1、重庆市重庆市 2020 年年中考中考数学试题（数学试题（B 卷） （全卷共四个大题，满分（全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 参考公式参考公式： 抛物线抛物线 y=ax2+bx+c （a0） 的顶点坐标为的顶点坐标为 （ 2 b a ， 2 4 4 acb a ） ， 对称轴公式为对称轴公式为 x= 2 b a 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1. 5 的倒数是 () A. 5 B. 1 5 C. 1 5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据倒数的定义即可求解 【详解
2、】5 的倒数是 1 5 故选 B 【点睛】此题主要考查倒数的求解，解题的关键是熟知倒数的定义 2. 围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（） A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 解：A、球面不是平面，故本选项错误；B、四个面都是平面，故本选项正确；C、侧面不是平面，故本选 项错误；D、侧面不是平面，故本选项错误；故选 B 3. 计算 aa2的结果是（） A. a B. a2 C. a3 D. a4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘法法则计算即可 【详解】解：aa2a1 2a3 故选：C 【点睛】本题考查了幂的运算性质，准确应用同底数幂的乘法是解题的关键 4. 如图，
3、AB 是O 的切线，A 为切点，连接 OA，OB，若B=35，则AOB 的度数为（） A. 65B. 55C. 45 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】 根据切线性质求出OAB=90，根据直角三角形两锐角互余即可求解 【详解】解：AB 为O 切线， OAB=90， B=35， AOB=90-B=55 故选：B 【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形性质，熟知相关定理是解题关键 5. 已知 a+b=4，则代数式1 22 ab 的值为（） A. 3B. 1 C. 0D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解. 【详解】由题意，得 4
4、 1113 2222 abab 故选：A. 【点睛】此题主要考查已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题. 6. 如图， ABC与DEF位似， 点 O为位似中心 已知 OAOD=12， 则ABC 与DEF 的面积比为 （） A. 12B. 13C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】 根据位似图形的性质即可得出答案 【详解】由位似变换的性质可知，/ /,/ /ABDE ACDF 1 2 OAOB ODOE 1 2 ACOA DFOD ABC 与DEF 的相似比为：12 ABC 与DEF 的面积比为：14 故选 C 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键
5、7. 小明准备用 40 元钱购买作业本和签字笔已知每个作业本 6 元，每支签字笔 2.2 元小明买了 7 支签字 笔，他最多还可以买的作业本个数为（） A. 5B. 4 C. 3D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 设小明最多还可以买x个作业本，根据题意列出不等式，利用不等式的正整数解可得答案 【详解】解：设小明最多还可以买x个作业本，则 2.2 7640,x 624.6,x 4.1,x x 为正整数， 不等式的最大正整数解是：4.x 小明最多还可以买 4 本作业本 故选：B 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，掌握根据题意列不等式，以及确定不等式的正整数解是解 题的关键 8. 下列
6、图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形一共有 5 个实心圆点，第个 图形一共有 8 个实心圆点，第个图形一共有 11 个实心圆点， ，按此规律排列下去，第个图形中实心 圆点的个数为（） A. 18B. 19 C. 20D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知图形中实心圆点的个数得出规律，即可得解 【详解】解：通过观察可得到 第个图形中实心圆点的个数为：5=21+1+2， 第个图形中实心圆点的个数为：8=22+2+2， 第个图形中实心圆点的个数为：11=23+3+2， 第个图形中实心圆点的个数为：26+6+2=20， 故选：C 【点睛】本题考查探索与表达图形变化类
7、关键是通过归纳与总结，得到其中的规律 9. 如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山脚 C 点出发沿 水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上） ，再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点（点 A，B， C，D，E 在同一平面内） ，在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度（或坡比）i=12.4，则信号塔 AB 的高度约为（） （参考数据：sin430.68，cos430.73， tan430.93） A. 23 米B. 24 米C. 24.5 米D
