1、2020 年广东省年广东省中考中考 数学数学 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小題小题，每小題 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一分）在每小题列出的四个选项中，只有一 个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1.9 的相反数是() A.9B.9C. 1 9 D. 1 9 【答案】B 【解析】 根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知，9 的相反数是-9. 故选 B. 2.一组数据 2，4，3，5，2 的中位数是（） A. 5B. 35C. 3D. 25 【答案】C 【解析】 【分
2、析】 把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数 【详解】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是 3， 这组数据的中位数是 3， 故选：C 【点睛】本题考查了求中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键 3.在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为（） A.( 3,2)B.( 2,3) C.(2, 3)D.(3, 2) 【答案】D 【解析】 【分析】 利用关于 x 轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可 【详解】点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为（3，-2） ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的
3、坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解 答的关键 4.若一个多边形的内角和是 540，则该多边形的边数为（） A. 4B. 5 C. 6D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据内角和公式即可求解 【详解】设这个多边形的边数为 n, （n-2）180=540 解得 n=5 故选 B 【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知内角和公式 5.若式子 24x 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A.2x B.2x C.2x D.2x 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式里面被开方数240 x 即可求解 【详解】解：由题意知：被开方数240 x ， 解得：2x
4、 ， 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于 0 6.已知ABC的周长为 16，点D，E，F分别为 ABC三条边的中点，则DEF的周长为（） A. 8B. 2 2 C. 16D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由D，E，F分别为ABC三条边的中点，可知 DE、EF、DF 为ABC的中位线，即可得到DEF的周 长 【详解】解：如图， D，E，F分别为ABC三条边的中点， 1 2 DFBC， 1 2 DEAC， 1 2 EFAB， 16BCACAB， 11 168 22 DFDEEFBCACAB， 故选：A 【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形
5、的中位线平行于第三边且是第三边的一半是解题的 关键 7.把函数 2 (1)2yx的图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解析式为（） A. 2 2yxB. 2 (1)1yx C. 2 (2)2yxD. 2 (1)3yx 【答案】C 【解析】 【分析】 抛物线在平移时开口方向不变，a 不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答 【详解】把函数 2 (1)2yx的图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解析式为 2 2 (1)12(2)2yxx， 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特 点 8.不等式组 23
6、1 12(2) x xx 的解集为（） A. 无解B.1x C.1x D.11x 【答案】D 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定 不等式组的解集 【详解】解：解不等式 23x1，得：x1， 解不等式 x12（x2） ，得：x1， 则不等式组的解集为1x1， 故选：D 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小 取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 9.如图， 在正方形ABCD中，3AB ， 点E，F分别在边AB，CD上， 60EFD 若将四边形
7、EBCF 沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（） A. 1B. 2 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由 CDAB 得到EFD=FEB=60，由折叠得到FEB=FEB=60，进而得到AEB=60，然后在 RtAEB中由 30所对直角边等于斜边一半即可求解 【详解】解：四边形 ABCD 是正方形， CDAB， EFD=FEB=60， 由折叠前后对应角相等可知：FEB=FEB=60， AEB=180-FEB-FEB=60， ABE=30， 设 AE=x,则 BE=BE=2x， AB=AE+BE=3x=3， x=1， BE=2x=2， 故选：D 【点睛】本题借助正方形
8、考查了折叠问题，30角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包 括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题 10.如图， 抛物线 2 yaxbxc的对称轴是1x 下列结论： 0abc ； 2 40bac； 80ac； 520abc ，正确的有（） A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线的性质和对称轴是1x ，分别判断 a、b、c 的符号，即可判断；抛物线与 x 轴有两个交点，可 判断； 由1 2 b x a ， 得2ba ， 令2x ， 求函数值， 即可判断； 令2x 时， 则420yabc， 令1x 时，0y
