1、2020 年云南省昆明市中考数学试卷年云南省昆明市中考数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1.|10|_ 【答案】10 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质进行计算即可. 【详解】根据负数的绝对值等于它的相反数，得|10|10 故答案为 10 【点睛】此题考查绝对值，解题关键在于掌握其定义. 2.分解因式： 2 4m nn =_. 【答案】n（m+2） （m2） 【解析】 分析：提取公因式法和公式法相结合因式分解即可. 详解：原式 2 4 ,n m 22 2,n m 22 .n mm 故答案为22 .n mm 点睛
2、：本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底. 3.如图，点 C 位于点 A 正北方向，点 B 位于点 A 北偏东 50方向，点 C 位于点 B 北偏西 35方向，则ABC 的度数为_ 【答案】95 【解析】 【分析】 按照题意，将点 A、B、C 的位置关系表示在图中，过点 B 作一条平行于 AC 的线，并标注出已知角的度数， 两平行线间内错角相等，可得1=BAC，则ABC 的度数就可求得 【详解】解：如下图所示：过点 B 作一条平行于 AC 的线， 由题意可得，1A50（两直线平行，内错角相等） ， 则ABC180-35-5095， 故答案为：95 【点睛
3、】本题主要考察了方位角的表示、平行线的性质应用，解题的关键在于根据题意，在图中表示出各 个角的度数，同时还要掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补 4.要使 5 1x+ 有意义，则 x 的取值范围是_ 【答案】x1 【解析】 【分析】 根据分式的性质即可求解 【详解】解：要使分式 5 1x+ 有意义， 需满足 x+10 即 x1 故答案为：x1 【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的分母不为零 5.如图，边长为 2 3cm 的正六边形螺帽，中心为点 O，OA 垂直平分边 CD，垂足为 B，AB17cm，用扳 手拧动螺帽旋转
4、90，则点 A 在该过程中所经过的路径长为_cm 【答案】10 【解析】 【分析】 利用正六边形的性质求出 OB 的长度，进而得到 OA 的长度，根据弧长公式进行计算即可 【详解】解：连接 OD，OC DOC60，ODOC， ODC 是等边三角形， ODOCDC2 3（cm） ， OBCD， BCBD 3（cm） ， OB 3BC3（cm） ， AB17cm， OAOB+AB20（cm） ， 点 A 在该过程中所经过的路径长 9020 180 10（cm） ， 故答案为：10 【点睛】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键 6.观察下列一组数： 2 3 ， 6
5、 9 ， 12 27 ， 20 81 ， 30 243 ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第 n 个数是_ 【答案】( 1)n (1) 3 n nn 【解析】 【分析】 观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第 n 个数 【详解】解：观察下列一组数： 2 3 1 1 2 3 ， 6 9 2 2 3 3 ， 12 27 3 3 4 3 20 81 4 4 5 3 ， 30 243 5 5 6 3 ， ， 它们是按一定规律排列的， 那么这一组数的第 n 个数是： （1）n (1) 3 n nn ， 故答案为：( 1)n (1) 3 n nn 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本
6、题的关键是根据数字的变化寻找规律 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 8 小题，每小题只有一个正确选项，每小题小题，每小题只有一个正确选项，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 7.由 5 个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是（） A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据主视图是从正面看到的图形判定则可 【详解】解：由 5 个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是 ， 故选：A 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合 的思想解答 8.下列判断正确的是（） A. 北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽
7、样调查 B. 一组数据 6，5，8，7，9 的中位数是 8 C. 甲、乙两组学生身高的方差分别为 S甲22.3，S乙21.8则甲组学生的身高较整齐 D. 命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抽样调查、中位数定理、命题的判断进行分析即可； 【详解】解：A北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查， 所以 A 选项错误； B一组数据 6，5，8，7，9 的中位数是 7， 所以 B 选项错误； C甲、乙两组学生身高的方差分别为 S甲22.3，S乙21.8则乙组学生的身高较整齐， 所以 C 选项错误； D命题“既是矩形又是菱形的四边形是
8、正方形”是真命题， 所以 D 选项正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确判断是解题的关键 9.某款国产手机上有科学计算器，依次按键：4sin ( 60 ) ，显示的结果在哪两个相邻整数之间（） A. 23B. 34C. 45 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】 用计算器计算得 3.464101615得出答案 【详解】解：使用计算器计算得， 4sin603.464101615， 故选：B 【点睛】本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提 10.下列运算中，正确的是（） A. 5252 B. 6a4b2a3b3ab C. （2a2b）38a6b3