8、. 25 米 【答案】D 【解析】 【分析】 如图，作 EFCD 于 F，EGBC 于 G解直角三角形 DEF 得 EF=30 米，DF=72 米，得 EG=150 米，解直 角三角形 AFG 得 AG=139.5 米，求出 AB 即可 【详解】解：作 EFCD 于 F，EGBC 于 G 在RtDEF 中，设 EF=x 米，i=12.4 DF=2.4x 米， DE= 22 2.5EFDFx 米 2.5x=75， x=30 米， DF=2.4x=72 米， GE=FC=DF+CD=72+78=150 米，CG=EF=30 米， 在 RtAEG 中， tan150 0.93139.5AGEGAEG
9、米 139.530 144.525ABAGCGBC米 故选：D 【点睛】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作 EFCD 于 F，EGBC 于 G，构造直 角三角形，应用已知条件解直角三角形 10. 若关于 x的一元一次不等式组 2132 1 2 xx xa 的解集为 x5，且关于 y 的分式方程 1 22 ya yy 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（） A. -1B. -2 C. -3D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由不等式组的解集为 x5，得 a3，然后由分式方程有非负整数解，得 a-2 且 a2 的偶数，即可得解. 【详解】由题意，得 2132
10、xx ，即5x 1 2 xa ，即2xa 2 5a ，即3a 1 22 ya yy ，解得 2 2 a y 有非负整数解，即 2 0 2 a y a-2 且 a2 23a 且2a 符合条件的所有整数 a 的数有：-2，-1,0,1 又 2 2 a y 为非负整数解， 符合条件的所有整数 a 的数有：-2,0 其和为202 故选：B. 【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题. 11. 如图，在ABC 中，AC=2 2，ABC=45，BAC=15，将ACB 沿直线 AC 翻折至ABC 所在的 平面内，得ACD过点 A 作 AE，使DAE=DAC，与 CD
11、 的延长线交于点 E，连接 BE，则线段 BE 的 长为（） A. 6 B. 3C.2 3D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理、 翻折及等腰三角形判定， 依次易得ACB=120， ACE=120， CAE=30， AC=EC， 再进一步证明ABCEBC，得到 BE=BA延长 BC 交 AE 于 F，由 CE=CA，BE=BA，根据到线段两个 端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知 BC 是线段 AE 的垂直平分线， ，即AFC=90，在 RtAFC 中解直角三角形得 AF= 6，在 RtAFB 中，ABC=45，解直角三角形得 AB=2AF=2 3， 进而得到
12、 BE 的长. 【详解】解：在ABC 中，ABC=45，BAC=15， ACB=120， 将ACB 沿直线 AC 翻折，得ACD， ACE=ACB=120，DAE=DAC=BAC=15，即CAE=30， 在ACE 中，CEA=180-ACE-CAE=30， AC=EC， 又ECB=360-ACE-ACB=120， 在EBC 和ABC 中， ECAC ECBACB CBCB EBCABC， BE=BA. 如下图，延长 BC 交 AE 于 F， CE=CA，BE=BA， BC 是线段 AE 的垂直平分线，即AFC=90， 在 RtAFC 中，CAF=30，AC=2 2， AF=ACcosCAF=
13、6. 在 RtAFB 中，ABC=45， AB= 2AF=2 3， BE=AB=2 3. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，准确判断 出直线 BC 是线段 AE 的垂直平分线是解题的关键. 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D（-2，3） ， AD=5，若反比例函数 k y x （k0，x0）的图象经过点 B，则 k 的值为（） A. 16 3 B. 8C. 10D. 32 3 【答案】D 【解析】 【分析】 先由 D（-2，3） ，AD=5，求得 A（2，0）
14、，即得 AO=2；设 AD 与 y 轴交于 E，求得 E（0，1.5） ，即得 EO=1.5； 作 BF 垂直于 x 轴于 F，求证AOE CDE，可得 10 3 BACD= = =，求证AOEBFA，可得 AF=2， BF= 8 3 ，进而可求得 B（4， 8 3 ） ；将 B（4， 8 3 ）代入反比例函数 k y x ，即可求得 k 的值 【详解】解：如图，过 D 作 DH 垂直 x 轴于 H，设 AD 与 y 轴交于 E，过 B 作 BF 垂直于 x 轴于 F， 点 D（-2，3） ，AD=5， DH=3， 2222 -= 5 -3 =4AHAD DH= = ， A（2，0） ，即 A