9、abc，即可判断；然后得到答案 【详解】解：根据题意，则0a ，0c ， 1 2 b x a ， 20ba ， 0abc，故错误； 由抛物线与 x 轴有两个交点，则 2 40bac，故正确； 2ba ， 令2x 时，420yabc， 80ac，故正确； 在 2 yaxbxc中， 令2x 时，则420yabc， 令1x 时，0yabc， 由两式相加，得520abc ，故正确； 正确的结论有：，共 3 个； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子 的符号 二二、填空题填空题（本大题本大题 7 小題小題，每小题每小题 4 分分，共共 2
10、8 分分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡请将下列各题的正确答案填写在答题卡 相应的位置上相应的位置上 11.分解因式：xyx_ 【答案】x(y1) 【解析】 试题解析：xyxx(y1) 12.若3 m x y与 2 5 n x y是同类项，则mn_ 【答案】3 【解析】 【分析】 本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同 字母的指数也相同，可求得 m 和 n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可 【详解】解：由同类项的定义可知， m=2，n=1， m+n=3 故答案为 3 13.若2 |1| 0ab ，则 2020 ()ab_ 【答案】
11、1 【解析】 【分析】 根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出 a，b 的值，即可求出答案 【详解】2|1| 0ab 2a ，1b ， 2020 ()ab 2020 11 ， 故答案为：1 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出 a，b 的值是解题关键 14.已知5xy，2xy ，计算334xyxy的值为_ 【答案】7 【解析】 【分析】 将代数式化简，然后直接将5xy，2xy 代入即可 【详解】由题意得5xy，2xy ， 3343()41587xyxyxyxy， 故答案为：7 【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简334xyxy是解题关键 15.如图，
12、在菱形ABCD中，30A，取大于 1 2 AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两 点， 过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示） ， 连接BE，BD， 则EBD的度数为_ 【答案】45 【解析】 【分析】 根据题意知虚线为线段 AB 的垂直平分线，得 AE=BE，得EBAEAB；结合30A ， 1 2 75ABDABC，可计算 EBD 的度数 【详解】18030150ABC 1 2 75ABDABC AEEB EABEBA 753045EBD 故答案为：45 【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键 16.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上
13、剪出一个圆周角为 120的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成 一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_m 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 连接 OA，OB，证明AOB 是等边三角形，继而求得 AB 的长，然后利用弧长公式可以计算出 BOC的长 度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答 【详解】连接 OA，OB， 则BAO= 1 2 BAC= 1 120 2 =60， 又OA=OB， AOB 是等边三角形， AB=OA=1， BAC=120， OB C 的长为： 120AB2 1803 ， 设圆锥底面圆的半径为 r 2 2 3 r 1 3 r 故答案为 1 3 【点睛】本题主要
14、考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面 圆的半径 17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最 小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，90ABC，点M， N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，4MN ，E为MN的中点，点D到BA，BC的 距离分别为 4 和 2在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_ 【答案】2 5 2 【解析】 【分析】 根据当B、D、E三点共线，距离最小，求出 BE 和 BD 即可得出答案 【详解】如图当B、D、E三点共线，距离最小， 4
15、MN ，E为MN的中点， 2BE ， 22 422 5BD ， 2 52DEBDBE ， 故答案为：2 5 2 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出 距离最短的情况是解题关键 三、解答题（一三、解答题（一） （本大题（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18.先化简，再求值： 22 ()()()2xyxy xyx，其中2x ，3y 【答案】2xy；2 6 【解析】 【分析】 根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解 【详解】解：原式 22222 22xxyyxy
16、x 2xy， 将 2x ，3y 代入得： 原式 2232 6 故答案为：2 6 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解 决此类题的关键 19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动， 调查问卷设置了“非常了解”、 “比较了解”、 “基 本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级随机抽取了 120 名学生的有 效问卷，数据整理如下： 等级非常了解比较了解基本了解不太了解 人数（人）247218x （1）求x的值； （2）若该校有学生 1800 人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的