9、D. 2 21 11 aaa a aa 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的加减运算法则和整式的除法运算法则、分式的乘法运算法则、积的乘方运算法则分别 化简得出答案 【详解】解：A、 5255，此选项错误，不合题意； B、6a4b2a3b3a，此选项错误，不合题意； C、 （2a2b）38a6b3，正确； D、 2 21 11 aaa aa 2 1 11 aa aa - a，故此选项错误，不合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算和整式的除法运算、分式的乘法运算、积的乘方运算，正确 掌握相关运算法则是解题关键 11.不等式组 10 31 21 2 x x x
10、，的解集在以下数轴表示中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可 【详解】解： 10(1) 31 21(2) 2 x x x ， 解不等式得：x1， 解不等式得：x3， 不等式组的解集是1x3， 在数轴上表示为：， 故选：B 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此 题的关键 12.某校举行“停课不停学， 名师陪你在家学”活动， 计划投资 8000 元建设几间直播教室， 为了保证教学质量， 实际每间建设费用增加了 20%，并比原计划多建设了一间
11、直播教室，总投资追加了 4000 元根据题意，求 出原计划每间直播教室的建设费用是（） A. 1600 元B. 1800 元C. 2000 元D. 2400 元 【答案】C 【解析】 【分析】 设原计划每间直播教室的建设费用是 x 元，则实际每间建设费用为 1.2x，根据“实际每间建设费用增加了 20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了 4000 元”列出方程求解即可 【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是 x 元，则实际每间建设费用为 1.2x， 根据题意得： 800040008000 1 1.2xx ， 解得：x2000， 经检验：x2000 是原方程的解， 答：每间直播
12、教室的建设费用是 2000 元， 故选：C 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大 13.如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 y 轴交于点 B（0，2） ，点 A（1，m） 在抛物线上，则下列结论中错误的是（） A. ab0 B. 一元二次方程 ax2+bx+c0 的正实数根在 2 和 3 之间 C. a 2 3 m D. 点 P1（t，y1） ，P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数 t 1 3 时，y1y2 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线的对称轴方程得到 b2a0，则可对 A 选项进
13、行判断；利用抛 物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与 x 轴的交 点问题可对 B 选项进行判断；把 B（0，2） ，A（1，m）和 b2a 代入抛物解析式可对 C 选项进行判断； 利用二次函数的增减性对 D 进行判断 【详解】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线的对称轴为直线x 2 b a 1， b2a0， ab0，所以 A 选项的结论正确； 抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标在（0，0）与（1，0）之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间， 一元二次方程 ax2+bx+c0 的正实数根
14、在 2 和 3 之间，所以 B 选项的结论正确； 把 B（0，2） ，A（1，m）代入抛物线得 c2，ab+cm， 而 b2a， a+2a2m， a 2 3 m ，所以 C 选项的结论正确； 点 P1（t，y1） ，P2（t+1，y2）在抛物线上， 当点 P1、P2都在直线 x1 的右侧时，y1y2，此时 t1； 当点 P1在直线 x1 的左侧，点 P2在直线 x1 的右侧时，y1y2，此时 0t1 且 t+111t，即 1 2 t 1， 当 1 2 t1 或 t1 时，y1y2，所以 D 选项的结论错误； 故选：D 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定
15、抛物线与 x 轴的交 点坐标，从而得到一元二次方程的根也考查了二次函数的性质 14.在正方形网格中， 每个小正方形的顶点称为格点， 以格点为顶点的三角形叫做格点三角形 如图， ABC 是格点三角形， 在图中的 66 正方形网格中作出格点三角形ADE（不含ABC） ，使得ADEABC（同 一位置的格点三角形ADE 只算一个） ，这样的格点三角形一共有（） A. 4 个B. 5 个C. 6 个D. 7 个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，得出ABC 的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC 各边长成比例的相似三角形，并在直 角坐标系中无一遗漏地表示出来 【详解】解：ABC 的三边之比为A
