1、第玉卷（选择题， 共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.） 1. 已知集合 A =(x， y)丨 x = 1 , B = (x,y)丨 y = x + 1,则 A疑B = （） A.（1， 2）B. （1， 2） C. 1， +肄）D.1 2. 若复数 z 满足 z i=丨-1-i 丨， 则 z=（） A援1-iB援 1+iC援 -2姨iD援2姨i 3. 直线 l1： ax+y-1=0， l2：（a-1） x-2y+1=0， 则 “a=2” 是 “l1彝l2” 的 （） 条件 A. 必要不充分B.
2、充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要 4. 已知定义在 R 上的函数 f(x）满足： x， y沂R， f （x+y） =f （x） f （y） ， 且 f （1） =2， 则 f （0） +f （2） = （） A. 4B. 5C. 6D. 7 5. 已知三条不重合的直线 m， n， l ， 三个不重合的平面 琢， 茁， 酌， 下列命题中正确的是 （） A. m彝l n彝l 嗓 m椅nB. l彝琢 l彝n 嗓 n椅aC. 琢彝酌 茁彝酌 嗓 琢椅茁 D. m彝琢 m彝茁 嗓 琢椅茁 6. 等差数列 an ， Sn为其前n项和， a1=乙 1 x dx， S6=36， 记数列 （-1 ）
3、nan 的前n项和为Tn， 则T10+T21= （） A. -11B. -9C. -13D. -7 7. 我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果。北宋大科学家沈括在 梦溪笔谈 中首创的 “隙积术” ， 就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆， 从上向下数， 第一层有 1 个货物， 第 二层比第一层多 2 个， 第三层比第二层多 3 个， . ， 以此类推.记第 n 层货物的个数为 an， 则数列 1 an 嗓瑟的前 2021 项和为 （） A. 4041 2021 B. 2021 1011 C. 2021 2022 D. 2020 1011 南山实验高2021届补习班理科高考模拟
4、卷（二） 数 学 （理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第玉卷 （选择题） ， 第域卷 （非选择题） ， 共 4 页， 满分 150 分， 考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答题前， 考生务必将自己的姓名、 座位号、 准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡 上， 并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上； 非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书 写在答题卡的对应框内， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、 试题卷上答题无效. 3.考试结束后， 将答题卡收回. 数学 （理科） 试卷第 1 页 （共 4 页） e 1 8. 定义
5、运算 a1a2 a3a4 =a1a4-a2a3.设 f （x） = 3姨cos2棕x 1sin2棕x （棕跃0） ， 若 f （x） 的图像与直线 y=-2 相交， 且 交点中两点间的最短距离为 仔， 则满足 f （m+x） =f （m-x） 的一个 m的值为 （） A. 仔 12 B. 仔 4 C. 仔 3 D. 仔 6 9. 已知 O 为坐标原点， P为已C：（x-a） 2+ （y-1）2=2 （a跃0） 上的动点， 直线 l： x+y-1=0， 若 P 到 l 的最小 距离为 22姨， 则 a的值为 （） A. 2B. 4C. 6D. 8 10. 已知曲线 C： 2x2-2y2=1， 过
6、它的右焦点 F作直线交曲线 C 于 M、 N 两点， 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 P， 可证明 丨 PF 丨 丨 MN 丨 是一个定值 m， 则 m= （） A. 2姨 2 B.2姨C. 3姨 2 D.3姨 11. 已知函数 f （x） = x e 丨 x 丨， 记 a=f （log32） ， b=f （log53） ， c=f （ln 1 e ） ， 则 （） A. a跃c跃bB. a跃b跃cC. c跃a跃bD. c跃b跃a 12. 已知函数 f （x） =ex- lnx x - 1 x +a， 若曲线 y=f （x） 在点 （b， f （b） ） 处与直线 y=0 相切， 则 a
7、= （） A援 1B. 0C援 -1D援 -1 或 1 第域卷（非选择题， 共 90 分） 二、 填空题（本题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分） 13. 若 （x- 1 2x ） n的展开式中只有第 5项的二项式系数最大， 则展开式中常数项为 . （用数字作答） 14. 樱花如约而至， 武汉疫后重生. “相约春天赏樱花” 的诺言今年三月在武汉大学履行.武汉大学邀 请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱。 某医院计划在援鄂的 3 名医生和 5 名护士 （包含甲医生 和乙护士） 中任选 3 名作为第一批人员前去赏樱， 则甲医生被选中且乙护士未被选中的概率为 . 15. 已知抛物线 C： y2
