1、四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 专题八专题八 立体几何立体几何 狂刷 32 空间几何体的结构、三视图和直观图 1某几何体的三视图如图所示，则该几何体是 A棱柱B圆柱 C棱锥D圆锥 【答案】D 【解析】根据几何体三视图的规则，由给定的三视图，可得该几何体表示一个圆锥，故选 D. 【名师点睛】本题考查了几何体的三视图的应用，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据 三视图的规则，即空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，属于 基础题. 2如图所示的组合体，其构成形式是 A左边是三棱台，右边是圆柱B左边是三棱柱，右边是圆柱 C左边是三棱台，右边是长方体
2、D左边是三棱柱，右边是长方体 【答案】D 【解析】根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体. 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 3已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 6，圆心角为 3 的扇形，则该圆锥的高为 A 33 B 34 C 35 D5 【答案】C 【解析】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为 6，圆心角为 3 的扇形， 所以圆锥的母线长为 6，设其底面半径为r，则 62 3 r，所以1r ， 所以圆锥的高为 36 135 ，故选 C. 【名师点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为l，底面圆的半径长为r，则该扇形的圆心 角的弧度数为 2r l .
3、 4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 【答案】D 【解析】由三视图可知该几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选 D. 5如图所示是水平放置的ABC的直观图，A By 轴，A B A C ，则ABC是 A直角三角形B等腰三角形 C等边三角形D等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为A By 轴，所以BAC=90， 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 因为A BA C ，直观图中与 y 轴平行的线段是原长度的 1 2， 与 x 轴平行的线段与原长度相等， 所以 ABAC.所以ABC 是直角三角形.故选 A. 【名师点睛】本题主要考查斜二测画法和直观图，意在考查学生对这
4、些知识的理解掌握水平和分析推理 能力. 6 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体， 它由两个等径正贯的圆柱 体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧 视图完全相同时，其俯视图为 AB CD 【答案】B 【解析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖） ， 其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，俯视 图是有 2 条对角线且为实线的正方形，故选 B 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个
5、面中是直角 三角形的个数为 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 A1B2 C3D4 【答案】C 【解析】三视图还原为如图所示的三棱锥 ABCD： 由正方体的性质得,ABCBCDACD为直角三角形，ABD为正三角形. 故选 C. 【名师点睛】本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档求解时，画出几何 体的直观图，判断出各面的形状，可得答案 8某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 A 2 3 B ? C? ?D3 【答案】C 【解析】由三视图可得几何体如图，?t ?底面 ABC，?t C ?，底面 ABC 是斜边为 2 的等腰直角三角形 ?该三棱锥最长棱的棱
6、长是 ?抨 C?t? t抨?C ? ?故选 C 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 9有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，45ABC ， ,1,ADBC ABADDCBC，则这块菜地的面积为_. 【答案】 2 2 2 【解析】在直观图中，45ABC，1ABAD，DCBC， 1AD， 2 1 2 BC ， 原来的平面图形上底长为1，下底长为 2 1 2 ，高为2， 原平面图形的面积为 122 1 122 222 . 【名师点睛】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力属 于简单题.先确定直观图中的线段长，再确定平面
7、图形中的线段长，即可求得图形的面积 10在正方体 1111 ABCDABC D中，PQR、 、分别是 11 ABADBC、的中点，那么，过PQR、 、的正 方体的截面图形是_. 【答案】六边形 【解析】如图，连接 QP，取 C1D1的中点 H，连接 HR，则 HRQP，再分别取 B1B,D1D 的中点 M，N， 连接 HN，NQ，PM，MR，易知六边形 HNQPMR 即是过 P，Q，R 的正方体的截面图形. 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 11如图，正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 1 BB的中点，用过点A、E、 1 C的平面截去该正方体的 下半部分，则剩余几何体的正
8、视图（也称主视图）是 AB CD 【答案】A 【解析】正方体 1111 ABCDABC D中，过点 1 ,A E C的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直 观图如图： 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 则该几何体的正视图为图中粗线部分. 故选 A 【名师点睛】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题根据剩余几何体的直观图， 结合三视图的定义即可得到主视图. 12如图所示，图2的直角梯形为图1四棱锥PABCD的俯视图，且4DP ，则该四棱锥的正视图与侧 视图所得图形的面积之差为 A2B 3 2 C0 D2 【答案】C 【解析】如图，正视图和侧视图均是以2，4为直角边的
9、直角三角形，故面积之差为0.故选 C. 【名师点睛】本题考查了三视图，意在考查学生的空间想象能力.先画出四棱锥的正视图与侧视图，再计 算面积差. 13某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 A 2 2 B 5 2 C 6 2 D3 【答案】B 【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示， 平面AED 平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为 1，四边形BCDE是边长为 1 的正方形， 则 11 1 1 22 AED S ， 12 12 22 ABCABE SS ， 15 15 22 ACD S ， 综上可知，面积最大的侧面的面积