16、B:AC BC= 5 : 5 :2: ， 如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况： 所以使得ADEABC 的格点三角形一共有 6 个， 故选：C 【点睛】本题考察了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各 边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 小题小题，满分满分 70 分分请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题 区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效特别注区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区
17、域的作答无效特别注 意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图） 15.计算：12021 3 8+（3.14）0（ 1 5 ）-1 【答案】5 【解析】 【分析】 算出立方根、零指数幂和负指数幂即可得到结果； 【详解】解：原式12+1+5 5 【点睛】本题主要考查了实数的运算，计算是解题的关键 16.如图，AC 是BAE 的平分线，点 D 是线段 AC 上的一点，CE，ABAD求证：BCDE 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据角平分线的性质证明BACDAE，即可得到结果； 【详解】证明：AC 是BAE 的平分线， BACDAE， CE，AB
18、AD BACDAE（AAS） ， BCDE 【点睛】本题主要考查了三角形的全等判定，准确利用角平分线的性质是解题的关键 17.某鞋店在一周内销售某款女鞋，尺码（单位：cm）数据收集如下： 2423.521.523.524.5232223.523.52322.523.523.522.5242422.52523 2323.52322.52323.523.523242222.5 绘制如图不完整的频数分布表及频数分布直方图： 尺码/cm划记频数 21.5x22.53 22.5x23.5 23.5x24.513 24.5x25.52 （1）请补全频数分布表和频数分布直方图； （2）若店主要进货，她最应该
19、关注的是尺码的众数，上面数据的众数为； （3）若店主下周对该款女鞋进货 120 双，尺码在 23.5x25.5 范围的鞋应购进约多少双？ 【答案】 （1）见解析； （2）23.5； （3）该款女鞋进货 120 双，尺码在 23.5x25.5 范围的鞋应购进约 60 双 【解析】 【分析】 （1）根据本次收集的数据，通过划记的方式找出鞋码在22.5x23范围内的数量，并补全分布表和直方 图； （2）根据本次收集的数据，找出出现次数最多的数字，该数字即为众数； （3）根据本次收集的数据，算出鞋码在23.5x25.5范围内的频率，当进货 120 双鞋的时候，鞋码在 23.5x25.5范围内的鞋子数量
20、=进货量该鞋码的频率 【详解】解： （1）根据题中所给的尺寸，根据划记可得鞋码在22.5x23范围的数量共有 12，故表中尺 码为22.5x23的鞋的频数为：12 补全频数分布表如表所示： 补全的频数分布直方图如图所示： （2）样本中，尺码为 23.5cm 的出现次数最多，共出现 9 次，因此众数是 23.5， 故答案为：23.5 （3）鞋码在23.5x25.5范围内的频率为： 132 =0.5 30 ， 共进 120 双鞋，鞋码在23.5x25.5范围内的鞋子数量为： 132 120=60 30 （双） 答：该款女鞋进货 120 双，尺码在 23.5x25.5 范围的鞋应购进约 60 双 【
21、点睛】本题主要考察了频数分布表、频数分布直方图、求出已知数据的众数、用样本出现的概率推测总 体的概率，解题的关键在于正确处理本次收集的数据，在进行各尺码区间频数统计的时候不要出错 18.有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字 2，4，6；另有一个不透明的 瓶子，装有分别标有数字 1，3，5 的三个完全相同的小球小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的 数字（若指针指在分界线上则重转） ，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字 （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是 3 的倍数，则小杰贏；若得到的两数
22、字之和是 7 的倍数，则小玉赢，此游戏公 平吗？为什么？ 【答案】 （1）见解析； （2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）分别使用树状图法或列表法将所有可能出现的结果表示出来，转盘共有 3 种不同的抽取情况，摸球同 样也有 3 种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有 9 种； （2）通过（1）所列出的表格或是树状图表示的结果，统计 “和为 3 的倍数”、“和为 7 的倍数”出现的 次数，并算出概率，通过概率的比较得出结论 【详解】解： （1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 用树状图表示所有可能出现的结果如下： （2）由（1）的表格可知，共有 9 种可能出现的结果，其中“
23、和为 3 的倍数”的有 3 种，“和为 7 的倍数”的有 3 种， P（小杰胜） 31 = 93 ，P（小玉胜） 31 = 93 ， 游戏是公平的 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将转盘、摸球所可能发生的情况一一列出， 避免遗漏，并通过对可能发生的结果进行统计，计算出游戏各赢法所对应的概率 19.为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成 3 间办公室 和 2 间教室的药物喷洒要 19min；完成 2 间办公室和 1 间教室的药物喷洒要 11min （1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？ （2）消毒药物在一间教室内
