时变化率就是可见，瞬时变化率就是函数在某一点的导数。表示函数在某一点的导数。表示 切线的斜率数值切线的斜率数值 o 在经济学中，将这两种变化率统称为在经济学中，将这两种变化率统称为y在在x=x0前一前一 个单位时个单位时y的边际变化。的边际变化。 o 区别是前者在实际应用中常用于有函数形式下的离区别是前者在实际应用中常用于有函数形式下的离 散情形，而后者则用于已知函数条件下的
10、连续情形。散情形，而后者则用于已知函数条件下的连续情形。 0 x x y 13 o 若导数值在某一区间恒大于若导数值在某一区间恒大于0，则是递增函，则是递增函 数，即数，即f(x)随着随着x的变大（或小）而增大的变大（或小）而增大 （或减少）。（或减少）。 o 一阶导数常用来判定函数的单调增减性。一阶导数常用来判定函数的单调增减性。 14 2. 2. 高阶导数的概念及其几何意义高阶导数的概念及其几何意义 o 实际上，对于任意给定的实际上，对于任意给定的x,一阶导数仍一阶导数仍 然是自变量然是自变量x的函数，故称为导函数的函数，故称为导函数 o 那么，我们称一阶导函数的导数为原来函那么，我们称一
11、阶导函数的导数为原来函 数的二阶导数数的二阶导数 o 其符号表示曲线的弯曲方向，即凹凸性。其符号表示曲线的弯曲方向，即凹凸性。 o 其几何意义为函数变化率随其几何意义为函数变化率随x变动的变化变动的变化 率，常常用来判定函数的极大值，还是极率，常常用来判定函数的极大值，还是极 小值。如，恒小于小值。如，恒小于0，则表明切线斜率函，则表明切线斜率函 数递减，函数有极大值。数递减，函数有极大值。 ( ) dy fx dx 2 2 ( ) d y fx dx 15 3.隐函数及其求导公式隐函数及其求导公式 （1） 隐函数的定义：隐函数的定义： 已知二元方程已知二元方程F( x, y)=0 , 满足该
12、方程的两个变满足该方程的两个变 量量x与与y之间就存在一个对应，即任意给定之间就存在一个对应，即任意给定x的数的数 值，就有确定的值，就有确定的y的数值与之对应，从数学角度的数值与之对应，从数学角度 看，该对应就是一个函数，即看，该对应就是一个函数，即 任意一个任意一个x y 称该对应确定的函数为称该对应确定的函数为y对对x的隐函数的隐函数 ,用符号表示为用符号表示为 y=f(x)。如，。如，x+y=0 之所以称为隐函数就是因为在多数情况下，不能将之所以称为隐函数就是因为在多数情况下，不能将y 写成写成x的显函数形式。的显函数形式。 例如，方程例如，方程 确定了一个隐函数确定了一个隐函数y=f
13、(x) 1 22 yx 16 o 上述定义仅仅说明，由任何一个二元方程上述定义仅仅说明，由任何一个二元方程在在 一定条件下一定条件下，就能确定一个隐函数，这属于，就能确定一个隐函数，这属于 隐函数的确定问题。隐函数的确定问题。 o 在隐函数确定了以后，我们还需要进一步求在隐函数确定了以后，我们还需要进一步求 出该函数关于自变量的变化率，即隐函数的出该函数关于自变量的变化率，即隐函数的 导数如何计算？导数如何计算？ 17 （2 2）隐函数的求导公式）隐函数的求导公式 o 于是，该隐函数关于自变量的于是，该隐函数关于自变量的 导数的计算公式为导数的计算公式为 o 注意，这是有条件的，而且公注意，这
14、是有条件的，而且公 式前面有负号。式前面有负号。 o 这说明一元的隐函数的导数可这说明一元的隐函数的导数可 借助于已知的二元显函数的偏借助于已知的二元显函数的偏 导数来表示导数来表示 o 关于隐函数的存在和求导问题关于隐函数的存在和求导问题 在经济学中常常用于均衡分析在经济学中常常用于均衡分析 （均衡的确定）及其比较静（均衡的确定）及其比较静 态分析（均衡的变动）。态分析（均衡的变动）。 )( )( y F x F dx dy 18 三、三、Taylor Taylor 级数展开级数展开 o 基本思想基本思想：把一个复杂的、非线性函数近似表示为简单：把一个复杂的、非线性函数近似表示为简单 的函数
