1、2020 年海南省新高考数学试卷 一、选择题：本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1设集合 |13Axx ， |24Bxx，则(AB ) A |23xx B |23xx C |14xx D |14xx 2 2 ( 12 i i ) A1B1CiDi 36 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名， 乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有() A120 种B90 种C60 种D
2、30 种 4日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定 时间把地球看成一个球（球心记为)O，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平 面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷 面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为( ) A20B40C50D90 5某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢 足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的 比例是() A62%B56%C46%D42% 6基本再生数 0 R与世代间
3、隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者 传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型：( ) rt I te描述累计感染病例数( )I t随时间t（单位：天）的变化规律，指 数增长率r与 0 R，T近似满足 0 1RrT 有学者基于已有数据估计出 0 3.28R ，6T 据 此， 在新冠肺炎疫情初始阶段， 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为()(20.69)ln A1.2 天B1.8 天C2.5 天D3.5 天 7已知P是边长为 2 的正六边形ABCDEF内的一点，则AP AB 的取值范围是() A( 2,6)B( 6,2
4、)C( 2,4)D( 4,6) 8若定义在R的奇函数( )f x在(,0)单调递减，且f（2）0，则满足(1) 0 xf x 的x的 取值范围是() A 1，13 ，)B 3，10 ，1C 1，01 ， )D 1，01 ，3 二、选择题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分。分。 9已知曲线 22 :1C mxny() A若0mn，则C是椭圆，
5、其焦点在y轴上 B若0mn，则C是圆，其半径为n C若0mn ，则C是双曲线，其渐近线方程为 m yx n D若0m ，0n ，则C是两条直线 10如图是函数sin()yx的部分图象，则sin()(x) Asin() 3 x Bsin(2 ) 3 x Ccos(2) 6 x D 5 cos(2 ) 6 x 11已知0a ，0b ，且1ab，则() A 22 1 2 abB 1 2 2 a b C 22 loglog2abD2ab 12信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为 1，2，n， 且()0(1 i P Xipi，2，)n， 1 1 n i i p ，定义X的信息熵 2
6、 1 ()log n ii i H Xpp ( ) A若1n ，则()0H X B若2n ，则()H X随着 1 p的增大而增大 C若 1 (1 i pi n ，2，)n，则()H X随着n的增大而增大 D 若2nm， 随机变量Y所有可能的取值为 1， 2，m， 且 21 ()(1 jmj P Yjppj ， 2，)m，则()( )H XH Y 三、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分。分。 13斜率为3的直线过抛物线 2 :4C yx的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB 14将数列21n 与32n 的公共项从小到大排列得到数列 n
7、a，则 n a的前n项和 为 15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆 弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四 边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C， 3 tan 5 ODC，/ /BHDG，12EFcm， 2DEcm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积 为 2 cm 16已知直四棱柱 1111 ABCDABC D的棱长均为 2，60BAD以 1 D为球心，5为半径 的球面与侧面 11 BCC B的交线长为 四、解答题：本题共本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。
8、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在3ac ，sin3cA ，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3sinAB， 6 C ，_？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知公比大于 1 的等比数列 n a满足 24 20aa， 3 8a （1）求 n a的通项公式； （2）求 1 12231 ( 1)n nn a aa aa a 19 （12 分）为