24、空气中的浓度 y（单位：mg/m3）与时间 x（单位：min）的函数关系如图所示： 校医进行药物喷洒时 y 与 x 的函数关系式为 y2x，药物喷洒完成后 y 与 x 成反比例函数关系，两个函数图 象的交点为 A（m，n） 当教室空气中的药物浓度不高于 1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班 至十一班教室（共 11 间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教 室？请通过计算说明 【答案】 （1） 校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 3min 和 5min； （2） 一班学生能安全进入教室， 计算说明过程见解析 【解析】 【分析】 （1）设校医完
25、成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要minx和miny，再根据题干信息建立二元一次方 程组，然后解方程组即可得； （2）先求出完成 11 间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点 A 的坐标，然后利用待 定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出55x 时，y 的值，与 1 进行比较即 可得 【详解】 （1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要minx和miny 则 3219 211 xy xy 解得 3 5 x y 答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min； （2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则 11 个房间需要55mi
26、n 当5x 时，2 510y 则点 A 的坐标为(5,10)A 设反比例函数表达式为 k y x 将点(5,10)A代入得：10 5 k ，解得50k 则反比例函数表达式为 50 y x 当55x 时， 50 1 55 y 故一班学生能安全进入教室 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较难的是题（2） ， 依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键 20.如图，点 P 是O 的直径 AB 延长线上的一点（PBOB） ，点 E 是线段 OP 的中点 （1）尺规作图：在直径 AB 上方的圆上作一点 C，使得 ECEP，连接 EC，PC（保留清晰作图痕迹，
27、不要 求写作法） ；并证明 PC 是O 的切线； （2）在（1）的条件下，若 BP4，EB1，求 PC 的长 【答案】 （1）见解析； （2）8 【解析】 【分析】 （1）利用尺规作图：以点 E 为圆心，EP 长为半径画弧，在直径 AB 上方的圆上交一点 C，再根据已知条件 可得 OEECEP，根据三角形内角和可得ECOECP90，进而证明 PC 是O 的切线； （2）在（1）的条件下，根据 BP4，EB1，可得 EP 的长，进而可得半径，再根据勾股定理即可求 PC 的长 【详解】解： （1）如图，点 C 即为所求； 证明：点 E 是线段 OP 的中点， OEEP， ECEP， OEECEP，
28、 COEECO，ECPP， COE+ECO+ECP+P180， ECO+ECP90， OCPC，且 OC 是O 的半径， PC 是O 的切线； （2）BP4，EBl， OEEPBP+EB5， OP2OE10， OCOBOE+EB6， 在 RtOCP 中，根据勾股定理，得 PC 22 OPOC 8 则 PC 的长为 8 【点睛】本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握 切线的判定与性质 21.【材料阅读】2020 年 5 月 27 日，2020 珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义” 世界新高度其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶
29、上立一个规标，找到 2 个以上测量点，分段测量 山的高度，再进行累加因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平 距离大于 300m 时，还要考虑球气差，球气差计算公式为 f 2 0.43d R （其中 d 为两点间的水平距离，R 为地 球的半径，R 取 6400000m） ，即：山的海拔高度测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差 【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动如图，点 A，B 的水平距离 d800m，测量仪 AC1.5m，觇标 DE2m，点 E，D，B 在垂直于地面的一条直线上，在测量点 A 处用测 量仪测得山项觇标顶端
30、E 的仰角为 37，测量点 A 处的海拔高度为 1800m （1）数据 6400000 用科学记数法表示为； （2）请你计算该山的海拔高度 （要计算球气差，结果精确到 0.01m） （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【答案】 （1）6.4106； （2）2399.54m 【解析】 【分析】 （1）科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当 原数的绝对值1 时，n 是负数 （2）如图，过点 C 作
31、CHBE 于 H解直角三角形求出 DB，加上海拔高度，加上球气差即可 【详解】解： （1）64000006.4106， 故答案为 6.4106 （2）如图，过点 C 作 CHBE 于 H 由题意 ABCH800m，ACBH1.5m， 在 RtECH 中，EHCHtan37600（m） ， DB600DE+BH599.5（m） ， 由题意 f 2 0.43 800 6400000 0.043（m） ， 山的海拔高度599.5+0.043+18002399.54（m） 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，科学记数法等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角 形解决问题 22.如图，两条抛物线
