1、2020-20212020-2021 学年新教材人教学年新教材人教 A A 版选择性必修第一册版选择性必修第一册 第一章第一章 空间空间 向量与立体几何向量与立体几何章末测试章末测试 一、选择题 1、 已知已知 (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)abc ， ,2pab qabc ， 则则 p q （） A A 1 B B1 1C C0 0D D 2 2、在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,O,O 为坐标原点为坐标原点, ,设设 A A,B,B,C,C, ,则有则有( () ) A A OAOAABABB B ABABACAC C C ACACBCBCD D OBOBOCOC 3、
2、如图，在长方体如图，在长方体 1111 ABCDABC D 中，中，P P 是线段是线段 1 DB 上一点，且上一点，且 1 2BPD P ， 若若 1 DPxAByADzAA ，则，则 xyz( ( ) ) A A 4 3 B B 2 3 C C 1 3 D D1 1 4、若向量若向量 1, ,2 ,2, 1,2 ,axb 且且 , a b 夹角的余弦值夹角的余弦值 8 , 9 x为则 等于 A A2 2B B-2-2C C-2-2 或或 2 55 D D2 2 或或 2 55 5、已知向量已知向量 i ， j ，k 是一组单位向量，且两两垂直若是一组单位向量，且两两垂直若 83mjk ，
3、54nijk ，则，则m n 的值为（的值为（） A A7 7B B 20 C C2828D D1111 6、设设a ，b ，c 是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有 （） A A( )()0a b cc a b B B| | |abab C C( )()b a cc a b 不与不与c 垂直垂直 D D 22 (32 ) (32 )9|4|ababab 7、已知向量已知向量 (2, 3,1)a ，则下列向量中与，则下列向量中与a 平行的是（平行的是（） A A(1,1,1)B B( 4,6, 2) C C(2, 3,
4、5) D D( 2, 3, 1) 8、如图所示如图所示，在正方体在正方体 1111 ABCDABC D 中中，若若E为为 11 DC 的中点的中点，则则 11 AC 与与DE 所成角的余弦值为（所成角的余弦值为（） A A 10 10 B B 1 3 C C 2 4 D D 5 5 9、在长方体在长方体 1111 ABCDABC D 中，下列计算结果一定不等于中，下列计算结果一定不等于 0 0 的是（的是（） A A 11 AD BC B B 1 BD AC C C 1 DC AD D D 111 BD BC 10、已知空间向量已知空间向量a ，b ，| | 1a ，| |2b ，且且a b
5、与与a 垂直垂直，则则a 与与b 的夹角的夹角 为（为（） A A60 B B30 C C135 D D45 11、 已知平面已知平面，的法向量分别为的法向量分别为 2,3,a 和和 4, , 2b （其中其中 ,R ） ， 若若 / / ，则，则 的值为（的值为（） A A 5 2 B B-5-5C C 5 2 D D5 5 12、 已知梯形已知梯形是直角梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图按照斜二测画法画出它的直观图( (如图所示如图所示) )，其其 中中，则直角梯形，则直角梯形边的长度是边的长度是( (） 。 A AB BC CD D 二、填空题 13、 已知向量已知向量 2,1
6、,3 ,1,2,1ab ， 若若 aab ， 则实数则实数的值为的值为_._. 14、已知点已知点 (4, 1,2)A ， (2, 3,0)B ，点，点C满足满足 2BCCA ，则点，则点C的坐标是的坐标是 _._. 15、在直三棱柱在直三棱柱 111 ABOABO 中，中， 1 424 2 AOBAOBOAA ， ，D D 为为 11 AB 的中点，则在空间直角坐标系中（的中点，则在空间直角坐标系中（O O 为坐标原点为坐标原点） ，DO 的坐标是的坐标是_， 1 AB uuu r 的坐标是的坐标是_ 16、 已知空间向量已知空间向量m ，n ， 设设| | 1m ，| | 2n ，2m n