15、O=2， D（-2，3） ，A（2，0） ， AD 所在直线方程为： 33 42 yx ， E（0，1.5） ，即 EO=1.5， 2 222 35 2 22 AEAOEO 骣骣 琪琪 = =+ += =+ += = 琪琪 琪琪 桫桫 , ED=AD- AE=5- 5 2 = 5 2 ， AOE=CDE，AEO=CED， AOE CDE， EOAO EDCD = =, 10 3 ED CDAO EO = = = =, 在矩形 ABCD 中， 10 3 BACD= = =， EAO+BAF=90， 又EAO+AEO=90， AEO=BAF， 又AOE=BFA， BFAAOE， BAAFBF AE
16、EOAO = = =, 代入数值，可得 AF=2，BF= 8 3 ， OF=AF+AO=4， B（4， 8 3 ） ， 将 B（4， 8 3 ）代入反比例函数 k y x ，得 32 3 k ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的 性质等知识解题关键是通过求证AOE CDE，AOEBFA，得到 B 点坐标，将 B 点坐标代入反 比例函数，即可得解 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13. 计算： 1 1 4 5 =_ 【答案】3 【解析】 【分析】 分别计
17、算负整数指数幂，算术平方根，再合并即可得到答案 【详解】解： 1 1 4 5 52 3. 故答案为：3 【点睛】本题考查的是负整数指数幂的运算，考查求一个数的算术平方根，掌握以上知识是解题的关键 14. 经过多年的精准扶贫，截至 2019 年底，我国的农村贫困人口减少了约 94000000 人，请把数 94000000 用科学记数法表示为_ 【答案】9.4107 【解析】 【分析】 根据科学记数法的表示方法解答即可 【详解】解： 7 940000009.4 10 故答案为：9.4107 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为10na 的形式，其中110a，n 为整数，表示时
18、关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 15. 盒子里有 3 张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字 1，2，3，从中随机抽出 1 张后不 放回，再随机抽出 1 张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是_ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得 【详解】解：列表如下 123 134 235 345 由表可知，共有 6 种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有 4 种结果， 所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为 42 63 ， 故答案为： 2 3 【点睛】本题考查了列表法和树状图法，利
19、用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结 果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率 m n 16. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，ABC=120，AB=2 3，以点 O 为圆心，OB 长 为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为_ （结果保留） 【答案】3 3 【解析】 【分析】 如图，设O 与菱形的边 AB、AD 分别交于点 E、F，连接 OE、OF，由菱形的性质可证得ABD 是等边三 角形，进而可证得BEO，DFO 都是等边三角形，由等边三角形的性质可求得EOF60，然后根据 阴影部分的面
20、积2（SABDSDFOSBEOS扇形OEF）代入数据计算即可 【详解】解：如图，设O 与菱形的边 AB、AD 分别交于点 E、F，连接 OE、OF， 四边形 ABCD 是菱形，ABC120， ACBD，BODO，OAOC，ABAD，DAB60， ABD 是等边三角形， ABBD2 3，ABDADB60， BODO 3， 以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧， BOOEODOF， BEO，DFO 是等边三角形， DOFBOE60， EOF60， 阴影部分的面积2（SABDSDFOSBEOS扇形OEF） 2 333603 1233 444360 3 3 故答案为：3 3 【点睛】本题考查了菱形的性
21、质、等边三角形的判定和性质以及扇形面积的计算等知识，正确添加辅助线、 明确求解的方法、熟练掌握菱形的性质以及等边三角形的判定和性质是解题的关键 17. 周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从 A 地出发前往 B 地进行骑行训练，甲、乙分别 以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发 5 分钟乙骑行 25 分钟后，甲以原速的 8 5 继续骑行，经过一段时间， 甲先到达 B 地，乙一直保持原速前往 B 地在此过程中，甲、乙两人相距的路程 y（单位：米）与乙骑行 的时间 x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚_分钟到达 B 地 【答案】12 【解析】 【分析】 根据题意先求解乙的速度与甲的
