1、第七讲第七讲 分式方程和无理方程的解法分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法本讲将要学习可化为一元二次 方程的分式方程的解法以及无理方程的解法并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程 的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一 元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根 一、可化为一元二次方程的分式方程一、可化为一元二次方程的分式方程 1去分母化分式方程为一元二次方程去分母化分式方程为一元二次方程 【例【例 1】解方程 2 142 1 224 x xxx 分析：分析：去分母
2、，转化为整式方程 解：解：原方程可化为： 142 1 2(2)(2)2 x xxxx 方程两边各项都乘以 2 4x ： 2 (2)42(2)4xxxx 即 2 364xx，整理得： 2 320 xx 解得：1x 或2x 检验：把1x 代入 2 4x ，不等于 0，所以1x 是原方程的解； 把2x 代入 2 4x ，等于 0，所以2x 是增根 所以，原方程的解是1x 说明：说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： 把各分式的分母因式分解； 在方程两边同乘以各分式的最简公分母； 去括号，把 所有项都移到左边，合并同类项； 解一元二次方程； 验根 (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原
3、方程计算量较大而分式方程可能产 生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式 方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0若为 0，即为增根；若不为 0，即为原方程的解 2 2用换元法化分式方程为一元二次方程用换元法化分式方程为一元二次方程 【例【例 2】解方程 22 2 3 ()40 11 xx xx 分析分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难但注意到方程的结构特点， 设 2 1 x y x ，即得到一个关于y的一元二次方程最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法 解方程 2 1 x y x 解：解：设 2 1 x y x ，则原方程可化
4、为： 2 340yy解得4y 或1y (1)当4y 时， 2 4 1 x x ，去分母，得 22 4(1)4402xxxxx； (2)当1y 时， 2 22 15 1110 12 x xxxxx x 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，2x ， 15 2 x 都是原方程的解 说明说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值 【例【例 3】解方程 22 22 8(2 )3(1) 11 12 xxx xxx 分析：分析：注意观察方程特点，可以看到分式 2 2 2 1 xx x 与 2 2 1 2 x xx 互为倒数因此，可以设 2 2 2
5、1 xx y x ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程 解：解：设 2 2 2 1 xx y x ，则 2 2 11 2 x yxx 原方程可化为： 2 33 811811301 8 yyyyy y 或 (1)当1y 时， 2 22 2 21 121 21 xx xxxx x ； (2)当 3 8 y 时， 2 222 2 231 81633516303 851 xx xxxxxxx x 或 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，原方程的解是 1 2 x ，3x ， 1 5 x 说明说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现 了化
6、归思想 二、可化为一元二次方程的无理方程二、可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程 1 1平方法解无理方程平方法解无理方程 【例【例 4】解方程71xx 分析：分析：移项、平方，转化为有理方程求解 解：解：移项得：71xx 两边平方得： 2 721xxx 移项，合并同类项得： 2 60 xx 解得：3x 或2x 检验：把3x 代入原方程，左边右边，所以3x 是增根 把2x 代入原方程，左边 = 右边，所以2x 是原方程的根 所以，原方程的解是2x 说明：说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到
7、方程的右边；两边同 时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根 【例【例 5】解方程3233xx 分析：分析：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式， 再用例 4 的方法解方程 解：解：原方程可化为：3233xx 两边平方得：329633xxx 整理得：63142337xxxx 两边平方得： 2 9(3)4914xxx 整理得： 2 23220 xx，解得：1x 或22x 检验：把1x 代入原方程，左边=右边，所以1x 是原方程的根 把22x 代入原方程，左边右边，所以22x 是增根 所以，原方程的解是1x 说明：说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般
8、步骤： 移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次 根式恰有一个的无理方程；一下步骤同例 4 的说明 2 2换元法解无理方程换元法解无理方程 【例【例 6】解方程 22 3152512xxxx 分析分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的 二次根式与其余有理式的关系，可以发现： 22 31533(51)xxxx因此，可以设 2 51xxy，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理 解：解：设 2 51xxy，则 2222 513153(1)xxyxxy 原方程可化为： 2 3(1)22yy， 即 2 3250yy，
9、解得：1y 或 5 3 y (1)当1y 时， 22 5115010 xxxxxx 或； (2)当 5 3 y 时，因为 2 510 xxy，所以方程无解 检验：把1,0 xx 分别代入原方程，都适合 所以，原方程的解是1,0 xx 说明说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了 化归思想 A组组 1解下列方程： 练练习习 (1) 215 (1)(2)(2)(3) xx xxxx (2) 22 7 211211235 xx xxxx (3) 2 21 1 24yy (4) 2 152 1 24xx 2用换元法解方程： 2 2 4 4x x 3解下列方程：
10、(1)2xx (2)57xx(3)32xx 4解下列方程： (1)3141xx(2)2451xx 5用换元法解下列方程： (1)120 xx(2) 22 336xxxx B组组 1解下列方程： (1) 22 2541 2324 x xxxx (2) 22 416 124 xx xxxx (3) 2 111 7(21)(7)231 x xxxxx (4) 2 124 0 111 xxx xxx 2用换元法解下列方程： (1) 2 524(1) 140 1(5) xxx xx x (2) 2 2 2(1)6(1) 7 11 xx xx (3) 422 2 211 2 xxx xx 3若1x 是方程
11、 1 4 x xaxa 的解，试求a的值 4解下列方程： (1) 2 2 3 241 23 xx xx (2) 2 22 36xxax xaxaax 5解下列方程： (1) 22 13xx(2) 6 105 10 x x (3) 22 2432615xxxx 第七讲第七讲 分式方程和无理方程的解法答案分式方程和无理方程的解法答案 A 组组 1(1)1 ,(2)1,21,(3)0,1,(4)3,5xxxyyxx 22x 3 53 (1)1,(2)6,(3) 2 xxx 4(1)5x (2)20 x 5(1)9,(2)1,4xxx B 组组 1 1 (1)113,(2)3,(3)5,1,(4) 3 xxxxx 2 317 (1)1,2,3,4,(2)12,(3)1 4 xxxxxxx 3 2 2 4 23 21 (1)0,2,(2) 22 xxxxa 5(1)2,(2)26,(3)3,1xxxx
