1、6.4.3正弦定理和余弦 定理应用举例2高度 讲课人：邢启强 2 1.1.正弦定理和余弦定理的基本公式正弦定理和余弦定理的基本公式 是什么？是什么？ 2 si nsi nsi n abc R ABC = 222 2cosabcbcA=+- 222 2coscababC=+- 222 2cosbacacB=+- 复习巩固复习巩固 讲课人：邢启强 3 已知三角形的任意两角及其一边；已知三角形的任意两角及其一边； 已知三角形的任意两边与其中一已知三角形的任意两边与其中一 边边 的对角的对角. 2. 运用正弦定理能解怎样的三角形？运用正弦定理能解怎样的三角形？ 已知三边求三角已知三边求三角； 已知两边
2、及它们的夹角，求第三边已知两边及它们的夹角，求第三边. 3. 运用运用余弦定理能解怎样的三角形？余弦定理能解怎样的三角形？ 复习巩固复习巩固 讲课人：邢启强 4 1、分析分析：理解题意，画出示意图 2、建模建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 些三角形，求得数学模型的解。 4、检验检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解。 实际问题实际问题数学问题（三角形）数学问题（三角形） 数学问题的解（解三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解实际问题的解 解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是： 复习巩固复
3、习巩固 讲课人：邢启强 5 解斜三角形中的有关名词、术语解斜三角形中的有关名词、术语： （1）坡度：斜面与地平面所成的角度。）坡度：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在）仰角和俯角：在视线视线和和水平线水平线所成的角中，所成的角中， 视线在水平线视线在水平线上方上方的角叫仰角，视线在水平线的角叫仰角，视线在水平线下下 方方的角叫俯角。的角叫俯角。 （3）方位角：从正北方向）方位角：从正北方向顺时针顺时针转到目标方向转到目标方向 的夹角。的夹角。 （4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球 内交叉而成的角内交叉而成的角 学习新知学习新知 讲课人：邢
4、启强 6 测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的 测量出角测量出角C C和和BCBC的长的长 度，解直角三角形即度，解直角三角形即 可求出可求出ABAB的长。的长。 ,. . ABB A AB 是底部 不可到达的一个 建筑物为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度的方法 2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 , . . ABB A AB 是底部 不可到达的一个建筑物 为建筑物的最高点设计一种测量建筑 物高度的方法 图中给出了怎样图中给出了怎样 的一个几何图形？的一个几何图形？ 已知什么，已知什么， 求什么？求什么？ 想一想想一想
5、 B E A G H DC 2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最为建筑物的最 高点，设计一种测量建筑物高度高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法 分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能 测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部 A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C 观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可
6、以计算 出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出 CA的长的长。 B E A G H DC 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 )sin( sin a AC h a hAChAEAB )sin( sinsin sin 解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使 H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由 在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的 仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪 器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中， 根据正弦定理可得根据正弦定理可得 AB是底部是底部B不可到达
7、的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最为建筑物的最 高点，设计一种测量建筑物高度高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法 B E A G H DC 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 如图，在山顶上有一座铁塔如图，在山顶上有一座铁塔BCBC，塔顶，塔顶 和塔底都可到达，和塔底都可到达，A A为地面上一点，通为地面上一点，通 过测量哪些数据，可以计算出山顶的过测量哪些数据，可以计算出山顶的 高度？高度？ A A B B C C 问题探求问题探求 讲课人：邢启强 11 设在点设在点A A处测得点处测得点B B、C C的仰角分别为的仰角分别为 、，铁塔的高，铁塔的高BC=aBC=