15、，即用简单的函数去近似一个复杂函数，其有利的函数，即用简单的函数去近似一个复杂函数，其有利 工具就是级数的展开。工具就是级数的展开。 o 一般公式为一般公式为 o 这表明任何一个复杂的函数可表示为无穷多项简单的幂这表明任何一个复杂的函数可表示为无穷多项简单的幂 函数之和。函数之和。 o 当然，当然，x可以选取所喜欢的任何一点去近似或逼近。可以选取所喜欢的任何一点去近似或逼近。 o 当当h很小时，很小时，即在即在x附近的函数值，就可以省略掉后面的附近的函数值，就可以省略掉后面的 无穷多项，而只用前面的有限项的近似值来代替。无穷多项，而只用前面的有限项的近似值来代替。 o 如可用右边的线性函数（可
16、根据需要选择一阶或二阶、如可用右边的线性函数（可根据需要选择一阶或二阶、 甚至高阶来近似）来近似。表达式会写吗？甚至高阶来近似）来近似。表达式会写吗？ o 二阶近似表达式呢？二阶近似表达式呢？ 2 ()( )( )( ). 2! h f xhf xfxhfx 19 o 当当x x 在在x0 x0附近变化很小时，可以只取一附近变化很小时，可以只取一 阶导数部分来近似，即作为一阶近似值，阶导数部分来近似，即作为一阶近似值， Y Y值的变化可以通过沿着直线，而非曲线值的变化可以通过沿着直线，而非曲线 移动取近似值。移动取近似值。 000 ( )()()()f xf xfxxx 20 图像图像 21
17、1.21.2金融中的微分法金融中的微分法 o 一、货币时间价值及其应用一、货币时间价值及其应用 o 二、使用二、使用Taylor级数估计债券价格的收益级数估计债券价格的收益 率曲线率曲线 o 三、使用微分度量债券价格的风险三、使用微分度量债券价格的风险 o 四、债券的凸性四、债券的凸性 22 一、货币时间价值及其应用一、货币时间价值及其应用 o 所谓货币的时间价值，是指一定量的货币在不同时点上所谓货币的时间价值，是指一定量的货币在不同时点上 的价值量的差额。对其定义有以下几种：的价值量的差额。对其定义有以下几种： o 众所周知，在市场经济条件下，既使不存在通货膨胀，众所周知，在市场经济条件下，
18、既使不存在通货膨胀， 等量的货币在不同时点上的价值量也不相等。今天的等量的货币在不同时点上的价值量也不相等。今天的1 元钱与明年的元钱与明年的1元钱是不等值的，前者要比后者的价值元钱是不等值的，前者要比后者的价值 大。大。 o 比如，若银行的年利率为比如，若银行的年利率为6%，今天的，今天的1元钱存入银行，元钱存入银行， 一年以后就会是一年以后就会是1.06元。可见，经过一年时间，这元。可见，经过一年时间，这1 元钱就有了元钱就有了0.06元的增值，也就是说，今天的元的增值，也就是说，今天的1元钱元钱 与一年后的与一年后的1.06元钱等值。我们将货币（资金）在使元钱等值。我们将货币（资金）在使
19、 用过程中随时间推移而发生的增值现象，用过程中随时间推移而发生的增值现象，称为货币具有称为货币具有 时间价值的属性。时间价值的属性。 23 Note: 资金时间价值与利率不同资金时间价值与利率不同 o 资金时间价值：资金时间价值：指没有风险和通货膨胀下的指没有风险和通货膨胀下的 社会平均资金利用率。社会平均资金利用率。 o 利率：利率：不仅包含着资金时间价值，而且也有不仅包含着资金时间价值，而且也有 风险价值和通货膨胀因素。风险价值和通货膨胀因素。 实务上实务上：通货膨胀率很低通货膨胀率很低情况下可以用政府债情况下可以用政府债 券利率来表示时间价值。券利率来表示时间价值。 24 一、货币时间价
20、值及其应用一、货币时间价值及其应用 在金融学、投资学以及财务管理中，货币（资金）的在金融学、投资学以及财务管理中，货币（资金）的 时间价值问题具有广泛的应用。时间价值问题具有广泛的应用。 其中其中,两个最重要的概念是现值两个最重要的概念是现值(Present Value)与与 终值（终值（Final Value）. 现值现值是指将来得到或支付的一笔资金在今天的价值。是指将来得到或支付的一笔资金在今天的价值。 终值终值是指今天得到或支付的某笔资金在将来某时刻的是指今天得到或支付的某笔资金在将来某时刻的 价值。价值。 计算现值的过程称作计算现值的过程称作贴现（贴现（Discounting），），计
