1、2020 年数三真题 一、选择题 (1)设 lim xa f(x)a xa = b，则 lim xa sinf(x)sina xa =() (A)bsina.(B)bcosa.(C)bsinf(a).(D)bcosf(a). (2)函数 f(x) = e 1 x1ln|1+x| (ex1)(x2) 的第二类间断点的个数为 () (A)1 个.(B)2 个.(C)3 个.(D)4 个. (3)设奇函数 f(x) 在 (,+) 上具有连续导数，则 () (A) x 0 cosf(t) + f(t)dt 是奇函数.(B) x 0 cosf(t) + f(t)dt 是偶函数. (C) x 0 cosf
2、(t) + f(t)dt 是奇函数.(D) x 0 cosf(t) + f(t)dt 是偶函数. (4)设幂级数 n=1 nan(x 2)n的收敛区间为 (2,6)，则 n=1 an(x + 1)2n的收敛区间为 () (A)(2,6).(B)(3,1).(C)(5,3).(D)(17,15). (5)设 4 阶矩阵 A = (aij) 不可逆，a12的代数余子式 A12= 0，1，2，3，4为矩阵 A 的列向量 组，A为 A 的伴随矩阵，则方程组 Ax = 0 的通解为 () (A)x = k11+ k22+ k33，其中 k1，k2，k3为任意常数. (B)x = k11+ k22+ k3
3、4，其中 k1，k2，k3为任意常数. (C)x = k11+ k23+ k34，其中 k1，k2，k3为任意常数. (D)x = k12+ k23+ k34，其中 k1，k2，k3为任意常数. (6)设 A 为 3 阶矩阵，1，2为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，3为 A 的属于特征值 1 的特征向量，则满足 P1AP = 100 010 001 的可逆矩阵 P 可为 () (A)(1+ 3,2,3).(B)(1+ 2,2,3). (C)(1+ 3,3,2).(D)(1+ 2,3,2). (7) 设 A，B，C 为三个随机事件，且 P(A) = P(B) = P(C) = 1
4、4，P(AB) = 0，P(AC) = P(BC) = 1 12， 则 A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为 () (A)3 4. (B)2 3. (C)1 2. (D) 5 12. (8)设随机变量 (X,Y ) 服从二维正态分布 N(0,0;1,4;1 2)，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 X 独立的是 () (A) 5 5 (X + Y ).(B) 5 5 (X Y ).(C) 3 3 (X + Y ).(D) 3 3 (X Y ). 1 二、填空题 (9)设 z = arctanxy + sin(x + y)，则 dz|(0,)=. (10)曲线 x + y + e2xy= 0
5、 在 (0,1) 处的切线方程为. (11)设某厂家某产品的产量为 Q，成本 C(Q) = 100 + 13Q，设产品的单价为 P，需求量 Q(P) = 800 P+3 2，则该厂家获得最大利润时的产量为. (12)设平面区域 D = (x,y) ? ? ?x 2 y 1 1+x2,0 x 1 ，则 D 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积 为. (13)行列式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a011 0a11 11a0 110a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =. (14)设随机变量 X 的概率分布为 PX = k = 1 2k,k = 1,2,3,，Y 表示 X 被 3 除
6、的余数，则 E(Y ) =. 三、解答题 (15)已知 a，b 为常数，若 (1 + 1 n )n e 与 b na 在 n + 时是等价无穷小，求 a，b. (16)求函数 f(x,y) = x3+ 8y3 xy 的极值. (17)设函数 y = f(x) 满足 y+ 2y+ 5y = 0，f(0) = 1，f(0) = 1. (I) 求 f(x) 的表达式. (II) 设 an= + n f(x)dx，求 n=1 an. (18)设 D = (x,y)|x2+y2 1,y 0，连续函数 f(x,y) 满足 f(x,y) = y1 x2+x D f(x,y)dxdy， 求 D xf(x,y)
7、dxdy. (19)设函数 f(x) 在区间 0,2 上具有连续导数，f(0) = f(2) = 0，M = max x0,2 |f(x)|. 证明： (I) 存在 (0,2)，使 |f()| M. (II) 若对任意 x (0,2)，|f()| M，则 M = 0. (20)设二次型 f(x1,x2) = x2 1 4x1x2+ 4x22 经过正交变换 ( x1 x2 ) = Q ( y1 y2 ) 化为二次型 g(y1,y2) = ay2 1+ 4y1y2+ by22，其中 a b. (I) 求 a，b 的值. (II) 求正交矩阵 Q. (21)设 A 为 2 阶矩阵，P = (,A)，
8、其中 是非零向量且不是 A 的特征向量. (I) 证明 P 为可逆矩阵. (II) 若 A2 + A 6 = 0，求 P1AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵. (22)设二维随机变量 (X,Y ) 在区域 D = (x,y)|0 y 0, 0,X Y 0. Z2= 1,X + Y 0, 0,X + Y 0. (I) 求二维随机变量 (Z1,Z2) 的概率分布. (II) 求 Z1与 Z2的相关系数. (23)设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为 F(t) = 1 e( t ) m, t 0, 0,其他. 其中 ，m 为参数且均大于零. (I) 求概率 PT t 与 PT s + t|T s，其中 s 0，t 0. (II) 任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t1，t2，tn，若 m 已知，求 的 最大似然估计值 .
