1、第二课时第二课时 (平均数平均数) 一、知识回顾一、知识回顾 一一. .简单随机抽样：简单随机抽样： 2.2.不放回简单随机抽样不放回简单随机抽样 1.1.放回简单随机抽样放回简单随机抽样 二二. .简单随机抽样的常用方法：简单随机抽样的常用方法： 1.1.抽签法抽签法 2.2.随机数法随机数法 (1)(1)用随机试验生成随机数用随机试验生成随机数 (2)(2)用信息技术生成随机数用信息技术生成随机数 用计算器生成随机数用计算器生成随机数 用电子表格软件生成随机数用电子表格软件生成随机数 用用R R统计软件生成随机数统计软件生成随机数 下面是用随机数法从树人中学高下面是用随机数法从树人中学高一
2、一年级学生中抽取的一个容年级学生中抽取的一个容 量为量为5050的简单随机样本，他们的身高变量值的简单随机样本，他们的身高变量值( (单位单位:cm):cm)如下如下: : 156.0 166.0 157.0 155.0 162.0 168.0 173.0 155.0 157.0 160.0 156.0 166.0 157.0 155.0 162.0 168.0 173.0 155.0 157.0 160.0 175.0 177.0 158.0 155.0 161.0 158.0 161.5 166.0 174.0 170.0 175.0 177.0 158.0 155.0 161.0 158
3、.0 161.5 166.0 174.0 170.0 162.0 155.0 156.0 158.0 183.0 164.0 173.0 155.5 176.0 171.0 162.0 155.0 156.0 158.0 183.0 164.0 173.0 155.5 176.0 171.0 164.5 160.0 149.0 172.0 165.0 176.0 176.0 168.5 171.0 169.0 164.5 160.0 149.0 172.0 165.0 176.0 176.0 168.5 171.0 169.0 156.0 171.0 151.0 158.0 156.0 165
4、.0 158.0 175.0 165.0 171.0 156.0 171.0 151.0 158.0 156.0 165.0 158.0 175.0 165.0 171.0 二、探究新知二、探究新知 由这些样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为由这些样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为164.3. 164.3. 据此据此. .可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm164.3cm左右左右. . 现在我们回到现在我们回到问题问题1 1. . 问题问题1 1 一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅一家家具厂要为树人中学高一年级制作课
5、桌椅, ,他们事先想他们事先想 了解全体高一年级学生的平均身高了解全体高一年级学生的平均身高, ,以便设定可调节课桌椅以便设定可调节课桌椅 的标准高度的标准高度. .已知树人中学高一年级有已知树人中学高一年级有712712名学生名学生, ,如果要通如果要通 过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高, ,应该应该 怎么抽取样本怎么抽取样本? ? 用哪一种简单随机抽样方法更好一点？用哪一种简单随机抽样方法更好一点？ 三、三、平均数平均数 上面我们通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高上面我们通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高, ,并把样并把样
6、 本平均身高作为树人中学高一年级所有学生平均身高的估计值本平均身高作为树人中学高一年级所有学生平均身高的估计值. . 为求和符号为求和符号， 读音为读音为/s/sgmgm/ /, ,主要主要 用于多项式求和用于多项式求和. . N N i i1 12 2N N i i= =1 1 Y Y = = Y Y + + Y Y + + + Y Y 一般地，总体中有一般地，总体中有N N个个体，它们的变个个体，它们的变 量值分别为量值分别为Y Y1 1，Y Y2 2，Y YN N，则称，则称 为为总体均值总体均值，又称，又称总体平均数总体平均数. . N N 1 12 2N N i i i i= =1