8、=4x 的焦点为 F， 其准线 l 与 x 轴的交点为 K， 点 P （x， y） （y跃0） 为 C 上 一点， 当 丨 PK 丨 丨 PF 丨 最大时， 直线 KP的斜率为. 16. 如图， P为吟ABC 内任意一点， A,B,C 的对边分别为 a， b， c. 总有优美等式 S吟PBCPA +S吟PACPB ABPC =0 成立， 因该图形酷似奔驰汽车车标， 故称为奔驰定理. 现有以下命题： （1） 若 P 是吟ABC 的重心， 则有PA +PB +PC =0 ； （2） 若 aPA +bPB +cPC =0 成立， 则 P 是吟ABC 的内心； (3)若AP = 2 5 AB + 1
9、5 AC ， 则 S吟ABP： S吟ABC=2： 5； （4） 若 P 是吟ABC 的外心， A=仔 4 ， PA =mPB +nPC ， 则 m+n沂-2姨， 1） . 则正确的命题有. 数学 （理科） 试卷第 2 页 （共 4 页） 吟 + P 角 又 S 三、 解答题：（解答过程应写出必要的文字说明， 解答步骤.共 70 分） （一） 必考题： 每题 12 分， 共 60 分 17. 在钝角吟ABC 中， 角 A,B,C 所对的边分别是 a， b， c， 且 sinC-sin （A-B） =4sin2A. 3 ， 求吟ABC 的面积. 18. 某品牌汽车 4S 店对 2020 年该市前几
10、个月的汽车成交量进行统计， 用 y 表示 2020 年第 x 月份 （1） 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a， 并预测该店 9 月份的成交量；（a， b 精确到整数） （2） 该店为增加业绩， 决定针对汽车成交客户开展抽奖活动， 若抽中“一等奖” 获 5 千元奖金； 抽中 “二等奖” 获 2 千元奖金； 抽中 “祝您平安” 则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得 “二等 奖” 的概率为 1 3 ， 没有获得奖金的概率为 1 6 .现有甲、 乙两个客户参与抽奖活动， 假设他们是 否中奖相互独立， 求此二人所获奖金总额 X （千元） 的分布列及数学期望. 19援 如图， 在圆锥 PO
11、中， AC 为已O 的直径， 点 B 在 AC 上， OD椅BC， 蚁CAB=仔 6 . （1） 证明： 平面 PAB彝平面 POD； （2） 若直线 PA 与底面所成角的大小为仔 4 ， E 是 PD 上一点， 且 OE彝PD,求二面角 E-AC-B 的余弦值. 数学 （理科） 试卷第 3 页 （共 4 页） xi12345678 yi14122020222430 夷 夷夷夷夷 倚 （1） 求 b a 的值； （2） 若吟ABC 的外接圆半径为 姨 3 39 ， C=仔 该店汽车成交量， 得到统计表格如下： 26 数学 （理科） 试卷第 4 页 （共 4 页） 20. 已知椭圆 C： x2
12、a2 + y2 b2 =1 （a跃b跃0） 的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形， 且 P （2， 1） 在椭 圆上. （1） 求椭圆的方程； （2） A,B 是椭圆上异于 P 的两点， 设直线 PA， PB 的斜率分别为 k1， k2， 点 Q （8， 3） 到直线 AB 的 距离为 d， 若 k1+k2=1， 求以 d 的最大值为直径的圆的面积. 21. 已知函数 f （x） = 1 3 x3+x2+ax+a . （1） 若曲线 y=f （x） 在点 （0， a） 处的切线 l 与曲线 x2+y2越 1 2 相切， 求 a的值； （2） 若函数 f （x） 的图象与 x 轴有且只有一个
13、交点， 求 a的取值范围. （二） 选做题：（共 10 分， 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答.如果多做， 则按所做的第一题计分.） 22.选修 4-4： 坐标系与参数方程蓘蓡（10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为： x=3姨t y=1-t2 姨 扇 墒 设 设 设 设 缮设 设 设 设 （t为参数） ， 以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 籽sin （兹+仔 6 ） =3姨. （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）在极坐标系中， 射线兹=仔 6（籽逸0） 与曲线 C 1交于点 A， 射线 兹=仔 3（籽逸0） 与曲线 C 2交于点 B， 求吟AOB 的面积. 23.选修 4-5： 不等式选讲 蓘蓡（10 分） 函数 f （x） = 2x-1 + x-2 +1 （1） 若方程 f （x） =m 无实根， 求实数 m 的取值范围； （2） 记 f （x） 的最小值为 n. 若 a， b跃0， 且 5a+5b=2n， 证明： a+4b-9ab逸0. ，