9、加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研， 随机抽查了 100 天空气中的2.5PM和 2 SO浓度（单位： 3 /)g m，得下表： 2 SO 2.5PM 0，50(50，150(150，475 0，3532184 (35，756812 (75，1153710 （1）估计事件“该市一天空气中2.5PM浓度不超过 75，且 2 SO浓度不超过 150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： 2 SO 2.5PM 0，150(150，475 0，75 (75，115 （3） 根据 （2） 中的列联表， 判断是否有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与
10、2 SO 浓度有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 20 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD 底面ABCD设平面PAD与 平面PBC的交线为l （1）证明：l 平面PDC； （2）已知1PDAD，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,3)M，点A为其左顶点，且AM的 斜率为 1 2 （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积
11、的最大值 22 （12 分）已知函数 1 ( ) x f xaelnxlna （1）当ae时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积； （2）若( ) 1f x ，求a的取值范围 2020 年海南省新高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1设集合 |13Axx ， |24Bxx，则(AB ) A |23xx B |23xx C |14xx D |14xx
12、 【思路分析】利用并集定义和不等式的性质直接求解 【解析】 ：集合 |13Axx ， |24Bxx， |14ABxx 故选：C 【总结与归纳】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 2 2 ( 12 i i ) A1B1CiDi 【思路分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值 【解析】 ： 2(2)(12 )5 12(12 )(12 )14 iiii i iii ，故选：D 【总结与归纳】本题考查复数的乘除运算，考查化简运算能力，是一道基础题 36 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名， 乙场馆安排 2 名，丙场
13、馆安排 3 名，则不同的安排方法共有() A120 种B90 种C60 种D30 种 【思路分析】让场馆去挑人，甲场馆从 6 人中挑一人有： 1 6 6种结果；乙场馆从余下的 5 人中挑 2 人有： 2 5 10种结果；余下的 3 人去丙场馆；相乘即可求解结论 【解析】 ：因为每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名， 甲场馆从 6 人中挑一人有： 1 6 6种结果； 乙场馆从余下的 5 人中挑 2 人有： 2 5 10种结果； 余下的 3 人去丙场馆；故共有：6 1060种安排方法；故选：C 【总结与归纳】本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能
14、力，是基础题 4日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定 时间把地球看成一个球（球心记为)O，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平 面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷 面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为( ) A20B40C50D90 【思路分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处 的水平面所成角 【解析】 ：可设A所在的纬线圈的圆心为 O ， OO 垂直于纬线所在的圆面， 由图可得OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又OAO为40且O
15、AAH， 在Rt OHA中，O AOH ，40OHAOAO ，故选：B 【总结与归纳】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础 题 5某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢 足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的 比例是() A62%B56%C46%D42% 【思路分析】设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百 分比为z，画出图形，列出方程求解即可 【解析】 ：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分 比为z， 由题意，可得60
16、 xz，96xyz，82yz，解得46z 该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%故选：C 【总结与归纳】本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基 本知识的考查 6基本再生数 0 R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者 传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型：( ) rt I te描述累计感染病例数( )I t随时间t（单位：天）的变化规律，指 数增长率r与 0 R，T近似满足 0 1RrT 有学者基于已有数据估计出 0 3.28R ，6T 据 此， 在新冠肺炎疫情