17、 学生共有多少人？ 【答案】 （1）6（2）1440 人 【解析】 【分析】 （1）根据四个等级的人数之和为 120 求出 x 的值； （2） 用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例即可求出结果 【详解】 （1）解：由题意得： 2472 18120 x 解得6x （2）解： 2472 18001440 120 （人） 答：估算“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生有 1440 人. 【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，属于基础题目，审清题意，找到对应数据是解题的关键 20.如图，在ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD CE，ABEA
18、CD ，BE与CD 相交于点F，求证：ABC是等腰三角形 【答案】见解析 【解析】 【分析】 先证明BDFCEF，得到BFCF，FBCFCB ，进而得到AABCCB，故可求解 【详解】证明：在BDF和CEF中 DFBEFC FBDFCE BDCE 对顶角相等 ()BDFCEF AAS BFCF FBCFCB 又ABEACD FBCABEFCBACD 即AABCCB ABC是等腰三角形 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质 四、解答题（二四、解答题（二） （本大题（本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21.已知关于x，y
19、的方程组 2 310 3 4 axy xy 与 2 15 xy xby 的解相同 （1）求a，b的值； （2）若一个三角形的一条边的长为2 6，另外两条边的长是关于x的方程 2 0 xaxb 的解试判断该 三角形的形状，并说明理由 【答案】 （1） 4 3 ；12（2）等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）关于 x，y 的方程组 2 310 3 4 axy xy 与 2 15 xy xby 的解相同实际就是方程组 4 2 xy xy 的解，可求出方程组的解，进而确定 a、b 的值； （2）将 a、b 的值代入关于 x 的方程 x2axb0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2
20、6为边长， 判断三角形的形状 【详解】解：由题意列方程组： 4 2 xy xy 解得 3 1 x y 将3x ，1y 分别代入2 310 3axy 和15xby 解得 4 3a ，12b 4 3a ，12b （2） 2 4 3120 xx 解得 4 34848 2 3 2 x 这个三角形是等腰直角三角形 理由如下： 222 (2 3)(2 3)(2 6) 该三角形是等腰直角三角形 【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解 法和勾股定理是得出正确答案的关键 22.如图 1，在四边形ABCD中，/AD BC，90DAB ，AB是O的直径，CO平分
21、BCD （1）求证：直线CD与O相切； （2）如图 2，记（1）中的切点为E，P为优弧 AE上一点， 1AD ，2BC .求tanAPE的值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 2 【解析】 【分析】 （1）如图（见解析） ，先根据平行线的性质得出OBCB，再根据角平分线的性质可得OEOB，然后 根据圆的切线的判定即可得证； （2）如图（见解析） ，先根据圆周角定理可得APEABE ，90AEB ，再根据圆的切线的判定、 切线长定理可得2,1CEBCDEAD，然后根据相似三角形的判定与性质可得 1 2 AEDE EFCE ，设 AEa，从而可得2EFa，又根据相似三角形的判定与性质可得
22、BEAE EFBE ，从而可得 2BEa ，最 后根据正切三角函数的定义即可得 【详解】 （1）如图，过点O作OECD于点E /AD BC，90DAB 90OBC，即OBCB 又CO平分BCD，OECD OEOB 即 OE 是O的半径 直线CD与O相切； （2）如图，连接BE，延长AE交BC延长线于点F 由圆周角定理得：APEABE ，90AEB AB是O的直径，AB AD，ABBC AD、BC 都是O的切线 由切线长定理得：2,1CEBCDEAD /AD BC DAECFE 在ADE和FCE中， AEDFEC DAECFE ADEFCE 1 2 AEDE EFCE 设(0)AEa a，则2E
23、Fa 90BAEABEFBEABE BAEFBE 在ABE和BFE中， 90 BAEFBE AEBBEF ABEBFE BEAE EFBE ，即 2 BE a a BE 解得 2BEa 在RtABE中， 2 tan 22 AEa ABE BEa 则 2 tantan 2 APEABE 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切 三角函数等知识点，较难的是题（2） ，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键 23.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”， 每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积 多 2 平方米，建A类摊位每平方米的费用为
24、 40 元，建B类摊位每平方米的费用为 30 元，用 60 平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 3 5 （1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建A，B两类摊位共 90 个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的 3 倍.求建造这 90 个摊 位的最大费用 【答案】 （1）5 平方米；3 平方米（2）10520 元 【解析】 【分析】 （1）设A类摊位占地面积x平方米，则B类占地面积2x平方米，根据同等面积建立 A 类和 B 类的倍 数关系列式即可； （2）设建A类摊位a个，则B类(90)a个，设费用为z，由（1）得 A 类和 B 类摊位的建设费用，列
25、出 总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可 【详解】解： （1）设每个A类摊位占地面积x平方米，则B类占地面积2x平方米 由题意得 60603 25xx 解得5x ， 23x ，经检验5x 为分式方程的解 每个A类摊位占地面积 5 平方米，B类占地面积 3 平方米 （2）设建A类摊位a个，则B类(90)a个，费用为z 3(90)aa 022.5a 40 530 3(90)zaa 1108100a， 1100， z 随着 a 的增大而增大， 又a 为整数， 当22a 时 z 有最大值，此时10520z 建造 90 个摊位的最大费用为 10520 元 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问
