1、专题专题 4.17导数大题（任意、存在性问题）导数大题（任意、存在性问题） 1已知函数 2 ( )( ,)f xlnxaxbx a bR，函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为2y （1）求函数( )f x的极值； （2）对于任意 1 x， 2 1x ，3，当 12 xx时，不等式 21 12 12 () ()() m xx f xf x x x 恒成立，求实数m 的取值范围 解： （1）函数 2 ( )f xlnxaxbx的定义域为(0,)，则有 1 ( )2fxaxb x ， 函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为2y ， 根据函数导数的几何意义可得， (1)120
2、 (1)2 fab fab ， 解这个方程组得，1a ，3b ； 2 ( )3f xlnxxx， 2 1231(21)(1) ( )23 xxxx fxx xxx ， 令( )0fx，可得 1 2 x ，或1x ， 则有 1 ( )00 2 fxx，或1x ； 1 ( )01 2 fxx； 即得函数( )f x在 1 (0, ) 2 和(1,)上单调递增，在 1 ( 2 ，1)上单调递减； 由此可得，函数在 1 2 x 处取得极大值为： 11135 ( )2 22424 flnln ； 在1x 处取得极小值为：f（1）1 132ln （2）由 12 12 ()() mm f xf x xx 变
3、形得 12 12 ()() mm f xf x xx ， 此时令( )( ) m F xf x x ， 1 x， 2 1x ，3，且 12 xx， 由上可得，函数( )F x在1，3上单调递增； 2 22 231 ( )( ) mxxm F xfx xxx 当1x，3时，恒有 2 32 2 231 ( ) 023 mxx F xmxxx xx 此时令 32 ( )23G xxxx ，则有( )maxm G x 22 11 ( )6616() 22 G xxxx 根据二次函数的性质可知，当1x，3时，( )G xG（1） 5 0 2 即得函数( )G x在1，3上单调递减，故有( )maxG x
4、G（1）0 故可得，0m，即0m，) 2已知曲线()yln xm与x轴交于点P，曲线在点P处的切线方程为( )yf x，且f（1）2 （1）求( )yf x的解析式； （2）求函数 ( ) ( ) x f x g x e 的极值； （ 3 ） 设 2 (1)1 ( ) ln xa lnx h x x ， 若 存 在 实 数 1 1x ， e， 1 2 xe，1， 使 2 122222 2 ( )(1)h xx ln xax lnxx成立，求实数a的取值范围 解： （1）曲线()yln xm与x轴交于点(1,0)Pm， 1 y xm ， 曲线在点P处的切线斜率 1 1 1 k mm ，可得切线方
5、程为0(1)yxm， f（1）2，21(1)m ，解得2m ( )(12)yf xx，即( )1f xx （2）函数 ( )1 ( ) xx f xx g x ee ， ( ) x x g x e ， 0 x时，( )0g x，此时函数( )g x单调递减；0 x 时，( )0g x，此时函数( )g x单调递增 0 x是函数( )g x的极大值点，(0)1g （3）设 2 1 x m ， 1 2 xe，1，则1m， e， 2 2 22222 (1)1 (1) ln ma lnm x ln xax lnxx m 2 (1)1 ( ) ln xa lnx h x x ， 2 (1)1 ( ) l
6、n ma lnm h m m 若存在实数 1 1x ， e， 1 2 xe，1，使 2 122222 2 ( )(1)h xx ln xax lnxx成立， 等价于： 1 2 ()( )h xh m成立，1m， e 即2 ( )( ) minmax h xh x，1x， e 令lnxt，1x， e，则0t，1 22 (1)1(1)1 ( ) t ln xa lnxta t h x xe ，0t，1，(0)1h，h（1） 3a e 2 21(1)1(1)() ( ) tt tata tt ta h t ee ， 1a时，( ) 0h t， 可得： 函数( )h t在0t，1上单调递减，2h（1）