32、2 1 4yx ， 2 2 1 5 yxbxc 相交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴负半轴上，且为抛 物线 2 y的最高点 （1）求抛物线 2 y的解析式和点 B 的坐标； （2）点 C 是抛物线 1 y上 A，B 之间的一点，过点 C 作 x 轴的垂线交 2 y于点 D，当线段 CD 取最大值时， 求 BCD S 【答案】 （1） 2 2 144 555 yxx，(3, 5)B； （2） 25 4 【解析】 【分析】 （1）先求出点 A 的坐标，再根据“点 A 为抛物线 2 y的最高点”可求出 b 的值，然后将点 A 代入 2 y可求出 c 的值，从而可得抛物线 2 y的解析式，最后设点
33、 B 的坐标为( , )B m n，代入 12 ,y y可得一个关于 m、n 的方程 组，求解即可得； （2）设点 C 的坐标为 2 ( ,4)aC a，从而可得点 D 的坐标和 a 的取值范围，再利用二次函数的性质求出 CD 的最大值，然后根据三角形的面积公式即可得 【详解】 （1）对于抛物线 2 1 4yx 当0y 时， 2 40 x ，解得2x 或2x 点 A 在 x 轴的负半轴上， 点( 2,0)A 点( 2,0)A 是抛物线 2 y的最高点 抛物线 2 y的对称轴为2x ，即 2 1 2 () 5 b 解得 4 5 b 把( 2,0)A 代入 2 2 4 5 1 5 yxxc 得：
34、2 4 0 5 1 ( 2)( 2) 5 c 解得 4 5 c 则抛物线 2 y的解析式为 2 2 144 555 yxx 设点 B 的坐标为( , )B m n 则 2 2 4 144 555 mn mmn ，解得 2 0 m n 或 3 5 m n ( 2,0)A (3, 5)B 答：抛物线 2 y的解析式为 2 2 144 555 yxx，点 B 的坐标为(3, 5)B； （2）设点 C 的坐标为 2 ( ,4)aC a，则点 D 的坐标为 2 14 ,) 55 4 ( 5 aD aa 由题意得：23a 22 144 4 55 () 5 aaCDa 整理得： 22 424 5 55 44
35、1 () 552 CDaaa 由二次函数的性质可知，当 1 2 2 a 时，CD 随 a 的增大而增大；当 1 3 2 a时，CD 随 a 的增大而减小 则当 1 2 a 时，CD 取得最大值，最大值为 5 (3, 5)B，CDx轴 BCD边 CD 上的高为 15 33 22 a 则 1525 5 224 BCD S 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的几何应用 等知识点，较难的是题（2） ，利用二次函数的性质求出 CD 的最大值是解题关键 23.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB5，BC8，点 E，F 分别为 AB，CD 的中点 （1）求证：
36、四边形 AEFD 是矩形； （2）如图 2，点 P 是边 AD 上一点，BP 交 EF 于点 O，点 A 关于 BP 的对称点为点 M，当点 M 落在线段 EF 上时，则有 OBOM请说明理由； （3）如图 3，若点 P 是射线 AD 上一个动点，点 A 关于 BP 的对称点为点 M，连接 AM，DM，当AMD 是 等腰三角形时，求 AP 的长 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）满足条件的 PA 的值为 5 2 或 20 3 或 8 或 10 【解析】 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 是矩形，先证明四边形 AEFD 是平行四边形，根据A90，即可得到结果； （2）连接 PM
37、BM，证明 EFAD，推出 BOOP，根据翻折可得到结果； （3）分类讨论：当 MAMD 时，连接 BM，过点 M 作 MHAD 于 H 交 BC 于 F；当 AMAD 时，连接 BM，设 BP 交 AM 于 F；当 DADM 时，此时点 P 与 D 重合，AP8；当 MAMD 时，连接 BM，过点 M 作 MHAD 于 H 交 BC 于 F； 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD，A90， AEEB，DFFC， AEDF，AEDF， 四边形 AEFD 是平行四边形， A90， 四边形 AEFD 是矩形 （2）证明：如图 2 中，连接 PMBM 四边形 AEFD
38、 是矩形， EFAD， BEAE， BOOP， 由翻折可知，PMBA90， OMOBOP （3）解：如图 31 中，当 MAMD 时，连接 BM，过点 M 作 MHAD 于 H 交 BC 于 F MAMD，MHAD， AHHD4， BAHABFAHF90， 四边形 ABFH 是矩形， BFAH4，ABFH5， BFM90， BMBA5， FM 2222 543BMBF ， HMHFFM532， ABP+APB90，MAH+APB90， ABPMAH， BAPAHM90， ABPHAM， APAB HMAH ， 5 24 AP ， AP 5 2 如图 32 中，当 AMAD 时，连接 BM，设
39、BP 交 AM 于 F ADAM8，BABM5，BFAM， AFFM4， BF 2222 543ABAF ， tanABF APAF ABBF ， AP4 53 ， AP 20 3 ， 如图 33 中，当 DADM 时，此时点 P 与 D 重合，AP8 如图 34 中，当 MAMD 时，连接 BM，过点 M 作 MHAD 于 H 交 BC 于 F BM5，BF4， FM3，MH3+58， 由ABPHAM，可得 APAB HMAH ， 5 84 AP ， AP10， 综上所述，满足条件的 PA 的值为 5 2 或 20 3 或 8 或 10 【点睛】本题主要考查了利用矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理的性质进行求解，准确分析题意 是解题的关键