22、原速度，得到改变后的速度，由86x 时，甲到达 B 地，再计算出全程， 从而可以得到乙与B地的距离，从而得到晚到的时间 【详解】解：由图及题意得：乙的速度为 1500 300 5 米/分， 25 3002552500,v 甲 250v 甲 即甲原速度为 250 米/分， 当 x=25 后，甲提速为 8 250400 5 米/分， 当 x=86 时，甲到达 B 地， 此时乙距 B 地为 250（25-5）+400（86-25）-30086=3600. 3600 12, 300 t 即乙比甲晚12分钟到达 B 地 答案：12 【点睛】本题考查的是一次函数关于行程问题的应用，从图像中获取信息得到与问
23、题相关的：速度，时间， 全程是解题的关键 18. 为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动活动方案如下：在商场收银台旁放置 一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同） ， 顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金 50 元、 30 元、10 元商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一 时段的 3 倍，摸到黄球次数为第一时段的 2 倍，摸到绿球次数为第一时段的 4 倍；第三时段摸到红球次数 与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的 4 倍，摸到绿球
24、次数为第一时段的 2 倍，三个时段返现总金 额为 2510 元，第三时段返现金额比第一时段多 420 元，则第二时段返现金额为_元 【答案】1230 【解析】 【分析】 设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为 a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为 3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为 a，4b，2c根据题意得到关于 a，b，c 方程组， 根据 a，b，c 均为正整数，求解即可 【详解】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为 a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次 数分别为 3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为 a，4
25、b，2c由题意得 250210702510 5012020503010420 abc abcabc ， 即 25217251 942 abc bc ， 其整数解为 4237 2521 231225 an bn cn （其中 n 为整数） ， 又a，b，c 均是正整数，易得 n=1. 所以 5 4 6 a b c . 150a+60b+40c=1505+604+406=1230 故答案为：1230 另解：由上 9b+c=42，得知 b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可 【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键解题 时注意题目中隐含条件 a，b，c
26、，均为正整数 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 7 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 70 分）分） 19. 计算： （1） （x+y）2+y（3x-y） （2） 22 416 11 aa a aa 【答案】 （1）x2+5xy； （2） 1 4a 【解析】 【分析】 （1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘法即可 【详解】解： （1）原式=x2+2xy+y2+3xy-y2=x2+5xy （2）原式= 444 11 aaa aa = 41 144 aa aaa = 1 4a 【点睛】本题考查了整式混合运算，分
27、式的混合运算熟知运算法则，运算公式是解题关键 20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，CF 分别平分BAD 和DCB，交对角线 BD 于点 E，F （1）若BCF=60，求ABC 的度数； （2）求证：BE=DF 【答案】 （1）60； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得BCD=2BCF=120，利用平行四边形的性质即可解答； （2）根据平行四边形的性质及角平分线即可证明ABECDF，再利用全等三角形的性质即可证明 【详解】 （1）CF 平分DCB， BCD=2BCF=120 四边形 ABCD 是平行四边形， ABC=180-BCD=180-120=60 （2）四
28、边形 ABCD 是平行四边形， BAD=DCB，AB=CD，ABCD， ABE=CDF AE，CF 分别平分BAD 和DCB， BAE= 1 2 BAD，CDF= 1 2 DCB， BAE=CDF， ABECDF， BE=DF 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟悉平行四边形的性质以及全等三角形的判定 21. 每年的 4 月 15 日是我国全民国家安全教育日某中学在全校七、八年级共 800 名学生中开展“国家安 全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取 20 名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数， 满分 10 分，6 分及以上为合格） 相关数据统计、整理如下：