7、 与与 3mn 垂直垂直， 4amn ， 72bmn ，则，则 , a b _ 三、解答题 17、 如图所示如图所示， 在空间四边形在空间四边形 OABCOABC 中中， OAOA8 8， ABAB6 6， ACAC4 4， BCBC5 5， OACOAC4545， OABOAB6060，类比平面向量有关运算类比平面向量有关运算，如何求向量如何求向量OA 与与BC 的数量积？并总结求的数量积？并总结求 两个向量数量积的方法两个向量数量积的方法. . 18、 已知已知： m m， n n 是平面是平面内的两条相交直线内的两条相交直线， 直线直线 l l 与与的交点为的交点为 B B， 且且 l
8、lm m， l ln n 求求 证：证：l l 参考答案参考答案 1、答案 A 先求出 p 和q 的坐标，再由数量积的坐标运算即可. 详解：已知 (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)abc ， (1,1,0)(0,1,1)(1,0, 1)pab ， 2(1,1,0)(0,2,2)(1,0,1)(0,3,1)qabc ， 1 00 3( 1) 11p q . 故选：A 2、答案 B B 由向量坐标表示求得,再由=0 可知选项 B 对。 详解 由已知得,因此=0,故,即 ACBC.选 B. 3、答案 B 利用向量加法以及减法的几何意义即可求解. 详解 11 12112 33333 DPD
9、BDDABADAA ，所以 1 3 x ， 1 3 y ， 2 3 z ， 所以 2 3 xyz . 故选：B 4、答案 C 详解： cos, a b a b a b 2 6-8 , 9 3 5 x x 解得 x=-2 或 x 2 . 55 故选：C. 5、答案 C 由向量i ，j ，k 是一组单位向量， 且两两垂直， 得 | | 1i|= jk 且 0i jj ki k ， 然后利用向量的数量积的运算性质求解m n 详解：向量i ， j ，k 是一组单位向量，且两两垂直， 所以 |=| 1ijk 且 0i jj ki k 因为 83mjk ， 54nijk ， 所以 (83 ) (54 )4
10、0 1228m njkijk 故选：C 6、答案 BD 由向量的数量积定义和运算律， 可得 A 错误； 经过化简运算， 可知存在( )()b a cc a b 与c 垂直的情况，故 C 错误；由向量两两不共线，可得 B 正确；由运算律可得 D 正确. 详解：根据空间向量数量积的定义及性质，可知a b 和 ac 是实数，而c 与b 不共线， 故( )ca b 与( )bc a 一定不相等，故 A 错误； 因为 2 ()() ()()()bcccaa bb aa bccc ，所以当a b ，且a c 或b c 时，( )() 0cc acb ab ，即( )()b a cc a b 与c 垂直，故
11、 C 错误； 由向量两两不共线，可得 B 正确； 由运算律可得 D 正确. 故选：BD 7、答案 B 根据向量平行的定义知 a 与a 平行，由此判断选项,即可求解 详解 由题意，向量 (2, 3,1)a ，则 (2 , 2 , )a 与a 平行， 2 时， ( 4,6, 2)a 故选：B 8、答案 A 以AB a ，AD b r ， 1 AAc 为基底，表示出 11 AC ，DE ，利用向量的夹角公式求解 即可. 详解：设正方体的棱长为 1， 记AB a ，AD b r ， 1 AAc ，则| | | | 1abc ， 0a bb cc a 因为 11 ACABADabAC ， 11111 1
12、 2 DEDDD EDDDCc 1 2 a ， 所以 22 11 11111 () 22222 AC DEabcaa cb caa ba 又因为 11 |2AC ， 2 15 |1 22 DE ， 所以 11 11 11 1 10 2 cos, 105 | 2 2 AC AC DE ACDE ， 所以 11 AC 与DE 所成角的余弦值为 10 10 故选：A 9、答案 D 根据长方体的性质逐个分析即可得到. 详解：如图所示: 对于A,当长方体为正方体时, 11 ADBC ,此时 11 ADBC 0 ,故选项A不正确; 对于B,当长方体的底面是正方形时, 1 ACBD ,可以推出 1 BDAC