7、(0)h， 可得： 3 21 a e ， 又1a， 解得：3 2 e a 0a时，( ) 0h t，可得：函数( )h t在0t，1上单调递增，2 (0)hh（1） ，可得： 3 2 1 a e ， 又0a， 解得：32ae 01a时，函数( )h t在0t，)a上单调递减，在ta，1)上单调递增 可得：( )minh xh（a） 2 (1)11 aa aa aa ee ； 由（2）可知：h（a） 1 a a e 则(0,1)上单调递减， 4 2 ( )2 min h x e ( ) (0) max h xmax h，h（1）1max， 3 a e 而 233a eee 不等式2 ( )( )
8、 minmax h xh x无解 综上可得：a的取值范围是(，32 )(3 2 e e，) 3已知函数 3 ( )()f xxxalnx aR （1）若函数( )f x在其定义域上为增函数，求a的取值范围； （ 2 ） 当3a时 ， 求 证 ： 对 任 意 的 1 x， 2 1x ，)， 且 12 xx， 有 211212 2 ()2 ()()()()0f xf xxxfxfx恒成立 解： （1）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 ( )31 a fxx x ， 若函数( )f x在其定义域上为增函数，则( ) 0fx在(0,)上恒成立， 即 2 310 a x x ，得 3 3xx a
9、 ， 设 3 ( )3g xxx，则 2 ( )91g xx， 当 1 (0, ) 3 x时，( )0g x，当 1 ( ,) 3 x时，( )0g x， 所以当 1 (0, ) 3 x时，函数( )g x单调递减，当 1 ( ,) 3 x时，函数( )g x单调递增， 故 12 ( )( ) 39 g xg ，所以 2 9 a，即a的取值范围是(， 2 9 （2）证明：由（1）得 2 ( )31 a fxx x ， 对任意的 1 x， 2 1x ，)，且 12 xx，令 1 2 (1) x t t x ， 则 211212 2 ()2 ()()()()f xf xxxfxfx 33221 2
10、1121212 212 11 222()2()33()2 x xxxxalnxxxxa xxx 3322121 121212 212 33()2 xxx xxx xx xaaln xxx 332 2 1 (331)(2)x ttta tlnt t ， 令 1 ( )2,(1,)h ttlnt t t ， 当1t 时， 2 2 121 ( )1(1)0h t ttt ， 由此可得( )h t在(1,)上单调递增， 所以当1t 时，( )h th（1） ，即 1 20tlnt t ， 因为 323 2 1,331(1)0,3xtttta ， 所以 3323 2 11 (331)(2) (1)3(2
11、)x ttta tlntttlnt tt ， 设 3 1 ( )(1)3(2),1p tttlnt t t ， 则 2 22 22 121 ( )3(1)3(1)3(1) ()0 t p ttt ttt ， 所以函数( )p t在(1,)上单调递增，故( )p tp（1）0， 综上，当3a时，对任意的 1 x， 2 1x ，)，且 12 xx， 有 211212 2 ()2 ()()()()0f xf xxxfxfx恒成立 4已知函数 2 1 ( )1 2 x f xaexx， 12 ( )1(0) 2 xa a g xexxaxx ，aR （）若对任意0 x ，都有( )0f x ，求a的范
12、围； （）求证：对任意0 x 及任意01a ，都有( )0g x 解： （）对任意0 x ，都有( )0f x ， 即0 x ，都有 2 1 10 2 x aexx ，则只需 2 1 1 2 ()max x xx a e ， 令 2 1 1 2 ( ) x xx h x e ，则 2 1 2 ( )0 x x h x e ， 故( )h x在(0,)单调递减，则( )(0)1h xh， 故1a，所以a的取值范围为(，1； （）证明：0 x 时， 1xa ye 关于a单调递减， 1 2 yax关于a单调递增， 2 1yxax关于a单调递增， 故( )g x关于a单调递减，而01a ，故 2 1