17、初始阶段， 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为()(20.69)ln A1.2 天B1.8 天C2.5 天D3.5 天 【思路分析】根据所给模型求得0.38r ，令0t ，求得I，根据条件可得方程 0.38 2 t e， 然后解出t即可 【解析】 ：把 0 3.28R ，6T 代入 0 1RrT ，可得0.38r ， 0.38 ( ) t I te， 当0t 时，(0)1I，则 0.38 2 t e， 两边取对数得0.382tln，解得 2 1.8 0.38 ln t 故选：B 【总结与归纳】本题考查函数模型的实际运用，考查学生阅读理解能力，计算能力，属于中 档题 7已知P是边长为 2
18、的正六边形ABCDEF内的一点，则AP AB 的取值范围是() A( 2,6)B( 6,2)C( 2,4)D( 4,6) 【思路分析】画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可 【解析】 ：画出图形如图， |cos,AP ABAPABAP AB ，它的几何意义是AB的长度与AP 在AB 向量的投影的乘 积 ， 显 然 ，P在C处 时 ， 取 得 最 大 值 ， 1 |cos| 3 2 ACCABABAB ， 可 得 |cos,236AP ABAPABAP AB ，最大值为 6， 在F处取得最小值， 1 |cos,222 2 AP ABAPABAP AB ，最小值为2， P是边长为 2 的正六边
19、形ABCDEF内的一点， 所以AP AB 的取值范围是( 2,6)故选：A 【总结与归纳】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题 8若定义在R的奇函数( )f x在(,0)单调递减，且f（2）0，则满足(1) 0 xf x 的x的 取值范围是() A 1，13 ，)B 3，10 ，1 C 1，01 ，)D 1，01 ，3 【思路分析】根据函数奇偶性的性质，作出函数( )f x的草图，利用分类讨论思想进行求解 即可 【解析】 ：定义在R的奇函数( )f x在(,0)单调递减，且f（2）0， ( )f x的图象如图： 当0 x 时，不等式(1) 0 xf x 成立， 当1x 时，
20、不等式(1) 0 xf x 成立， 当12x 或12x 时，即3x 或1x 时，不等式(1) 0 xf x 成立， 当0 x 时，不等式(1) 0 xf x 等价为(1) 0f x ， 此时 0 01 2 x x ，此时13x ， 当0 x 时，不等式(1) 0 xf x 等价为(1) 0f x ， 即 0 210 x x ，得10 x， 综上10 x 或13x ， 即实数x的取值范围是 1，01 ，3， 故选：D 【总结与归纳】本题主要考查不等式的 求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数( )f x的草 图，是解决本题的关键难度中等 二、选择题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题
21、5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分。分。 9已知曲线 22 :1C mxny() A若0mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B若0mn，则C是圆，其半径为n C若0mn ，则C是双曲线，其渐近线方程为 m yx n D若0m ，0n ，则C是两条直线 【思路分析】根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义 进行判断即可 【解析】 ：A若0mn，则 11 mn ，则根
22、据椭圆定义，知 22 1 11 xy mn 表示焦点在y轴上 的椭圆，故A正确； B若0mn，则方程为 22 1 xy n ，表示半径为 1 n 的圆，故B错误； C若0m ，0n ，则方程为 22 1 11 xy mn ，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程 为 m yx n ，若0m ，0n ，则方程为 22 1 11 xy mn ，表示焦点在x轴的双曲线，故此 时渐近线方程为 m yx n ，故C正确； D当0m ，0n 时，则方程为 1 y n 表示两条直线，故D正确； 故选：ACD 【总结与归纳】本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题 10如图是函数sin()yx的部分图象，则s
23、in()(x) Asin() 3 x Bsin(2 ) 3 x Ccos(2) 6 x D 5 cos(2 ) 6 x 【思路分析】根据图象先求出函数的周期，和，利用五点法求出函数的的值，结合三角 函数的诱导公式进行转化求解即可 【解析】 ：由图象知函数的周期 2 2() 36 T ，即 2 ，即2， 由五点对应法得2 6 ，得 2 3 ， 则 22 ( )sin(2)cos(2)cos( 2)cos(2) 32366 f xxxxx sin(2)sin(2 ) 263 xx ，故选：BC 方法二： （四川代尔宁补解）由函数图像可知： 2 2362 T ，则 22 2 T ， 所以不选 A,
24、当 2 5 36 212 x 时， 1y 53 22 122 kkZ ， 解得： 2 2 3 kk Z，即函数的解析式为： 2 sin 22sin 2cos 2sin2 36263 yxkxxx . 而 5 cos 2cos(2 ) 66 xx 故选：BC. 【总结与归纳】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和， 利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键比较基础 11已知0a ，0b ，且1ab，则() A 22 1 2 abB 1 2 2 a b C 22 loglog2abD2ab 【思路分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果 【解析】 ：
25、 方法一： 已知0a ，0b ， 且1ab， 所以 222 ()22abab， 则 22 1 2 ab， 故A正确 方法二： （四川代尔宁补解） 2 2222 1221abaaaa 2 1 2 11 2 22 a ， 当且仅当 1 2 ab时，等号成立，故 A 正确； 方法一：利用分析法：要证 1 2 2 a b ，只需证明1ab 即可，即1ab，由于0a ， 0b ，且1ab，所以：0a ，10b ，故B正确 方法二： （四川代尔宁补解）211aba ，所以 1 1 22 2 a b ，故 B 正确； 2 2222 loglogloglog ()2 2 ab abab ，故C错误 由于0a