21、算计算 终值的过程称作终值的过程称作复利复利(compounding) 。 25 （一）货币的终值（一）货币的终值 o 例如，例如，你今天存入银行你今天存入银行1000元，存期为元，存期为1 年，在年利率为年，在年利率为6%的条件下，一年后将得的条件下，一年后将得 到本金与利息的总和，共计到本金与利息的总和，共计 1000+60=1060元。也就是这笔资金在元。也就是这笔资金在 一年后时刻的终值。一年后时刻的终值。 o 那么，本息之和与哪些因素有关呢？那么，本息之和与哪些因素有关呢？ 26 从中可以看出，一笔资金的终值大小取决从中可以看出，一笔资金的终值大小取决 于以下几个因素：于以下几个因素
22、： 1.利率（利率（rate of interest）：）：r or i 2.存款期限存款期限(time to maturity): n 3.计息方式计息方式 o 包括：单利包括：单利(simple interest) , o 复利复利(compound interest) o 如果是复利计息的话，还要考虑计息频率、如果是复利计息的话，还要考虑计息频率、 (frequency of the compounding) 27 （一）单利（一）单利 1. 单利的终值（单利的终值（F） o 单利单利，是指每期都按照初始本金计算利息，当期利息，是指每期都按照初始本金计算利息，当期利息 即使不取出也不计入
23、下一期本金，即计息本金额始终即使不取出也不计入下一期本金，即计息本金额始终 为初始本金为初始本金 ，保持不变。，保持不变。 o 单利特点：只有单利特点：只有本金计息，利息不计息。本金计息，利息不计息。 o 例：本金例：本金10000元，年利息率为元，年利息率为10%，期限，期限3年，年， 则则3年后的本息和为：年后的本息和为： o 10000（110%3）13000元元 o 单利终值单利终值=本金本金+单利利息单利利息 o =P+Pin=P(1+in) (1)FPi n 28 2. 单利现值：是单利终值计算的逆运算单利现值：是单利终值计算的逆运算 1 (1) 1 F PFi n i n 比如，
24、比如，你打算你打算5年后积蓄到年后积蓄到10万元，若现万元，若现 在的年利率为在的年利率为4%，则现在应该一次性存，则现在应该一次性存 入银行多少钱？（按照目前银行的单利计入银行多少钱？（按照目前银行的单利计 算）算） 29 （二）复利的终值与现值（二）复利的终值与现值 复利计息特点：复利计息特点：不仅本金计息，利息也计息。不仅本金计息，利息也计息。 俗称俗称“利滾利利滾利” 年年期初金额（本金或期初金额（本金或 现值）现值） 利息利息期末金额期末金额 （本息和，（本息和， 即终值）即终值） 110000100011000 211000110012100 312100121013310 假设年
25、利率为假设年利率为 10% 30 例：一次投资例：一次投资100元，利息为每年元，利息为每年10，各年末的终值，各年末的终值 为为 一年后：一年后：100（1+10%）110 1211 . 11001 . 11 . 1100 2 二年后二年后： 5年后年后： . 100 1.1 1.1100 1.15 用复利方式计算终值用复利方式计算终值 31 1. 复利计息下的终值复利计息下的终值 o 复利终值，是指一定量的本金复利终值，是指一定量的本金按照复利计按照复利计 算若干期后的本利和（价值）。算若干期后的本利和（价值）。 o 若每年计息一次复利，某笔资金若每年计息一次复利，某笔资金P在年利率在年利
26、率 为为i 的条件下的条件下, n年后的终值的计算公式为年后的终值的计算公式为 o 其经济意义是什么？其经济意义是什么？ (1) (1).(1)(1) n FVPiiiPi (1 ) n i 复利终值系数，记为复利终值系数，记为 (F/P，i，n),书后面有书后面有 附录附录A可查出其值可查出其值 32 复利计息的收益变化规律是，复利计息的收益变化规律是， o在最初较短的时间内，终值（收在最初较短的时间内，终值（收 益）增速比较缓慢，但随着时间益）增速比较缓慢，但随着时间 的推移，收益就呈现几何级数的的推移，收益就呈现几何级数的 增长态势，并且时间越长，收益增长态势，并且时间越长，收益 的增长