13、 ,此时 1 BDAC 0 ,故选项B不正确; 对于C,根据长方体的性质可以推出 1 DCAD ,所以 1 0DC AD ,故选项C正确; 对于D,因为 1111 / /BCAD ,而 1 BD 与 11 AD 分别是直角三角形 11 BA D 中的斜边和直角边, 不可能垂直,所以 11 BC 与 1 BD 不可能垂直,所以 111 BD BC 不可能为 0. 故选C. 10、答案 D 由( )0aba- = ，利用数量积运算，即可得出结果. 详解：a b 与a 垂直，( )0aba- = ， 2 | cos,a aa baaba b 1 12cos,0a b ， 2 cos, 2 a b 0
14、 ,180a b ， ,45a b 故选：D 11、答案 D 根据平面平行得到 /a b r r ，故 2,3,4, , 2k ，计算得到答案. 详解： / ，则 /a b r r ，故 2,3,4, , 2k ，即 24 3 2 k k k ，解得 6 1 . 故 5 . 故选：D. 12、答案 B B 分析 由已知直角梯形中，由此能求出 直角梯形边的长度. 详解 由直观图作出梯形是直角梯形，如图： 按照斜二测画法画，可得出它的直观图， 直角梯形中,， 过 作，交于, 则， 直角梯形边的长度为，故选 B . 13、答案 2 由题意知，向量 aab ，所以 0aab ，由空间向量的坐标运算，即
15、可求 解 详解：由题意知，向量 aab ，所以 0aab ， 又由 2 22 22 213211 23 11470aabaa b ， 解得 2 14、答案 105 4 , 33 3 设 ( , , )C x y z ，用 ,OA OB 表示出OC ，即可得 详解： 设 ( , , )C x y z ，O为坐标原点.由点C满足 2BCCA ， 得 2()OCOBOAOC ， 可得 11105 4 (2)(8, 2,4)(2, 3,0), 3333 3 OCOAOB ，则点C的坐标是 105 4 , 33 3 . 故答案为： 105 4 , 33 3 15、答案2, 1, 4 ( 4,2, 4)
16、以O为原点， 1 ,OA OB OO 为 , ,x y z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标即可求解. 详解：如图建系，则 11 (0,0,0),(4,0,4),(0,2,4), (0,2,0)OABB ， 1 ( 4,2, 4)AB D 为 11 AB 的中点， (2,1,4)D ， ( 2, 1, 4)DO 故答案为： 2, 1, 4 ；( 4,2, 4) 16、答案0 根据2m n 与 3mn 垂直，求得 2m n ，再由条件可求出a b ， a r ， b ，根据 cos, | a b a b a b 即可得出结果. 详解：(2 )(3 )mnmn ，(2 ) (3 )0mnmn
17、，化简得 2m n ， 又 22 |(4)164166aamn ， 22 |(72 )4916563bbmn ， 22 (4) (72 )28|2|18a bmnmnmnm n ， 18 cos,1 6 3| a b a b a b ， ,0a b 故答案为：0 . 17、答案： ：运用向量的减法表示向量BC AC AB ，再由向量数量积的定义分别求 OA AC 和OA AB 可得答案. 详解：BC AC AB ，OA BC OA AC OA AB OAAC |cosOA AC ， OAAB |cosOA BA 84cos13586cos1202416 2. 方法总结：求两个向量的数量积需先确
18、定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定 时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算. 18、 答案： ： 设直线 m 的方向向量为m ， 直线 n 的方向向量为n ， 直线 l 的方向向量为 l ， 设平面内的任一向量为g ，则有g mn ，再由条件证明l g ，根据线面垂直 的定义即可证明 l. 详解：设直线 m 的方向向量为m ，直线 n 的方向向量为n ，直线 l 的方向向量为 l ， m，n 是平面内的两条相交直线 m 与n 是平面内的两个不共线向量，设平面内的任一向量为g ， 由平面向量基本定理，存在唯一实数, ，使g mn 又lm，ln， 0,0l ml n ， 0l glmnl ml n l g 直线 l 垂直于平面内的任意直线g， 由线面垂直的定义得：l