26、，0b ，且1ab， 利用分析法：要证2ab成立，只需对关系式进行平方，整理得22abab，即 21ab，故 1 22 ab ab ，当且仅当 2 2 ab时，等号成立故D正确 故选：ABD 【总结与归纳】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为 1，2，n， 且()0(1 i P Xipi，2，)n， 1 1 n i i p ，定义X的信息熵 2 1 ()log n ii i H Xpp ( ) A若1n ，则()0H X B若2n ，则()H X随着
27、1 p的增大而增大 C若 1 (1 i pi n ，2，)n，则()H X随着n的增大而增大 D 若2nm， 随机变量Y所有可能的取值为 1， 2，m， 且 21 ()(1 jmj P Yjppj ， 2，)m，则()( )H XH Y 【思路分析】对于A，可得 1 1P ，根据信息熵的定义即可判断；对于B，可得 12 1pp， 表示出()H X，进而构造函数，利用导数判断其单调性即可；对于C，依题意，化简 2 ( )logH xn，即可判断；对于D，分别求出()H X，( )H Y，利用作差法结合对数的运算 即可判断 【解析】 ：A若1n ，则 1 1P ，故 1212 ( )log1 lo
28、g 10H xpp ，故A正确； B若2n ，则 12 1pp， 121222121121 ( )(loglog)log(1)log (1)H xpppppppp ， 设 22 ( ) log(1)log (1)f ppppp ，01p， 则 222 11 ( )(1)(1) 2(1)21 p fplog pplogpplog lnpp lnp ， 令( )0fp，解得 1 1 2 p，此时函数( )f p单调递减， 令( )0fp，解得 1 0 2 p，此时函数( )f p单调递增，故B错误； C若 1 (1,2, ) i Pin n ，则 22 11 ( )H xnloglog n nn
29、， 由对数函数的单调性可知，( )H x随着n的增大而增大，故C正确； D依题意知， 12 (1) m P Ypp， 221 (2) m P Ypp ， 322 (3) m P Ypp ， 1 () mm P Ympp ， 122122212221 ( )()log ()()log () mmmm H Ypppppppp 121 ()log () mmmm pppp ， 又 1212222222 ()(loglogloglog) mmmm H Xpppppppp ， 212 122222 1222112 ( )() m m mmm ppp H YH Xp logp logp log ppppp
30、p ， 又 212 1222112 1,1,1 m mmm ppp pppppp ， ( )()0H YH X，()( )H XH Y，故D错误故选：AC 【总结与归纳】 本题以信息熵的定义为载体， 涉及了对数运算， 利用导数研究函数的单调性， 作差法的运用等，旨在考查学生接收新知识，运用新知识的意识，考查化简变形、运算求解 能力，属于中档题 三、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分。分。 13 斜率为3的直线过抛物线 2 :4C yx的焦点， 且与C交于A，B两点， 则|AB 16 3 【思路分析】由题意求出直线AB的方程，联立直线和
31、抛物线方程，利用抛物线的性质转化 求解即可 【解析】 ：解法一：由题意可得抛物线焦点(1,0)F，直线l的方程为3(1)yx， 代入 2 4yx并化简得 2 31030 xx， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 10 3 xx； 12 1x x ， 由抛物线的定义可得 12 1016 |2 33 ABxxp故答案为： 16 3 解法二： （四川代尔宁补解）抛物线的方程为 2 4yx，抛物线的焦点 F 坐标为(1,0)F， 又直线AB过焦点F且斜率为3，直线AB的方程为：3(1)yx 代入抛物线方程消去y并化简得 2 31030 xx，解得 12 1 ,3 3
32、xx 所以 2 12 116 |1|1 3 |3| 33 ABkxx 故答案为：16 3 解法三： （四川代尔宁补解） 2 2 32416 tan3,sin,| 3 4sin3 4 p AB 【总结与归纳】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查 了学生的计算能力，是中档题 14将数列21n 与32n 的公共项从小到大排列得到数列 n a，则 n a的前n项和为 2 32nn 【思路分析】首先判断 n a是以 1 为首项、以 6 为公差的等差数列，再利用求和公式，得 出结论 【解析】 ：将数列21n 与32n 的公共项从小到大排列得到数列 n a， 则 n a是以 1
33、 为首项、以 6 为公差的等差数列， 故它的前n项和为 2 (1) 1632 2 n n nnn ，故答案为： 2 32nn 【总结与归纳】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题 15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆 弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四 边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C， 3 tan 5 ODC，/ /BHDG，12EFcm， 2DEcm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积 为 5 4 2 2 cm 【思路分析】设大圆的半径为R，利用
