1、第十九章数系的扩充与复数 知识网络 第十九章数系的扩充与复数 概述： 本章有两条主线： 一条是以复数代数形式来表达复数的概念， 规定了加、 乘两种运算 法则， 把减、 除定义为加、 乘的逆运算， 利用把复数的代数形式a+bi看成两个非同类项a 和bi组成的一个数来运用多项式乘法的运算法则， 使得复数的运算法则简单易记， 并且与 多项式、 方程联系起来， 能顺利解决一些多项式因式分解、 解方程等数学问题； 另一条主线 是用复平面上的点或向量来描述复数， 引出复数的几何意义， 使复数与平面几何、 解析几何 相联系， 加强数与形的结合. 在本章的学习中， 体会数系扩展的必要性， 并注意数系扩展的方向
2、和原则， 使扩展后 的数系能包括原来的数系， 原有的运算及运算律在扩展后的数系中仍然成立. 数系的扩充与复数 复数的概念 复数相等的条件及应用 复数的几何意义 复数代数形式的运算 共轭复数 复数模的性质 复数加减法的几何意义 复数的概念 及几何意义 复数代数形式 的四则运算 155 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUJIE 19.1数系的扩充与复数的概念 一、 知识图表 （1） 依规定， 可得i 的幂的周期性：i4k=1， i4k+1=i，i4k+2=-1，i4k+3=-i i4k+i4k+1+i4k+2+i4k+
3、3=0 （2）第 一 条 性 质 i2=-1中 ， 并 没 有 规 定 i=-1姨. （3） 复数集 的 韦 恩 图表示： （4） 两个实 数 可 以 比较大小， 但两个虚数 不能比较大小. （5） 实轴上的点都表 示实数； 除原点外， 虚轴 上的点都表示纯虚数. （6） 复平面中，x轴 的单位是1，y轴的单位 是i， 实轴与虚轴的交点 叫做原点， 原点 （0，0） 对应复数0. （7） 习惯上 ， 用 大 写Z来 表 示 点 ， 小 写z 表示复数. 实 数 一一对应 实 轴上的点； 纯 虚 数 一一对应 虚轴上的点 （除原点外）； 复数z=a+bi 一一对应 复 平 面 内 的 特别提示:
4、 虚数集 复数集 实数集 纯虚数集 复 数 的 概 念 虚数单位 i叫做虚数单位， 并规定： （1） 它的平方等于-1， 即i2=-1； （2） 虚数与它进行四则运算时， 原有加乘法运算律仍成立. 复数的概念 形如a+bi（a，bR） 的数叫做复数， 复数通常用一个字 母z来表示， 即z=a+bi（a，bR）， 其中a叫做它的实 部， b叫做它的虚部. 复数的分类 全体复数构成的集合叫做复数集， 用字母C表示. （1） 复数a+bi（a，bR）， 当b=0时， 叫实数； （2） 复数a+bi（a，bR）， 当b0时， 叫虚数； （3） 复数a+bi（a，bR）， 当a=0，b0时， 叫纯虚数；
5、 （4） 复数a+bi（a，bR）， 当a0，b0时， 叫非纯虚 数. 复 数 相 等 的 条 件 如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等. 这就是说， 如果a，b，c，dR， 那么a+bi=c+di圳a=c，b=d. 复 数 的 几 何 意 义 复数集与复平面 内点的对应关系 根据复数相等的条件， 任何一个复数z=a+bi， 都可以由一 个有序实数对 （a，b） 唯一确定， 由于有序实数对 （a， b） 与平面直角坐标系中的点一一对应， 因此复数集与平 面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 复平面 如图点Z的横坐标是a， 纵坐标 是b， 复数z=a+bi可用
6、点Z（a， b） 表示， 这个建立了直角坐标 系 来 表 示 复 数 的 平 面 叫 做 复 平 面， x轴叫做实轴，y轴除去原点 的部分叫做虚轴. 复数的向量表示 设复平面内的点Z表示复数z=a+bi（a，bR）， 则向量 O ? Z由点Z唯一确定， 向量O ? Z就是复数z=a+bi的向量表 示. y x Oa b z: a+bi 156 第十九章数系的扩充与复数 二、 重要概念剖析 1.复数集的分类. 用集合表示复数集的分数：N芴Z芴Q芴R芴C 用简易逻辑表示复数集的分类：N圯Z圯Q圯R圯C 2.复数相等条件的应用. 根据复数相等的充要条件， 由复数相等的代数形式， 得到两个 实数等式所