26、题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关 键 五、解答题（三五、解答题（三） （本大题（本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24.如图，点B是反比例函数 8 y x （0 x ）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C， 反比例函数 k y x （0 x ）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E连接DE并 延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG （1）填空：k _； （2）求BDF的面积； （3）求证：四边形BDFG为平行四边形 【答案】 （1）2（2）3（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据
27、题意设点 B 的坐标为（x，8 x ） ，得出点 M 的坐标为（ 2 x ，4 x ） ，代入反比例函数 k y x （0 x ） ， 即可得出 k； （2） 连接OD， 根据反比例函数系数 k 的性质可得 | 1 2 AOD k S， 8 4 2 AOB S， 可得 4 13 BOD S ， 根据/OF AB，可得点F到AB的距离等于点O到AB距离，由此可得出答案； （3）设, BB B xy，, DD D xy，可得8 BB xy，2 DD xy，根据 BD yy，可得4 BD xx，同理 4 BE yy，可得 3 1 BE EC ， 3 4 BD AB ，证明EBDECF，可得 1 3
28、CFCE BDBE ，根据 4 3 OCAB BDBD ， 得出 4 1 OC CF ，根据O，G关于C对称，可得OCCG，4CGCF，3FGCF，可得BDFG， 再根据/BD FG，即可证明BDFG是平行四边形 【详解】解： （1）点 B 在 8 y x 上， 设点 B 的坐标为（x， 8 x ） ， OB 中点 M 的坐标为（ 2 x ， 4 x ） ， 点 M 在反比例函数 k y x （0 x ） ， k= 2 x 4 x =2， 故答案为：2； （2）连接OD，则 | 1 2 AOD k S， ， 8 4 2 AOB S， 4 13 BOD S ， /OF AB， 点F到AB的距离等
29、于点O到AB距离， 3 BDFBDO SS ； （3）设, BB B xy，, DD D xy， 8 BB xy，2 DD xy， 又 BD yy， 4 BD xx， 同理4 BE yy， 3 1 BE EC ， 3 4 BD AB ， /AB BC， EBDECF， 1 3 CFCE BDBE ， 4 3 OCAB BDBD ， 4 1 OC CF ， O，G关于C对称， OCCG， 4CGCF， 43FGCGCFOFCFCF， 又3BDCF， BDFG， 又/BD FG， BDFG是平行四边形 【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性 质
30、，灵活运用知识点是解题关键 25.如图，抛物线 2 33 6 yxbxc 与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧， 33BOAO，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，3BCCD （1）求b，c的值； （2）求直线BD的函数解析式； （3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，当ABD与BPQ相似时，请直接写 出所有满足条件的点Q的坐标 【答案】（1） 3 1 3 ； 33 22 （2） 3 3 3 yx （3） 2 3 1,0 3 ，(12 3,0)， 4 3 1,0 3 ， (52 3,0) 【解析】 【分析】 （1）根据33BDAO，得出(
31、10)A ，(3 0)B ，将 A，B 代入 2 33 6 yxbxc 得出关于 b，c 的二元一次方程组求解即可； （2）根据二次函数是 2 (33)333 1 6322 yxx ， 3BCCD ，(3,0)B，得出D的横坐标 为 3 ，代入抛物线解析式求出(3, 31)D ，设BD得解析式为：y kxb ，将 B，D 代入求解即可； （3）由题意得 tanABD= 3 3 ，tanADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线 x=1，设对称轴与 x 轴交点 为 M，P（1，n）且 n0，Q（x，0）且 x3，分当PBQABD 时，当PQBABD 时，当 PQBDAB 时，当PQBABD 时四种
32、情况讨论即可 【详解】解： （1）33BDAO， ( 10)A ，(3 0)B ， 将 A，B 代入 2 33 6 yxbxc 得 33 0 279 3 30 bc b bc b ， 解得 3 1 3 33 22 b c ， 3 1 3 b ， 33 22 c ； （2）二次函数是 2 (33)333 1 6322 yxx ， 3BCCD ，(3,0)B， D的横坐标为 3 ， 代入抛物线解析式得 33333 313 6322 y 3333 31 222 31 (3, 31)D ， 设BD得解析式为：y kxb 将 B，D 代入得 313 03 kb kb ， 解得 3 3 3 k b ， 直
33、线BD的解析式为 3 3 3 yx ； （3）由题意得 tanABD= 3 3 ，tanADB=1， 由题意得抛物线的对称轴为直线 x=1，设对称轴与 x 轴交点为 M，P（1，n）且 n0，Q（x，0）且 x3， 当PBQABD 时，tanPBQ=tanABD 即 2 n = 3 3 ， 解得 n= 2 3 3 ， tanPQB=tanADB 即1 1 n x ， 解得 x=1- 2 3 3 ， 此时 Q 的坐标为（1- 2 3 3 ，0） ； 当PQBABD 时，tanPBQ=tanADB 即 2 n =1， 解得 n=-2， tanQPB=tanABD 即 1 n x = 3 3 ， 解
34、得 x=1-2 3， 此时 Q 的坐标为（1-2 3，0） ； 当PQBDAB 时，tanPBQ=tanABD 即 2 n = 3 3 ， 解得 n= 2 3 3 ， tanPQM=tanDAE 即 31 113 n x ， 解得 x= 4 3 3 -1， 此时 Q 的坐标为（ 4 3 3 -1，0） ； 当PQBABD 时，tanPBQ=tanABD 即 2 n =1， 解得 n=-2， tanPQM=tanDAE 即 31 113 n x ， 解得 x=5-2 3， Q 的坐标为（5-2 3，0） ； 综上：Q 的坐标可能为 2 3 1,0 3 ，(12 3,0)， 4 3 1,0 3 ，(52 3,0) 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运 用是解题关键