29、八年级抽取的学生的竞赛成绩： 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=_，b=_，c=_ （2）估计该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异 【答案】 （1）7.5，8，8； （2）200 人； （3）八年级的学生成绩更优异 【解析】 【分析】 （1）由图表可求解； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优
30、异 【详解】解： （1）由图表可得： 78 7.5 2 a ， 88 8 2 b ，8c ， 故答案为：7.5，8，8； （2）该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分及以上的人数为： 55 800200 40 （人)， 答：该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分及以上的人数为 200 人； （3）八年级的合格率高于七年级的合格率， 八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的 关键 22. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我
31、们发现一 种特殊的自然数“好数” 定义：对于三位自然数 n，各位数字都不为 0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这 个自然数 n 为“好数” 例如：426 是“好数”，因为 4，2，6 都不为 0，且 4+2=6，6 能被 6 整除； 643 不是“好数”，因为 6+4=10，10 不能被 3 整除 （1）判断 312，675 是否是“好数”？并说明理由； （2）求出百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个数，并说明理由 【答案】 （1）312 是“好数”，675 不是“好数”，理由见解析； （2）611，617，721，723，729，831，941 理 由见解析 【解
32、析】 【分析】 （1）根据“好数”的定义进行判断即可； （2）设十位数字为 x，个位数字为 y，则百位数字为（x+5） 根据题意判断出 x、y 取值，根据“好数”定 义逐一判断即可 【详解】 （1）3，1，2 都不为 0，且 3+1=4，4 能被 2 整除，312 是“好数” 6，7，5 都不为 0，且 6+7=13，13 不能被 5 整除，675 不是“好数”； （2）设十位数字为 x，个位数字为 y，则百位数字为（x+5） 其中 x，y 都是正整数，且 1x4，1y9.十位 数字与个位数字的和为：2x+5 当 x=1 时，2x+5=7，此时 y=1 或 7，“好数”有：611，617 当
33、x=2 时，2x+5=9，此时 y=1 或 3 或 9，“好数”有：721，723，729 当 x=3 时，2x+5=11，此时 y=1，“好数”有：831 当 x=4 时，2x+5=13，此时 y=1，“好数”有：941 所以百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个数是 7 【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为 所学数学问题是解题关键 23. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的 过程结合已有的学习经验，请画出函数 2 12 2 y x 的图象并探究该函数的性质 x-4-3-2-1
34、01234 y 2 3 a-2-4b-4-2 12 11 2 3 （1）列表，写出表中 a，b 的值：a=_ ，b= 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象 （2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“”作答，错 误的用“”作答） ： 函数 2 12 2 y x 的图象关于 y 轴对称； 当 x=0 时，函数 2 12 2 y x 有最小值，最小值为-6； 在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小 （3）已知函数 210 33 yx 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 2 12210 233 x x 的解
35、集 【答案】 （1） 12 11 ，6，作图见解析； （2）； （3）x-4 或-2x1 【解析】 【分析】 （1）把对应的 x 的值代入即可求出 a 和 b 的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象； （2）观察图象即可判断； （3）找出函数 2 12 2 y x 的图象比函数 210 33 yx 的图象低时对应的 x 的范围即可 【详解】 （1）当3x 时， 2 1212 1132 a ；当0 x 时， 12 6 2 b ； 12 11 a ，6b ， 故答案为： 12 11 ，6 所画图象，如图所示 （2）观察图象可知函数 2 12 2 y x 的图象关于 y 轴对称，故该说法正确