34、已知条件求出OQ、OD的长，利用 3 tan 5 ODC求 出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出AOH为直角三角形，最后求解图中阴影部分 的面积即可 【解析】 ： 作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为 Q， A到直线DE和EF的距离均为7cm，7EMAM， 又12EF ，2MNDE， 1275NGMF，725ANAMNM， 45AGD，/ /BHDG，45AHD， 由于AG是圆弧的切线，AGOA，45AOH， 设大圆的半径为R，则 2 R ASOS， 5 2 R OQSN，7 2 R DQDNQN， 3 tan 5 ODC， 5 3 2 5 7 2
35、 R R ，解得2 2R ， 图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角AOH的面积减去小半圆的面积， 所以 2 135115 (2 2)2 22 214 360222 S 阴影 故答案为： 5 4 2 【总结与归纳】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能 力，是难题 16已知直四棱柱 1111 ABCDABC D的棱长均为 2，60BAD以 1 D为球心，5为半径 的球面与侧面 11 BCC B的交线长为 2 2 【思路分析】画出直观图，距离如图所示的坐标系，设出P的坐标，通过 1 5D P 求出P 的轨迹方程，然后求解以 1 D为球心，5为半径的球面与侧面 11 BC
36、C B的交线长 【解析】 ：由题意直四棱柱 1111 ABCDABC D的棱长均为 2，60BAD可知： 11 2D B ， 上 下 底 面 是 菱 形 ， 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设( , )P x y， 则 2222 11111 2cos6042D ED BxD Bxx 由题意可知 1 5D P 可得： 22 542(2)xxy 即 22 (1)(2)2xy， 所以P在侧面 11 BCC B的轨迹是以 11 BC的中点为圆心，半径为2的圆弧 以 1 D为球心，5为半径的球面与侧面 11 BCC B的交线长为： 12 2 2 42 故答案为： 2 2 【总
37、结与归纳】本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，难题比较 大 四、解答题：本题共本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在3ac ，sin3cA ，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3sinAB， 6 C ，_？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【思路分析】根据题意，结合正弦定理，可得 3 3 ba
38、， 3 c a ，结合 6 C ，运用余弦 定理 222 cos 2 abc C ab ，即可求得1c 根据题意，ABC中，sinsincAaC，即可求得6a ，进而得到2 3b 运用余弦定 理 222 cos 2 abc C ab ，即可求得2 3c 根据3cb，sin3sinAB即3ab，可列式求得 3 cos 6 C ，与已知条件 6 C 矛 盾，所以问题中的三角形不存在 【解析】 ： 解法一： 3ac ABC中，sin3sinAB， 即 3 3 ba，3ac ， 3 c a ， 2 2 222 2 2 3 3 3 cos 222 3 3 a a abc a C aba ，3a，1b ，
39、1c sin3cA ABC中，sinsinsin3 6 cAaCa ，6a sin3sinAB，即3ab，2 3b 2222 36123 cos 222 62 3 abcc C ab ，2 3c 3cbsin3sinAB，即3ab， 又3cb， 222 3 coscos 266 abc C ab ， 与已知条件 6 C 相矛盾，所以问题中的三角形不存在 解法二： （补解）3, 6 sinAsinB CBAC , 3sin3sin 6 sinAACA , 31 3sin33 22 sinAACsinAcosA， 3sinAcosA ,3tanA , 2 3 A , 6 BC , 若选，3ac ,
40、33abc, 2 33c ,c=1; 若选，3csinA,则 3 3 2 c ,2 3c ; 若选,与条件 3cb矛盾. 【总结与归纳】 本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理， 熟练掌握余弦定理并灵活 的应用是解本题的关键 18 （12 分）已知公比大于 1 的等比数列 n a满足 24 20aa， 3 8a （1）求 n a的通项公式； （2）求 1 12231 ( 1)n nn a aa aa a 【思路分析】 （1）根据题意，列方程组 24 2 31 20 8 aa aa q ，解得 1 a和q，然后求出 n a的通项公 式； （2）根据条件，可知 12 a a， 23 a a，
41、1 1 ( 1)n nn a a ，是以 3 2为首项， 2 2为公比的等比数 列，由等比数列求和公式，即可得出答案 【解析】 ： （1）设等比数列 n a的公比为(1)q q ， 则 3 2411 2 31 20 8 aaa qa q aa q ，1q ， 1 2 2 a q ， 1 2 22 nn n a （2） 1 12231 ( 1)n nn a aa aa a 3579121 2222( 1)2 nn ， 3223 2 2 1( 2 ) 82 ( 1) 1( 2 )55 nn n 【总结与归纳】 本题考查等比数列的通项公式， 前n项求和公式， 考查转化思想和方程思想， 属于基础题 1
42、9 （12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研， 随机抽查了 100 天空气中的2.5PM和 2 SO浓度（单位： 3 /)g m，得下表： 2 SO 2.5PM 0，50(50，150(150，475 0，3532184 (35，756812 (75，1153710 （1）估计事件“该市一天空气中2.5PM浓度不超过 75，且 2 SO浓度不超过 150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： 2 SO 2.5PM 0，150(150，475 0，75 (75，115 （3） 根据 （2） 中的列联表， 判断是否有99%的把握认为该市一天空气中