27、速度变得越高。的增长速度变得越高。 o从数学角度看，这是指数函数，从数学角度看，这是指数函数， 它的图形你会画吗？它的图形你会画吗？ (1) x yaa 33 理财学中有著名的理财学中有著名的“72法则法则” o 若存入若存入1元钱，且年利率为元钱，且年利率为1%，则大约经，则大约经 过过72年后，其值就会翻番至年后，其值就会翻番至2元。元。 o 若年利率为若年利率为2%,则需要多少年呢？则需要多少年呢？ o 你能否给出一般性公式？你能否给出一般性公式？ 34 复利的魔力 o 在金融实务和现实经济生活中，人们利用复在金融实务和现实经济生活中，人们利用复 利原理进行长期投资具有神奇和巨大的威力。
28、利原理进行长期投资具有神奇和巨大的威力。 o 著名科学家著名科学家阿尔伯特阿尔伯特爱因斯坦爱因斯坦曾将其认为：曾将其认为： 复利是世界上的最奇异的现象，复利是世界上的最奇异的现象，它的奥秘在于它的奥秘在于 既简单又不可思议，是投资理财的重要基础既简单又不可思议，是投资理财的重要基础 原理之一。原理之一。 35 前面的计息方式是一年复利一次。前面的计息方式是一年复利一次。 但在许多金融交易中，复利计算的频率比一年但在许多金融交易中，复利计算的频率比一年1次要多，次要多， o 例如，利息经常是按照季度、月度加入到本例如，利息经常是按照季度、月度加入到本 金中的，于是会更早些时候计算利息加入到金中的
29、，于是会更早些时候计算利息加入到 本金中，且利息本身会更早的获得新利息。本金中，且利息本身会更早的获得新利息。 o 一般的，若一年复利计息次数为一般的，若一年复利计息次数为m, 那么那么n 年年 后的本息和，即复利终值则为后的本息和，即复利终值则为 (1)mn r FVP m 每期利每期利 率率 计算复利计算复利 的总次数的总次数 36 例如，存入例如，存入10001000元，年利率为元，年利率为6%6%，按照季，按照季 度计算复利，则度计算复利，则3 3年后的终值为年后的终值为 o 可以看出，把年计息改为按照季度计息会得可以看出，把年计息改为按照季度计息会得 到更多的利息，即终值会更大一些（
30、请问按到更多的利息，即终值会更大一些（请问按 照年复利计算的终值是多少？）。照年复利计算的终值是多少？）。 4 312 0.06 1000(1)1000 1.0151195.618 4 37 可以想象和证明，当计息频率可以想象和证明，当计息频率m m越来越频越来越频 繁时，以至于每时每刻都计息，则会导致繁时，以至于每时每刻都计息，则会导致 终值越来越大。终值越来越大。 o 当当m无限增大时（计息频率无限大）无限增大时（计息频率无限大） ,复利终值是复利终值是 不会无限增加的，会收敛到某个有限的常数值。不会无限增加的，会收敛到某个有限的常数值。 o 这就是极限方法的一个重要应用，称为连续复利这就
31、是极限方法的一个重要应用，称为连续复利 (continuous compounding)。 o 其经济意义是，随着计息频率无穷大以至于利息被其经济意义是，随着计息频率无穷大以至于利息被 不间断的增加到本金中，导致本金呈现指数增长。不间断的增加到本金中，导致本金呈现指数增长。 o 其中其中e为指数常数，近似为为指数常数，近似为2.71828 (1) mnr n m r FVPPe m Lim 38 2. 连续复利的作用连续复利的作用 o 很多金融学理论中都用到连续复利的假设很多金融学理论中都用到连续复利的假设 o 期权定价模型中也使用了连续复利。期权定价模型中也使用了连续复利。 o 另外另外，把
32、具有不同计息频率的利率转化为相，把具有不同计息频率的利率转化为相 应的连续复利也便于利率之间的比较。应的连续复利也便于利率之间的比较。 o 因此，分期复利率与连续复利之间的转化就因此，分期复利率与连续复利之间的转化就 成为必要成为必要 rn FVPe 39 3. 把把分期复利率分期复利率转化为相应的转化为相应的连续复利连续复利 率率 o条件条件：某笔资金投资于连续复利：某笔资金投资于连续复利 率率(continuous compounding)得到的终值，得到的终值， 与投资于相应的分期复利率与投资于相应的分期复利率 (discrete compounding ) 下的终值相等下的终值相等 o