36、； 观察图象可知，当 x=0 时，函数 2 12 2 y x 有最小值，最小值为6，故该说法正确； 观察图象可知，当0 x 时，y 随 x 的增大而减小，当0 x 时，y 随 x 的增大而增大，故该项题干说法错 误 （3）不等式 2 12210 233 x x 表现在图象上面即函数 2 12 2 y x 的图象比函数 210 33 yx 的图象 低，因此观察图象，即可得到 2 12210 233 x x 的解集为：x-4 或-2x1 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象， 利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键 24. 为响应“把中国
37、人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技 小组对 A、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩收获后 A、B 两个 品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全部售出后总收入 为 21600 元 （1）求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ （2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平 均亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%由于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基 础上上
38、涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收人将增加 20 % 9 a，求 a 的值 【答案】 （1）A 品种去年平均亩产量是 400、B 品种去年平均亩产量是 500 千克； （2）10 【解析】 【分析】 （1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意分别表示 A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于 A 品种、B 品种今年的收入之和，列 出一元二次方程求解即可得到答案 【详解】 （1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、y 千克，由题意得 100 2.4 102.4 10216
39、00 yx xy ， 解得 400 500 x y 答：AB 两个品种去年平均亩产量分别是 400、500 千克 （2）根据题意得： 20 24 400 1%24 1%500 12 %21600 1% 9 aaaa 令 a%=m，则方程化为： 20 24 400 124 1500 1221600 1 9 mmmm 整理得 10m2-m=0， 解得：m1=0（不合题意，舍去） ，m2=0.1 所以 a%=0.1，所以 a=10， 答：a 的值为 10 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方 法与步骤是解题的关键 25. 如图，在平面直角坐标系
40、中抛物线 y=ax2+bx+2（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 A 点坐标为（ 2 ，0） ，直线 BC 的解析式为 2 2 3 yx （1）求抛物线的解析式； （2） 过点 A 作 AD/BC， 交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点， 连接 CE， EB，BD，DC 求 四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标； （3）将抛物线 y=ax2+bx+2（a0）向左平移 2个单位，已知点 M 为抛物线 y=ax2+bx+2（a0）的对称轴上 一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点在（2）中，当四边形 B
41、ECD 的面积最大时，是否存在以 A，E， M，N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 12 2 2 33 yxx ； （2）四边形 BECD 面积的最大值为 25 2 4 ，E（ 3 2 2 ， 5 2 ） ； （3）存 在N 的坐标为（ 3 2 2 ， 7 6 ）或（ 2 2 ， 5 2 ）或（ 7 2 2 ， 11 2 ） 【解析】 【分析】 （1）由直线解析式求得 B、C 两点坐标，结合 A 点坐标利用待定系数法进行求解即可； （2）易求 AD 的解析式为 22 33 yx ，进而 D（4 2， 10 3 ） 求得 C
42、D 的解析式为，进而求出 CD 与 x 轴的交点坐标，易求BCD 的面积为4 2，设 E（x， 2 12 2 2 33 xx ） ，表示出 SBECD的面积，进而 利用二次函数的性质即可求得答案； （3）存在先求出抛物线 2 12 2 2 33 yxx 的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设 M （ 2，m） ，N（xn，yn） ，易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式分类讨论即可得答案 【详解】 （1） 2 2 3 yx ，当 x=0 时，y=2， 当 y=0 时， 2 02 3 x ，解得：x=3 2， 所以 B（3 2，0） ，C（0，2） ， 将 A（ 2 ，0） ，B（3