7、1 Y Y + + Y Y + + + Y Y1 1 Y Y = = =Y Y N NN N 如果总体的如果总体的N N个变量值中，不同的值共有个变量值中，不同的值共有k(kN)k(kN)个个, ,不妨记为不妨记为 Y Y1 1，Y Y2 2， ，Y Yk k，其中，其中Y Yi i出现的频数出现的频数f fi i(i=1(i=1，2 2，k)k)，则总体，则总体 均值还可以写成加权平均数的形式均值还可以写成加权平均数的形式 k k i i i i i i= =1 1 1 1 Y Y = =f fY Y N N 如果从总体中抽取一个容量为如果从总体中抽取一个容量为n n的样本，的样本， 它们的
8、变量值分别为它们的变量值分别为y y1 1，y y2 2，y yN N，则称，则称 为为样本均值样本均值，又称，又称样本平均数样本平均数. . n n 1 12 2n n i i i i= =1 1 y y + + y y + + + y y1 1 y y = = =y y n nn n 很多科学型计算很多科学型计算 器都具有求平均数的器都具有求平均数的 功能功能. .只要输入数据，只要输入数据， 按相应的键，就可以按相应的键，就可以 快速求出平均数快速求出平均数. . 在简单随机抽样中，我们常用样本平均在简单随机抽样中，我们常用样本平均 数数 去估计总体平均数去估计总体平均数 . .y yY
9、 Y 小明想考察一下简单随机抽样的估计效果小明想考察一下简单随机抽样的估计效果. .他从树人中学医务他从树人中学医务 室得到了高一年级学生身高的所有数据室得到了高一年级学生身高的所有数据. .计算出整个年级学生的平计算出整个年级学生的平 均身高为均身高为165.0cm. 165.0cm. 然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数 据中抽取了样本量为据中抽取了样本量为5050和和100100的样本各的样本各1010个，分别计算出样本平均个，分别计算出样本平均 数，如下表所示数，如下表所示. .从小明多次抽样所得的结果中，你有什么发现从小明多次抽样所得的结果
10、中，你有什么发现? ? 三、三、平均数平均数 抽样序号抽样序号 样本平均数样本平均数 为了方便观察数据为了方便观察数据, ,以便我们分析样本平均数的特点以及与总以便我们分析样本平均数的特点以及与总 体平均数的关系体平均数的关系, ,把这把这2020次试验的平均数用图形表示出来次试验的平均数用图形表示出来, ,如下图如下图. . 图中的粉红线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均数图中的粉红线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均数. . 抽样序号抽样序号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 样本量为样本量为5050的平均数的平均数165.2165.2162.8162
11、.8164.4164.4164.4164.4165.6165.6164.8164.8165.3165.3164.7164.7165.7165.7165.0165.0 样本量为样本量为100100的平均数的平均数164.4164.4165.0165.0164.7164.7164.9164.9164.6164.6164.9164.9165.1165.1165.2165.2165.1165.1165.2165.2 三、三、平均数平均数 从试验结果看，不管样本量为从试验结果看，不管样本量为5050，还是为，还是为100100，不同样本的平，不同样本的平 均数往往是不同的均数往往是不同的. .由于样本的
12、选取是随机的，因此样本平均数也由于样本的选取是随机的，因此样本平均数也 具有随机性，这与总体平均数是一个确定的数不同具有随机性，这与总体平均数是一个确定的数不同. .虽然在所有虽然在所有2020 个样本平均数中，与总体平均数完全一致的很少个样本平均数中，与总体平均数完全一致的很少. .但除了样本量为但除了样本量为 5050的第的第2 2个样本外个样本外, ,样本平均数偏离总体平均数都不超过样本平均数偏离总体平均数都不超过1cm1cm，即大，即大 部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动. .比较比较 样本量为样本量为5050和样本