33、因此因此 o容易解得：容易解得： o例如，与年利率例如，与年利率6%，按季度计，按季度计 息的分期复利相对应的连续复利息的分期复利相对应的连续复利 率为率为 o显然，比分期利率要小，显然，比分期利率要小，Why? 请思考如何直观理解！请思考如何直观理解！ (1) cc r nmndc r PeP m ln(1) dc cc r rm m 0.06 4ln(1)40.0148895.955% 4 cc r 40 4. 把把连续复利率连续复利率转化为相应的转化为相应的分期复利分期复利 率率 o 根据等式根据等式 o 解得：解得： o 例如，假设连续复利率每例如，假设连续复利率每 年为年为12.5%
34、，那么相应，那么相应 的每年的每年4次计息的分期复次计息的分期复 利率为利率为 o 显然，比连续复利率要大，显然，比连续复利率要大， Why? 请思考！请思考！ (1) cc r nmndc r PeP m exp()1 cc dc r rm m 0.125 4exp()112.7% 4 dc r 41 5.复利的现值复利的现值 例如例如：某人存入一笔钱，想：某人存入一笔钱，想5 5年后得到年后得到1010万，若银行万，若银行 存款年利率为存款年利率为5%5%，请问：现在应一次性存入多少？，请问：现在应一次性存入多少？ 答案答案：单利：单利：P=S/P=S/（1+n1+ni i）=10/=10
35、/（1+51+55%5%）= 8= 8（万元）（万元） 复利：复利：P P =S=S（1+i1+i）-n -n =10 =10（1+5%1+5%）-5 -5 =10 =100.7835 = 7.8350.7835 = 7.835（万元）（万元） 这就是复利的现值计算了！这就是复利的现值计算了！ 42 5. 复利的现值复利的现值 o 复利现值复利现值，就是指未来时点上收到或支付，就是指未来时点上收到或支付 的一笔款项，按照某个利率所计算出的现的一笔款项，按照某个利率所计算出的现 值。它是终值的逆运算。值。它是终值的逆运算。 o 其优点是其优点是，通过计算，通过计算现值，能够使得在未现值，能够使得
36、在未 来不同时点上发生的若干笔现金流可以比来不同时点上发生的若干笔现金流可以比 较，因而它们可以被加总。较，因而它们可以被加总。 o o 复利现值的计算公式：复利现值的计算公式： (1) n PVFi (1) n i 复利现值系数，复利现值系数， 记为记为(P/F，i， n), 可查附录可查附录B查查 出值出值 复利终值系数与复利现值系数互为倒数！复利终值系数与复利现值系数互为倒数！ 复利现值系数的经济意义是什么？复利现值系数的经济意义是什么？ 43 6. 分期复利现值与连续复利现值分期复利现值与连续复利现值 rn rn CF PVCF e e 为了能把未来不同时刻到期的不同现金流为了能把未来
37、不同时刻到期的不同现金流 价值进行比较，就需要把未来现金流贴现价值进行比较，就需要把未来现金流贴现 成他们的现值。成他们的现值。 同样，金融实务中，也经常遇到一年中计同样，金融实务中，也经常遇到一年中计 息频率多于息频率多于1次，其现值计算公式为次，其现值计算公式为 当复利计息次数当复利计息次数m无限大时，就成为无限大时，就成为连续连续 复利现值，复利现值，或者叫做或者叫做连续贴现连续贴现： 此时称此时称利率为贴现率利率为贴现率。 显然，现值与贴现率成反比，显然，现值与贴现率成反比， (1)rm CF PV r m 44 （二）货币时间价值的应用（二）货币时间价值的应用 o 1. 抵押贷款问题
38、抵押贷款问题 o 住房抵押（按揭）贷款是一种常见的贷款形住房抵押（按揭）贷款是一种常见的贷款形 式，其特点是在给定的利率下，在贷款期内式，其特点是在给定的利率下，在贷款期内 债务人周期性的进行等额的还款支付。债务人周期性的进行等额的还款支付。 o 在抵押的初期，本金最大，每月的还款支付在抵押的初期，本金最大，每月的还款支付 额主要是利息支付，其本金偿付很少。但随额主要是利息支付，其本金偿付很少。但随 着本金的减少，用于偿还本金的数额在增加。着本金的减少，用于偿还本金的数额在增加。 45 例如，例如，以等额还款的方式，偿还以等额还款的方式，偿还20年期、年复利利率为年期、年复利利率为 10%的抵