10、为 5 2 ，故选 B 14如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 2，BC 的中点为 M，一只蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬 到盒内的 M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是 A ?B1 C ?tD2 ? 【答案】C 【解析】蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点， 蚂蚁爬行的最短距离是如图 BM 的长度， 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 无盖的正方体盒子的棱长为 2，BC 的中点为 M， A1B224，A1M1， BM ? ? ?t. 故选 C 15某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为 A 2 B 3 C 5 D2 2 【答案】C 【解析】由三视图可知
11、三棱锥的直观图如图： 由三视图可知底面三角形是边长为 2，顶角为120的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得 2 24 sin30 r ， 由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 的距离1d ，所以球半径 22 5Rdr . 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球，球的截面圆的性质，三视图，属于中档题.求解本题时， 由三视图可知该棱锥的一条侧棱垂直于底面，且高为 2，由三视图所给数据可知相邻的两个侧面是全等 的等腰直角三角形，其外接圆圆心为斜边中点，故可找到球心，且球心到底面距离为 1，
12、由正弦定理求 底面外接圆半径，利用 22 Rdr 即可求解. 16有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从 3 个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰 子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母 H 对面的字母是. 【答案】O 【解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得 H 对面的字母是 O. 17用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正 方体的块数是_ 【答案】6 【解析】由正视图和侧视图，知该几何体由两层小正方体拼接成，由俯视图可知，最下层有5个小正方 体，由侧视图知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体 故答案为
13、 6. 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 【名师点睛】本题考查三视图与直观图形之间的关系，考查空间想象能力结合三视图，画出几何体 的直观图，即可判断搭成该几何体最少需要的小正方体的块数 18已知一个四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，其中 a+b=10.则该四棱锥的高的最大值为 _ 【答案】4 【解析】如图所示， 由题意知，平面PAD 平面ABCD，设点P到 AD 的距离为x，则当x最大时，四棱锥的高最大， 因为106PAPDab， 所以点P在平面PAD内的轨迹为一个椭圆， 由椭圆的性质得，当=5ab时，x取得最大值 22 534 ， 即该四棱锥的高的最大值为4. 【名师点睛】本题
14、考查了三视图和椭圆的轨迹方程，综合性较强，解题关键是在于几何体的还原和椭 圆的性质，属于较难题目. 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 19 【2018 年高考全国卷理数】某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点M在 正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为 A 172 B 52 C3D2 【答案】B 【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点 M 在上底面上，点 N 在下底面上，且可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端
15、点处， 所以所求的最短路径的长度为 ? ?C ? ?，故选 B 【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需 要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平 铺，利用平面图形的相关特征求得结果. 20 【2018 年高考全国卷理数】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部 分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 【答案】A 【解析】本题主要考查空间
16、几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为 对称图形. 故选 A 21 【2017 年高考全国卷理数】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些 梯形的面积之和为 A10B12 C14D16 【答案】B 【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个 相同的梯形，则这些梯形的面积之和为 1 2 (24)212 2 . 故选 B 【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合
17、，解决此 类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 22 【2017 年高考北京卷理数】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷 A3 2 B2 3 C2 2 D2 【答案】B 【解析】几何体是四棱锥PABCD，如图. 最长的棱长为补成的正方体的体对角线， 即该四棱锥的最长棱的长度为 222 2222 3l ， 故选 B 【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法: 或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. 四川天地人教育.2022 高考
18、数学小题狂刷 23【2019 年高考全国卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面 体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 【答案】26， 21 【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有 9 个面，计 18 个面，第二层共 有 8 个面，所以该半正多面体共有18 826个面 如图，设该半正多面体的棱长为x，则ABBEx，延长CB与FE的延长线交于点G，延长BC交 正方体的棱于H，由半正多面体对称性可知，BGE为等腰直角三角形， 22 ,2( 21)1 22 BGGECHxGHxxx， 1 21 21 x ，即该半正多面体的棱长为 21 【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其 实很简单，稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形 四川天地人教育.2022 高考数学小题狂刷
