1、专题专题 6.3 解三角形大题（周长问题）解三角形大题（周长问题） 1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， sin sinsin acB bcAC （1）求角A的大小； （2）若ABC为锐角三角形，且4a ，求ABC周长的取值范围 解： （1）因为 sin sinsin acB bcAC ，由正弦定理可得 acb bcac ，整理可得 222 bcabc， 利用余弦定理可得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为(0, )A， 可得 3 A （2）在ABC中，4a ，由正弦定理可得 48 3 sinsin3 sin 3 bc BC ， 所以 8 3 sin
2、3 bB， 8 38 32 sinsin() 333 cCB ， 所以 8 38 328 3 33 sinsin()( sincos)8sin() 3333226 bcBBBBB ， 因为ABC为锐角三角形，可得 0 2 2 0 32 B B ，可得 62 B ，可得 2 363 B ， 所以 3 sin() 1 26 B ， 可得8sin()(4 3 6 bcB ，8， 故周长abc的取值范围是(4 34，12 2如图所示，在四边形ABCD中，tan3 3BAD ， 3 tan 2 BAC （）求DAC的大小； （）若2DC ，求ADC周长的最大值 解： （）在四边形ABCD中，tan3 3
3、BAD ， 3 tan 2 BAC， 所以 3 3 3 tantan 2 tantan()3 1tantan3 1( 3 3) 2 BADBAC CADBADBAC BADBAC ， 由于DAC为三角形的内角， 所以60DAC （）由（）知：60DAC， 设ACa，ADb， 由余弦定理得： 222 2cos60CDabab， 整理得： 22 4abab， 由于 222 () 2 abab ab ，代入上式得到： 222 ()338abab， 由于 2 22 () 2 ab ab ， 整理得 2 ()16ab， 即4ab ， 当且仅当2ab时，等号成立， 所以()426 ADCmax labDC
4、 3已知ABC三个内角A，B，C的对边分别为 3cos , , ,tantan coscos A a b cBC BC （1）求角A的大小； （2）当2a 时，求ABC周长的最大值 解： （1） 3cos tantan coscos A BC BC ， sinsinsincoscossinsin()sin3cos coscoscoscoscoscoscoscoscoscos BCBCBCBCAA BCBCBCBCBC ， sin3cosAA， tan3A， 又0A， 3 A （2）由正弦定理得： sinsinsin abc ABC ， sin4 3 sin sin3 aB bB A ， sin
5、4 34 32 sinsin() sin333 aC cCB A ， 4 3213 sinsin()4( cossin)4sin() 33226 bcBBBBB ， 当 62 B 即 6 B 时，bc取得最大值 4 ABC周长的最大值426 4 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知1a ，(1,3)m ，(sin,cos)nAA 且mn （1）求角A的大小； （2）求ABC周长的取值范围 解： （1）根据题意，(1,3)m ，(sin,cos)nAA ， 若mn ，得sin3cos0m nAA ， 则tan3A ； 又(0, )A，则 3 A ； （2）由（1）知 3 A
6、 ，1a ， 则 12 sinsinsin3 sin 3 bca BCA ， 2 sin 3 bB， 2 sin 3 cC， 2 2 CABB ， 2 (0,) 2 B ； 222233 1sinsin()1( sincos )12sin() 3226333 labcBBBBB ， 又 2 (0,) 3 B ， 5 (,) 666 B ， 1 sin()( ,1 62 B ， 212sin() 3 6 B ，ABC周长的取值范围(2，3 5 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 已知向量(3, )mac b ，(cos , cos)nBC ， 且mn （1）求cosB的值； （2）
7、若2b ，ABC的面积为 6 4 ，求ABC的周长 解： （1）根据题意，向量(3, )mac b ，(cos , cos)nBC ，且mn 则(3)coscos0m nacBbC ， 又由正弦定理可得(3sinsin)cossincos0ACBBC， 即3sincossincossincos3sincossin()0ABCBBCABBC； 又sin()sinBCA，所以3sincossin0ABA， 又(0, )A，所以sin0A ，则 1 cos 3 B （2）由（1）的结论， 1 cos 3 B ，则 222 2cosbacacB，即 222 28 4() 33 acacacac， 又由
8、ABC的面积为 6 4 ，即 16 sin 24 SacB， 2 2 2 sin1 3 Bcos B， 则有 612 2 423 ac，则 3 3 4 ac ， 则 22 8 ()442 3( 31) 3 acac，则31ac， 则有31233abc ， 故ABC的周长为33 6某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA， AE为赛道（不考虑宽度） ，BE为赛道内的一条服务通道， 2 3 BCDCDEBAE ，4DEkm， 3BCCDkm （1）求服务通道BE的长度； （2）求折线段赛道BAE的长度的取值范围 解： （1）连接BD，在BCD中，由余弦
9、定理得： 222 2cos9BDBCCDBCCDBCD， 3BD，又BCCD，可得 6 CBDCDB ， 又 2 3 CDE ， 2 BDE ，在Rt BDE中， 22 5BEBDDE， （2）在BAE中， 2 3 BAE ，5BE ， 由余弦定理得 222 2cosBEABAEAB AEBAE，即 22 25ABAEAB AE， 即 22 ()25() 2 ABAE ABAEAB AE ， 从而 2 3 ()25 4 ABAE，即 10 3 3 ABAE，当且仅当ABAE时，等号成立， 即设计为ABAE时， 拆线段赛道BAE最长， 所以拆线段赛道BAE的长度的取值范围为 10 3 (5, 3
10、 7在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 222 ()tan3bcaAbc （1）求角A； （2）若3a ，则ABC周长的取值范围 解： （1）由若 222 ()tan3bcaAbc，可得 222 () sin3 2cos2 bcaAbc bcAbc ，得到 3 sin 2 A ， 又(0,) 2 A ，所以 3 A （2） 3 A ，3BC ，设周长为x，由正弦定理知2 sinsinsin BCACAB R ABC ， 由合分比定理知 sinsinsinsin BCABBCAC AABC ， 即 3 33 sinsin 22 x BC ， 3 2 3sinsin() 2 B
11、ABx， 即32 3sinsin()32 3(sinsincoscossin) 333 xBBBBB 1333 32 3(sinsincos)32 3( sincos) 2222 BBBBB 31 36(sincos)36sin() 226 BBB 又因为ABC为锐角三角形， 所以 3 (,).sin()(,1 6 262 BB ， 周长(33 3,9x 8已知锐角ABC面积为S，A、B、C所对边分别是a、b、c，A、C平分线相交于 点O，3b 且 222 3 () 4 Sacb，求： （1）B的大小； （2）ABC周长的最大值 解： （1） 222 3 () 4 Sacb， 222 13 sin() 24 acBacb， 故： 13 sin2cos 24 acBacB， 可得：tan3B ， 由(0, )B，可得： 3 B 6分 （2）3b ， 3 B 由正弦定理可得： 3 2 sinsin3 2 ac AC ，可得：2sinaA， 2 2sin2sin() 3 cCA ， 则 222 2sin2sin()2sin2sincos2cossin3sin3cos2 3sin() 3336 acAAAAAAA 2 0 3 A ， 5 666 A 当 62 A ，即 3 A 时，ac取得最大值为2 3 那么AC周长的最大值为：2 333 312分