8、a，测角仪的高，测角仪的高 度忽略不计，试求山顶高度度忽略不计，试求山顶高度CD CD A A B B C C D D cossin sin() a 问题解决问题解决 sinCDAC 讲课人：邢启强 12 ., 60 , 45 . 27 ,. B A CA BC mCD 例1如图 在山顶 铁塔上 处测得地 面上一点 的俯角 在塔底 处测得 处的俯 角已知铁 塔部分的高为 求出山高 分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设 法计算出法计算出AB或或AC的长的长 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 13 )(177 )1504054sin( 4054sin150cos3 .27 )sin
9、( sincos sin , m BC BADABBD ABDRt 得解 CD=BD-BC177-27.3=150(m) 答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。 )sin( cos )sin( )90sin( BCBC AB 所以， )90sin()sin( ABBC 解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=- , BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理， 讲课人：邢启强 14 例例2.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶， 到到A处时测得公路南侧远处一山顶处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北在西偏北15o 的方
10、向的方向 上，行驶上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北30o的方向的方向 上，仰角上，仰角30o，求此山的高度，求此山的高度CD. A A D D C C B B 3030o o 3030o o 1515o o 分析：要测出高分析：要测出高CD,只要测出只要测出 高所在的直角三角形的另一条高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知直角边或斜边的长。根据已知 条件，可以计算出条件，可以计算出BC的长。的长。 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 分析：要测出高分析：要测出高CD，只要测出高，只要测出高CD所在的直角三角所在的直角三角 形的另一条直
11、角边或斜边的长，根据已知条件，可以计形的另一条直角边或斜边的长，根据已知条件，可以计 算出算出BC的长。的长。 0000 0 0 0 15301515 sinsin sin5sin15 5() sinsin15 5 3 tantan30( ) 3 5 3 3 ABCAC BCAB AC ABA BCkm C CDBCDBCBCm 解：在中， 根据正弦定理：， 答：山的高为米。 讲课人：邢启强 16 已知跳伞塔已知跳伞塔CD的高为的高为h, 在跳伞塔顶部如在跳伞塔顶部如 何测量地面上两点何测量地面上两点A、B的距离？的距离？ D C A B 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 17 如图，在高出地
12、面如图，在高出地面30m30m的小山顶上建有一的小山顶上建有一 座电视塔座电视塔ABAB，在地面上取一点，在地面上取一点C C，测得点，测得点 A A的仰角的正切值为的仰角的正切值为0.50.5，且，且ACBACB4545， 求该电视塔的高度求该电视塔的高度. . A A C C B B 150m150m 补充练习补充练习 讲课人：邢启强 18 A AC C B B D D 如图，有大小两座塔如图，有大小两座塔ABAB和和CDCD， 小塔的高为小塔的高为h h，在小塔的底部，在小塔的底部A A和顶部和顶部B B测测 得另一塔顶得另一塔顶D D的仰角分别为的仰角分别为、，求塔，求塔 CDCD的高
13、度的高度. . )sin( sincos sin h ADCD 补充练习补充练习 讲课人：邢启强 19 3 3 飞机的海拔飞行高度是可知的，若飞机的海拔飞行高度是可知的，若 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内， 飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关 键是求出哪个数据？键是求出哪个数据？ A A飞机与山顶的海拔差飞机与山顶的海拔差 问题探究问题探究 讲课人：邢启强 20 A A B BC CD D 如图，设飞机在飞临山顶前，在如图，设飞机在飞临山顶前，在B B、C C两两 处测得山顶处测得山顶A A的俯角分别是的俯角分别是、，B
14、 B、C C 两点的飞行距离为两点的飞行距离为a a，飞机的海拔飞行高，飞机的海拔飞行高 度是度是H H，试求试求山顶的海拔高度山顶的海拔高度h h si nsi n si n si n() a hHA DHA CH ab b ba =-=-=- - 讲课人：邢启强 21 解决物体高度测量问题时，一般先从一个解决物体高度测量问题时，一般先从一个 或两个可到达点，测量出物体顶部或底部或两个可到达点，测量出物体顶部或底部 的仰角、俯角或方位角，再解三角形求相的仰角、俯角或方位角，再解三角形求相 关数据关数据. .具体测量哪个类型的角，应根据具体测量哪个类型的角，应根据 实际情况而定实际情况而定. .通常在地面测仰角，在空通常在地面测仰角，在空 中测俯角，在行进中测方位角中测俯角，在行进中测方位角. . 课堂小结课堂小结 计算物体的高度时，一般先根据测量数计算物体的高度时，一般先根据测量数 据，利用正弦定理或余弦定理计算出物据，利用正弦定理或余弦定理计算出物 体顶部或底部到一个可到达点的距离，体顶部或底部到一个可到达点的距离， 再解直角三角形求高度再解直角三角形求高度. .