13、量为和样本量为100100的样本平均数的样本平均数, ,还可以发现样本量为还可以发现样本量为100100 的波动幅度明显小于样本量为的波动幅度明显小于样本量为5050的的, ,这与我们对这与我们对增加样本量可以提增加样本量可以提 高估计效果高估计效果的认识是一致的的认识是一致的. . 总体平均数是总体的一项重要特征总体平均数是总体的一项重要特征. .另外，某类个体在总体中另外，某类个体在总体中 所占的比例也是人们关心的一项总体特征所占的比例也是人们关心的一项总体特征, ,例如全部产品中合格品例如全部产品中合格品 所占的比例、赞成某项政策的人在整个人群中所占的比例等所占的比例、赞成某项政策的人在
14、整个人群中所占的比例等. . 三、三、平均数平均数 问题问题2 2 眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要. .树人中学在树人中学在“全全 国爱眼日国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法前，想通过简单随机抽样的方法, ,了解一下全校了解一下全校 2174 2174名学生中视力不低于名学生中视力不低于5.05.0的学生所占的比例，你觉得该的学生所占的比例，你觉得该 怎么做怎么做? ? 在这个问题中在这个问题中, ,全校学生构成调查的总体全校学生构成调查的总体, ,每一位学生是个体，每一位学生是个体， 学生的视力是考察的变量学生的视力是考察的变量. .为了便于问题
15、的描述，我们记为了便于问题的描述，我们记“视力不视力不 低于低于5.0”5.0”为为1,“1,“视力低于视力低于5.0”5.0”为为0 0, ,则第则第i i个个(i=1(i=1，2 2，.，2174)2174) 学生的视力变量值为学生的视力变量值为 1 1，视力不低于，视力不低于5.0 5.0 0 0，视力低于，视力低于5.05.0 Y Yi i= = 于是，在全校学生中于是，在全校学生中, ,“视力不低于视力不低于5.0”5.0”的人数就是的人数就是Y Y1 1+Y+Y2 2+ +Y+Y2 21 174 74. .可以发现 可以发现, ,在总体中在总体中, ,“视力不低于视力不低于5.0”
16、5.0”的人数所占的比例的人数所占的比例 P P就是学生视力变量的总体平均数，即就是学生视力变量的总体平均数，即 Y Y 2 21 17 74 4 Y YY YY Y P P 2 21 17 74 42 21 1 三、三、平均数平均数 类似地，若抽取容量为类似地，若抽取容量为n n的样本，把它们的视力变量值分别记的样本，把它们的视力变量值分别记 为为y y1 1，y y2 2，y yn n，则在样本中，则在样本中，“视力不低于视力不低于5. 0”5. 0”的人数所占的人数所占 的比例的比例p p就是学生视力变量的样本平均数，即就是学生视力变量的样本平均数，即 y y n n y yy yy y
17、 p p n n2 21 1 现在现在, ,我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为5050的简单随的简单随 机样本，其视力变量取值如下：机样本，其视力变量取值如下： 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0
18、0 我们可以用样本平均数我们可以用样本平均数 估计总体平均数估计总体平均数 , ,用样本中的比例用样本中的比例 p p估计总体中的比例估计总体中的比例P.P. y y Y Y 据此据此, ,我们估计在树人中学全体学生中我们估计在树人中学全体学生中, ,“视力不低于视力不低于5.0”5.0”的的 比例约为比例约为0.54.0.54. 由样本观测数据，我们可以计算出样本平均数为由样本观测数据，我们可以计算出样本平均数为 =0.54. =0.54.y y 三、三、平均数平均数 简单随机抽样方法简单、直观，用样本平均数估计总体平均简单随机抽样方法简单、直观，用样本平均数估计总体平均 数也比较方便数也比