39、押贷款的抵押贷款100，000元，分别求每年和每月的还元，分别求每年和每月的还 款额为多少？款额为多少？ o 分析分析：假设每年末的还款额为：假设每年末的还款额为X，则第二年初的债，则第二年初的债 务余额为务余额为100，0001.1 -X; o 同理，第三年初的债务余额为同理，第三年初的债务余额为 （100，0001.1 -X）1.1-X =100，0001.12 -1.1X-X 重复上述过程重复上述过程20次，就得到第次，就得到第21年初的债务表达式，年初的债务表达式， 此时应该正好还清债务，即此时应该正好还清债务，即 其中，括弧内是等比数列的前其中，括弧内是等比数列的前20项之和。项之和
40、。 201918 100000 1.10(1.101.10. 1.101)0X 46 化简后得到方程为化简后得到方程为 o 解方程，解得每年的解方程，解得每年的 还款额为：还款额为： o 对于一般贷款问题对于一般贷款问题，若贷款总额为，若贷款总额为P， 偿还偿还n年，年利率为年，年利率为r，其，其每年的等额还每年的等额还 款额的公式为款额的公式为 20 20 20 1.101 100000 1.10()0 1.101 100000 1.1057.2750 X X 11745.96X (1)1 (1)()0 (1)1 (1) (1)1 n n n n r PrX r Prr X r 现行居民购房
41、现行居民购房 按揭贷款的每按揭贷款的每 年还款额是计年还款额是计 算公式算公式 如果是月如果是月 供应该是供应该是 多少？多少？ 47 如果进一步计算现实生活中按如果进一步计算现实生活中按每月的等额还款每月的等额还款，则需要把，则需要把 上述的年利率转化为等价的月利率的同时，还需要把偿还上述的年利率转化为等价的月利率的同时，还需要把偿还 次数修改为次数修改为240次，仍用次，仍用X表示月供额表示月供额 o 假设等价的月度复利因子假设等价的月度复利因子 是是C，那么有，那么有 o 那么关于那么关于X的方程为的方程为 o 代入代入C值得：值得： o 显然，这种月度还款方式显然，这种月度还款方式 比
42、年度还款方式一年下来比年度还款方式一年下来 少支付大约少支付大约500元，元， WHY？ 12 12 1.10, C= 1.101.007974 C 故 240 240 C1 100000C()0 C1 X 240 240 100000 1.007974(1.0079741) X=936.64 1.0079741 48 对于一般贷款问题对于一般贷款问题， o 若贷款总额为若贷款总额为P，偿还，偿还n年，年利率为年，年利率为r， 其其每月的等额还款额的公式为每月的等额还款额的公式为 121212 1212 ( 1)( 11) ( 1)1 n n Prr X r 49 2. （永久）年金问题（永久
43、）年金问题 o 现在考虑一个年金问题。现在考虑一个年金问题。 o 年金年金：是指在某一时期内等间隔的发生的一系列等：是指在某一时期内等间隔的发生的一系列等 额的收入或支付款项。额的收入或支付款项。 o 比如，希望从今后的若干年内每年获得一笔等额的比如，希望从今后的若干年内每年获得一笔等额的 收入流，那么需要现在一次性存入或投资多少钱？收入流，那么需要现在一次性存入或投资多少钱？ o 这是抵押贷款的这是抵押贷款的反问题反问题，即初期进行一笔大的支付，即初期进行一笔大的支付， 以便以后在某时期内得到一系列等额的小的现金流以便以后在某时期内得到一系列等额的小的现金流 入。入。 o 假设希望未来假设希
44、望未来20年内，每年能够得到年内，每年能够得到1200元的元的 年金收入（如生活费），年收益率为年金收入（如生活费），年收益率为10% ，那么，那么 现在应该一次性投入多少？现在应该一次性投入多少？ 50 这属于求年金的现值问题这属于求年金的现值问题 o 第一年末收到的第一年末收到的1200元的现值为元的现值为1200/1.10， 第二年末的第二年末的1200元的现值为元的现值为1200/1.102 o 以此类推，那么这以此类推，那么这20笔收入流的现值为笔收入流的现值为 2320 2020 1200120012001200 . 1.101.101.101.10 11 11 1200 1.10