43、 2，0）代入 y=ax2+bx+2， 得 0222 0183 22 ab ab ， 解得： 1 3 2 2 3 a b ， 所以抛物线的解析式为 2 12 2 2 33 yxx ； （2）AD/BC， 设直线 AD 解析式为： 2 3 yxm 将 A（ 2 ，0）代入得： 2 0 3 m， 解得：m=- 2 3 ， 所以 AD 的解析式为 22 33 yx ， 联立 2 12 2 2 33 22 33 yxx yx ， 解得： 1 1 2 0 x y ， 2 2 4 2 10 3 x y ， A（ 2 ，0） ， D（4 2， 10 3 ） 设 CD 解析式为 y=kx+2， 将点 D 坐标
44、代入得： 10 4 22 3 k ， 解得：k= 2 2 3 ， 所以 CD 的解析式为： 2 2 2 3 yx ， 当 y=0 时，即 2 2 02 3 x ， 解得：x= 3 2 2 ， 则 CD 与 x 轴的交点为（ 3 2 2 ，0） 所以 SBCD= 13 210 3 22 223 =4 2， 设 E（x， 2 12 2 2 33 xx ） ， 则 SBECD= 2 112 22 3 2224 2 2333 xxx = 2 2 34 2 2 xx ， 当 x= 3 2 2 时，四边形 BECD 面积最大，其最大值为 25 2 4 ，此时 E（ 3 2 2 ， 5 2 ） （3）存在N
45、 的坐标为（ 3 2 2 ， 7 6 ） ，或（ 2 2 ， 5 2 ） ，或（ 7 2 2 ， 11 2 ） 过程如下： 2 2 12 218 22 3333 yxxx ， 所以抛物线的顶点是（ 2， 8 3 ） ， 将抛物线 2 2 12 218 22 3333 yxxx 向左平移 2个单位， 则平移后抛物线解析式为 2 18 33 yx 设 M（ 2，m） ，N（xn，yn） ， 当 AM 为对角线时，则 3 2 22 2 n x ， 解得：xn= 3 2 2 ，代入解析式得 yn= 7 6 所以 N（ 3 2 2 ， 7 6 ） ，如图 对角线交点坐标为（0， 11 6 ） ，M 坐标
46、为（ 2， 11 3 ） 当 AE 为对角线时，则 3 2 22 2 n x ， 解得：xn= 2 2 ，代入解析式得 yn= 5 2 所以 N（ 2 2 ， 5 2 ） ，如图 对角线交点坐标为（ 2 4 ， 5 4 ） ，M 坐标为（ 2，0） 当 AN 为对角线时，则 3 2 22 2 n x ， 解得：xn= 7 2 2 ，代入解析式得 yn= 11 2 所以 N（ 7 2 2 ， 11 2 ） 如图 对角线交点坐标为（ 5 2 4 ， 11 4 ） ，M 坐标为（ 2，-8） 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图 象的平移，二次
47、函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确识图，把握并灵活 运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用 四、解答题（本大题四、解答题（本大题 1 个小题，共个小题，共 8 分）分） 26. ABC 为等边三角形，AB=8，ADBC 于点 D，E 为线段 AD 上一点，AE=2 3以 AE 为边在直线 AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点 （1）如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG ，求线段 NG 的长； （2）如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为，M 为线段 EF 的中点，连接 DN，MN当 30
48、120时，猜想DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接 BN在AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出ADN 的面积 【答案】 （1）NG= 7； （2）DNM 的为定值 120，证明见详解； （3）AND 的面积为7 3 【解析】 【分析】 （1）证明CGE=90，求出 DE=2 3，EC=2 7，根据直角三角形性质即可求解； （2） 证明 BEDN， MNCF， ABEACF， 得到因此DGC=BHC， ENM=ECF， ABE=ACF， 通过角的代换即可求解； （3）取 AC 中点 P，因为 BP+PNBN，所以当 B、P、N 在一直线上，BN
49、最大求出 BN=5 3，设 BP 与 AD 交于 O，NQAD 于 Q，根据ONQOBD，可求得 NQ= 7 2 ，问题得解 【详解】解： （1）ABC 为等边三角形，AB=8，ADBC 于点 D， DAC=30,CD= 1 4 2 BC ， 22 4 3ADACCD ， 2 3DEADAE ， 22 2 7CEDECD ， 三角形 AEF 是等边三角形， 60AEG 90EGC N 为 CE 的中点 1 7 2 NGCE （2）DNM 的为定值 120 连 CF，BE，BE 交 AC 于 H，DN 交 AC 于 G，如图， D、N、M 分别为 BC、CE、EF 中点， DN、MN 分别为BC
50、E、ECF 中位线， BEDN，MNCF， ABC、AEF 都是等边三角形， AB=AC,AE=AF,60BACEAF BAECAF ABEACF DGC=BHC，ENM=ECF，ABE=ACF 又BHC=ABE+BAH=ABE+60， DGC=ABE+60=ACF+60 又DGC=DNC+GCN=DNC+ACF-ECF，DNC=60+ECF=60+ENM， DNE=180-DNC=120-ENM， DNM=DNE+ENM=120 （3）AND 的面积为7 3， 如图，取 AC 中点 P，因为 BP+PNBN，所以当 B、P、N 在一直线上，BN 最大 BN=BP+PN=BP+ 1 2 AE=