43、2.5PM浓度与 2 SO 浓度有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 【思路分析】 （1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中2.5PM浓度不超过 75，且 2 SO浓度不超过 150”的概率； （2）根据题目所给的数据填写22列联表即可； （3）计算K的观测值 2 K，对照题目中的表格，得出统计结论 【解析】 ： （1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中2.5PM浓度不超过 75，且 2 SO 浓度不超过 150”的概率 321868 0.64 10
44、0 P ； （2）根据所给数据，可得下面的22列联表： 2 SO 2.5PM 0，150(150，475 0，756416 (75，1151010 （3）根据（2）中的列联表， 由 22 2 ()100(64 1616 10) 7.4846.635 ()()()()80207426 n adbc K ab cdac bd ， 2 (6.635)0.01P K； 故有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与 2 SO浓度有关， 【总结与归纳】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，属于基础题 20 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD 底面ABCD设平面PAD与 平面
45、PBC的交线为l （1）证明：l 平面PDC； （2）已知1PDAD，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值 【思路分析】（1） 过P在平面PAD内作直线/ /lAD， 推得l为平面PAD和平面PBC的交线， 由线面垂直的判定和性质，即可得证； （2）以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐 标系Dxyz，设(0Q，m，1)，运用向量法，求得平面PCD的法向量，结合向量的夹角公 式，以及基本不等式可得所求最大值 【解析】 ： （1）证明：过P在平面PAD内作直线/ /lAD， 由/ /ADBC，可得/ /lBC，即l为平面PAD和平面PBC的
46、交线， PD 平面ABCD，BC 平面ABCD，PDBC， 又BCCD，CDPDD ，BC平面PCD， / /lBC，l 平面PCD； （2）如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间 直角坐标系Dxyz， 则(0D，0，0)，(1C，0，0)，(0A，1，0)，(0P，0，1)， 设(0Q，m，1)(0)m ，(0DQ ，m，1)，(1PB ，1，1)，(1DC ，0，0)， 设平面PCD的法向量为(na ，b，)c， 则 0 0 n DC n DQ ， 0 0 a mbc ，取1c ，可得(0n ， 1 m ，1)， cosn ， 2 1 1 | |1 3
47、1 n PB m PB nPB m ， PB与平面QCD所成角的正弦值为 2 2 2 121 11 3 1 31 1 31 mmm m m 32326 11 1 3323 m m ，当且仅当1m 取等号， PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 6 3 【总结与归纳】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法 的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,3)M，点A为其左顶点，且AM的 斜率为 1 2 （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值 【思路分析】
48、（1）利用已知条件求出A的坐标，然后求解b，得到椭圆方程 （2）设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为 0，求出椭圆的切线方 程，然后求解三角形的最大值 【解析】 ： （1）由题意可知直线AM的方程为： 1 3(2) 2 yx，即24xy ， 当0y 时，解得4x ，所以4a ，椭圆 22 22 :(0) xy Cl ab ab 过点(2,3)M， 可得 2 49 1 16b ，解得 2 12b ，所以C的方程： 22 1 1612 xy （2）设与直线AM平行的直线方程为：2xym，当直线与椭圆相切时，与AM距离比 较远的直线与椭圆的切点为N，此时AMN的面积取得最大值 2x
49、ym代入椭圆方程： 22 1 1612 xy 化简可得： 22 16123480ymym，所以 22 1444 16(348)0mm ，即 2 64m ， 解得8m ， 与AM距离比较远的直线方程：28xy， 利用平行线之间的距离为： 8412 5 514 d ， 22 |(24)33 5AM 所以AMN的面积的最大值： 112 5 3 518 25 【总结与归纳】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单 性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是中档偏难题 22 （12 分）已知函数 1 ( ) x f xaelnxlna （1）当ae时，求曲线( )yf
50、x在点(1，f（1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积； （2）若( ) 1f x ，求a的取值范围 【思路分析】 （1）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积； （2）方法一：不等式等价于 1 1 xlnalnx elnaxlnxxelnx ，令( ) t g tet，根据函 数单调性可得1lnalnxx，再构造函数( )1h xlnxx，利用导数求出函数的最值，即 可求出a的范围； 方法二：构造两个基本不等式1 x ex，1xlnx ，则原不等式转化为(1)x alna，再 分类讨论即可求出a的取值范围， 方法三：利用分类讨论的思想，当01a，此时不符合题意，当1a时，