45、1.10 1200 1 1.100.1 1 1.10 10.1448644 120010216.28 0.1 P 51 年金现值的一般公式为年金现值的一般公式为 1 1 (1)nr Pa r 其中，其中，a为每年的年金数额，其余同上为每年的年金数额，其余同上 当有限期的收付年金变为无限期，即收入流或支当有限期的收付年金变为无限期，即收入流或支 付流的次数付流的次数n无限大，以至于趋于无穷时，其年无限大，以至于趋于无穷时，其年 金现值为金现值为 对于此例中的数据来说对于此例中的数据来说，现值为，现值为 1200/0.1=12000元，也就是说，只要现在元，也就是说，只要现在 一次性存入一次性存入
46、12000元，就可以无限期的每年永远元，就可以无限期的每年永远 得到得到1200元。元。这又一次体现了极限的应用这又一次体现了极限的应用 a P r 52 如果将此例中的年度收入流改为月度收入如果将此例中的年度收入流改为月度收入 流（比如用于养老年金）流（比如用于养老年金） o 也就是说，每月能得到也就是说，每月能得到100元的收入，一共元的收入，一共 持续持续240个月。那么你知道这些年金的现值个月。那么你知道这些年金的现值 是多少吗？是多少吗？ o 请写出公式，并计算出来数额。请写出公式，并计算出来数额。 53 二、使用二、使用TaylorTaylor级数近似估计债券价格的级数近似估计债券
47、价格的 收益率曲线收益率曲线 o 债券价格的含义债券价格的含义：其价格就是其未来逐笔实：其价格就是其未来逐笔实 现的现金流的贴现值总和。现的现金流的贴现值总和。 o 对于附息债券价格的公式为对于附息债券价格的公式为 o Y收益率（计量单位：收益率（计量单位：%） o CF现金流（现金流（cash flow） o 显然，债券价格显然，债券价格P是关于收益率是关于收益率y的函数，且的函数，且 是递减的、非线性函数，称为债券价格的收是递减的、非线性函数，称为债券价格的收 益率曲线。记作益率曲线。记作P=f(y) 312 23 . 1(1)(1)(1) n n CFCFCFCF P yyyy 54 债
48、券价格收益率曲线的近似债券价格收益率曲线的近似可用直线可用直线 或二次曲线近似或二次曲线近似 55 三、利用微分度量债券价格的风险三、利用微分度量债券价格的风险 o 已经知道，债券的价格受到收益率的影响，已经知道，债券的价格受到收益率的影响，现在现在 的问题是的问题是，当收益率，当收益率y变动变动1%时，价格时，价格P变动变动 百分之多少？百分之多少？ o 该衡量指标叫做该衡量指标叫做修正久期（修正久期（modified duration） o 由于收益率由于收益率y本身的单位是本身的单位是%，所以收益率的变，所以收益率的变 动量为绝对变量动量为绝对变量y, 但需要考虑价格但需要考虑价格P的相
49、对变的相对变 动动P/P，用公式表示为，用公式表示为 11 ()/ PPdP y PyPdyP 56 可见，计算修正久期的关键在于计算导数可见，计算修正久期的关键在于计算导数 dP/dy o 对债券价格公式求导，得到对债券价格公式求导，得到 o 方括号内的表达式为方括号内的表达式为久期久期，等号右边称为修正久期。，等号右边称为修正久期。 o 修正久期在债券市场上常常被用作衡量修正久期在债券市场上常常被用作衡量债券的利率债券的利率 风险的指标。风险的指标。 o 其经济意义为其经济意义为，当收益率在下一瞬间发生，当收益率在下一瞬间发生1%变化变化 时，债券价格将随之变化的近似百分比时，债券价格将随
50、之变化的近似百分比 312 23 ( 3)()( 1)( 2)111 . 11(1)(1)(1) n n CFn CFCFCFdP dyPyyPyyy 57 计算债券价格风险的数据实例：计算债券价格风险的数据实例： o 假设有一个假设有一个2年期的债年期的债 券，面值为券，面值为100，每，每 半年付息半年付息5，到期收益，到期收益 率为率为8% ，则其现金，则其现金 流方式与价格为流方式与价格为 o 为了计算修正久期，为了计算修正久期， 首先计算公式中方括首先计算公式中方括 号内的值：号内的值： 234 555105 1.041.041.041.04 4.80774.62284.445089