13、( )1 2 x g xexxx， 由（）可知 2 1 1 2 x exx， 故 222 111 ( )111 222 x g xexxxxxxxx 22222 111 (1)1(11)0 222 xxxxxx， 故对任意0 x 及任意01a ，都有( )0g x 5已知函数 2 ( )1 elnx f x x （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间； （）已知函数 32 ( )321g xxax，若 1 x， 2 1x ， e，不等式 12 ()()f xg x恒成立，求实数a 的取值范围 解： （） 2 ( )1 elnx f x x
14、，定义域是(0,)， f（1）1 ， 2 22 ( ) eelnx fx x ，f（1）2e， 故切线方程为12 (1)ye x ，即2210exye ； （）由（） 2 22 ( ) eelnx fx x ， 令( )0fx，解得0 xe，令( )0fx，解得xe， 故( )f x在(0, ) e递增，在( ,)e 递减； （）由（）得( )f x的极大值是f（e） 2 11 elne e ， 即( )f x的最大值是f（e）1， 32 ( )321g xxax， 2 ( )94g xxax ， 令( )0g x，解得0 x 或 4 9 a x ， 若 1 x， 2 1x ， e，不等式 1
15、2 ()()f xg x恒成立， 则1x， e时，( )( ) maxmin f xg x恒成立， 当 4 1 9 a 即 9 4 a 时，( )g x在1， e上单调递增， 此时( )ming xg（1）42a，令421a，得 3 2 a； 当 4 1 9 a e时，即 99 44 e a 时，( )g x在1， 4 ) 9 a 递减，在 4 ( 9 a ， e递增， 此时 3 432 ( )()1 9243 min aa g xg， 令 3 32 1 1 243 a ，解得0a，不符合题意； 当 4 9 a e即 9 4 e a 时，( )g x在1， e递减， 故( )ming xg（e
16、） 32 321eae， 令 32 321 1eae ，解得 3 2 ae， （舍) 综上，实数a的取值范围是 3 2 ，) 6已知函数， 22 ( )22 xx h xetet （1）若函数( )f x在1x 处的切线与直线230 xy垂直，求t的值； （2）讨论( )h x在R上的单调性； （3）tR ，0 x 总有( )( )h xf x成立，求正整数m的最大值 解； （1）函数 2 2 ( )2 2 m f xtlnxln x， 2() ( ) tlnx fx x ，故f（1）2t， 函数( )f x在1x 处的切线与直线230 xy垂直， 22t，解得1t ； （2）函数 22 (
17、)22 xx h xetet， 2 ( )222() xxxx h xetee et ， 当0t时，( ) 0h x恒成立，函数( )h x在R上单调递增； 当0t 时，由( )0h x，解得xlnt， 当xlnt时，( )0h x，( )h x单调递减， 当xlnt时，( )0h x，( )h x单调递增， 综上，当0t时，函数( )h x在R上单调递增； 当0t 时，函数( )h x在(,)lnt上单调递减，在(,)lnt 上单调递增； （3）由( )( )h xf x得， 2 222 222 2 xx m etettlnxln x， 整理得， 2 222 22()0(*) 2 xx m
18、telnx teln x， 由题意得，不等式(*)对任意tR恒成立， 2 222 4()8()0 2 xx m elnxeln x，整理得， 22 () x melnx， 0m ，且当0 x 时，0 x elnx， x melnx，0 x ， 令( ) x n xelnx，0 x ，则 1 ( ) x n xe x 且在(0,)上单调递增， 1 ( )20 2 ne，n（1）10e ， 存在 0 1 (2x ，1)，使得 _0 0 0 1 ()0 x n xe x ， 当 1 (2x， 0) x时，函数( )n x单调递减， 当 0 (xx，1)时，函数( )n x单调递增， _0 00 ( )() x min n xn xelnx， _0 0 1 0 x e x ， _0 0 1 x e x ， 0 0 1 0 xlnlnx x ， 00 0 15 ()(2, ) 2 n xx x ， 0 ()(2mn x， 5) 2 ， 又m为正整数，2m ，正整数的最大值为 2