7、组成的方程组， 从而可用来确定两个参量. 例如果复数z满足z+i+z-i=2， 那么z+i+1的最小值是（） A. 1B.2姨C. 2D.5姨 思路引导：解： 由复数模的几何意义和z+i+z-i=2表示复平面上以 点A（0，1），B（0，-1） 为端点的线段AB上的点， 从而z+i+ 1=z-（-1-i）表示线段AB上的点Z到点C（-1，-1） 的距离， 故 选A. （2011全国理） 复数z=1+i，z为z的共轭复数， 则zz -z-1= （） A. -2iB. -iC. iD. 2i 答案：B 复数的模 O ? Z 叫做复数z=a+bi（a，bR） 的模 （或绝对值）， 记作z 或a+bi
8、， 由模的定义可知： z=a+bi=r=a2+b2姨（显然r0，rR）. 共轭复数 如果两个复数的实部相等， 而虚部互为相反数， 则这两个 复数叫做互为共轭复数. 复数z的共轭复数用z表示， 即当z=a+bi时， 则z=a-bi. 点Z（a，b）. （8）Z=Z圳ZR； （z）=z z=-z且z0圳z 为纯虚数； zz=1圳z=1 zz=z2=z2=a2+b2 z1z2=z1z2 四、 高考回眸 高考命题趋势：复数的 概念是复数高考考查的 热点. 名师经验谈：利用复数 模的几何意义， 利用数 形结合思想解题. 三、 学习方法引导 续表 157 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG
9、 SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUJIE 19.2复数的运算 一、 知识图表 （1） 熟记下 列 基 本 关系， 可提高计算的速 度. （1+i）2=2i， （1-i）2= -2i，（1 +i） （1 -i）=2； 1 i =-i， 1 1+i = 1-i 2 ； 1+i 1-i =i， 1-i 1+i =-i； in+i-n=in+（-i）n= 0，n为大奇数 2，n为4的倍数 -2，n为偶数， 但非4 的倍 倍 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数 . （2） 由 向 量 加 减 法 的几何意义， 可得复数 模的性质：z1-z2 z1+z2z1+z2；z
10、1+z22+ z1-z22=2（z12+z22）. 特别提示: 复 数 的 运 算 复 数 的 四 则 运算 设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，dR） 是任意两个复数， 则加减法： （a+bi）（c+di）=（ac）+（bd）i; 乘法：（a+bi） （c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i； 除法： a+bi c+di =ac+bd c2+d2 +bc-ad c2+d2 i（c+di0） 复 数 加 减 法 的几何意义 复数加法的几何意义： 设OZ1 1?， OZ2 1?分别对应于复数 z1=a+ bi（a，bR） 和z2=c+di（c，dR）， 且OZ1 1?， OZ2
11、1?不共 线， 以这两个向量为两条邻边作平行四边形， 则这个平行 四边形的对角线OZ所表示的向量O 1? Z就是与复数z1和z2 的和相对应的向量. 两个复数z1和z2的差z1-z2对应于连接它们对应向量OZ1 1?和 OZ2 1?的终点并指向被减数的向量Z 2Z1 1?， 即Z 2Z1 1?=z 1-z2. 二、 重要概念剖析 复数的运算. 复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算 （合并同类项）， 复数的乘除运算是复数运算 的难点， 在乘法计算中要注意i的幂性质， 区别 （a+bi）2=a2+2abi-b2. 与（ a+b）2=a2+2ab+b2， 在除法运 算中， 关键是 “分母实数化
12、”（分子、 分母同乘以分母的共轭复数）， 此时要注意区分 （a+bi） （a- bi）=a2+b2 与（ a+b）（a-b）=a2-b2. y x O z z1 z2 158 第十九章数系的扩充与复数 例已知复数z1=1-i，z1z2=1+i， 则复数z2=. 思路引导： 解： z1z2=1+i圯z2= 1+i z1 = 1+i 1-i =i. 1.（2016年高考新课标卷文） 若z=4+3i， 则 z z =（） A. 1B. -1C. 4 5 + 3 5 iD. 4 5 - 3 5 i 答案：D 2.（2016年高考新课标卷理） 若z=1+2i， 则 4i zz -1 =（） A. 1B. -1C. iD. -i 答案：C 名师经验谈：复数四则 运算中复数的乘除法是 难点， 特别要注意i的 幂性质. 三、 学习方法引导 四、 高考回眸 高考命题趋势：复数高 考难度降低， 重点考查 复数的乘除法. 159