19、较方便. .简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方 法的基础法的基础. .但在实际应用中，简单随机抽样有一定的局限性但在实际应用中，简单随机抽样有一定的局限性. . 例如例如, ,当总体很大时当总体很大时, ,简单随机抽样给所有个体编号等准备工简单随机抽样给所有个体编号等准备工 作非常费事作非常费事, ,甚至难以做到；抽中的个体往往很分散甚至难以做到；抽中的个体往往很分散, ,要找到样本要找到样本 中的个体并实施调查会遇到很多困难；简单随机抽样没有利用其中的个体并实施调查会遇到很多困难；简单随机抽样没有利用其 他辅助信息他辅助信息, ,估计效率
20、不是很高；等等估计效率不是很高；等等. . 因此因此, ,在规模较大的调查在规模较大的调查 中，直接采用简单随机抽样的并不多中，直接采用简单随机抽样的并不多, ,一般是把简单随机抽样和其一般是把简单随机抽样和其 他抽样方法组合使用他抽样方法组合使用. . 三、三、平均数平均数 例例1 1 为了合理调配生活用水资源为了合理调配生活用水资源, ,某市欲了解全市某市欲了解全市9 90 0000 000户居民的户居民的 日用水量日用水量. . 若通过简单随机抽样从中抽取了若通过简单随机抽样从中抽取了5 50000户进行调查，户进行调查， 得到其日用水量的平均数为得到其日用水量的平均数为0.1T0.1T
21、. .则可以推测全市居民用户日则可以推测全市居民用户日 用水量的平均数用水量的平均数( )( ) A. A.一定为一定为0.1T0.1T； B. B.高于高于0.1T0.1T； C. C.低于低于0.1T0.1T； D. D.约为约为0.1T0.1T. . 四、典型例题四、典型例题 D D 例例2 2 已知样本数据已知样本数据x x1 1，x x2 2，x xn n的均值为的均值为5 5，则样本数据，则样本数据2x2x1 1+1+1， 2x2x2 2+1+1，2x2xn n+1+1的均值为的均值为 1111 四、典型例题四、典型例题 解解: : 例例3 3 在学生视力的调查中在学生视力的调查中
22、, ,小明和小华分别独立进行了简单随机抽小明和小华分别独立进行了简单随机抽 样调查样调查. .小明调查的样本平均数为小明调查的样本平均数为0.560.56, ,样本量为样本量为9 90;0;小华调查小华调查 的样本平均数为的样本平均数为0.530.53, ,样本量为样本量为15150.0.你更愿意把哪个值作为总你更愿意把哪个值作为总 体平均数的估计体平均数的估计? ?是不是你选的值一定比另一个更接近总体平是不是你选的值一定比另一个更接近总体平 均数均数? ?说说你的理由说说你的理由. . 更愿意把小华更愿意把小华调查的样本平均数调查的样本平均数0.530.53作为总体平均数的估计作为总体平均数
23、的估计； 但不一定更接近总体平均数但不一定更接近总体平均数. . 因为增加样本量可以提高估计效果因为增加样本量可以提高估计效果, ,但由于样本的选取是但由于样本的选取是 随机的，因此样本平均数也具有随机性随机的，因此样本平均数也具有随机性. . 五、课堂小结五、课堂小结 1.1.总体平均数：总体平均数： 一般地，总体中有一般地，总体中有N N个个体，它们的变量值分别为个个体，它们的变量值分别为Y Y1 1，Y Y2 2， ，Y YN N，则称，则称 为为总体均值总体均值，又称，又称总体平均数总体平均数. . N N 1 12 2N N i i i i= =1 1 Y Y + + Y Y + +
24、 + Y Y1 1 Y Y = = =Y Y N NN N 2.2.样本平均数：样本平均数： 如果从总体中抽取一个容量为如果从总体中抽取一个容量为n n的样本，它们的变量值分别的样本，它们的变量值分别 为为y y1 1，y y2 2，y yN N，则称，则称 为为样本均值样本均值，又称，又称样本平均数样本平均数. . n n 1 12 2n n i i i i= =1 1 y y + + y y + + + y y1 1 y y = = =y y n nn n 六、巩固提升六、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第180180页练习第页练习第1 1、2 2、3 3题题 课堂作业课堂作业: : 第第188188页页习题习题9.19.1第第3 3、6 6题题
