（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第14讲 指数与指数幂的运算衔接讲义（原卷+解析）.zip

第第 1414 讲讲 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 1.1.根式根式 （1 1）根式的概念：）根式的概念：如果存在实数，使得，那么称为的次方 x 1, n xa nnN xan 根式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数 n ana （2）根式的性质 当为奇数时，有 ； 当为偶数时，有 ； n nn aan ,0 ,0 nn a a aa a a 负数没有偶次方根 ； 零的任何正次方根都是零 ； 2.2.幂的有关概念幂的有关概念 （1）正整数指数幂的定义： . () n n aa a aa nN （2）零指数幂 1 ； 0 a （3）负整数指数幂 ； 1 p p a a (0,)apN （4）正分数指数幂 ； m nm n aa (0,1)am nNn 且 （5）负分数指数幂 ； 1 m n nm a a (0,1)am nNn 且 （6）0 的正分数指数幂等于 0 ，0 的负分数指数幂 无意义 . 3.3.有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 （1） ； （2） ； rsr s aaa (0, ,)ar sQ() rsrs aa(0, ,)ar sQ （3） ()r rr abab(0,0,).abrQ 例 1.利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值. （1） ； （2） ； （3）； （4） . 1 5 32 3 2 9 3 1 ( ) 3 2 3 8 例 2.用分数指数幂的形式表示下列各式. （1）； （2） ； （3） . 3 aa 322 aa 3 aa 例 3.求下列各式的值. （1） ； （2） ； （3） ； 3 3 3 2 8 4 4 2 （4）； （5） ； （6）. 33 ab（） 44 （-2） 4 4 ab 例 4.化简求值. （1）； （2）； 211511 336622 263a ba ba b 34 2512525 （3） ； （4） ； 44 366399 aa 41 33 3 3 22 3 33 8 12 42 aa bb a a baba （5）； （6） . 2 0.5 3 20 71037 20.123 92748 3322 4 1111 3342 ,0 a bab a b a ba b 例 5. 已知，求的值； 11 22 3xx 33 22 22 2 3 xx xx 例 6.已知，其中，试用将下列各式分别表示出来： xx aau 0,axRu （1） ； （2） . 22 xx aa 33 22 xx aa 跟踪训练跟踪训练 1.下列各式中成立的是（ ） A.B.C.D. 7 1 7 7 n n m m 4 3 12 33 3 33 4 4 xyxy 33 93 2.计算的结果是（ ） 1 2 2 ( 2) A.B.C.D. 2 1 22 1 2 3.若，则的值为（ ） 2 56 261 xx x x A.2B.3C.2 或 3D.2 或 7 2 4.若，则化简的结果是（ ） 1 2 a 2 4 21a A.B.C.D. 21a 21a12a12a 5.若，则实数满足 （ ） 423 44112aaaa A. B. C.D. 1 2 a 1 0 2 aa或 0a 1 2 a 6.已知，则 （ ） 1 3 2 102,1032 ab 3 2 4 10 ab A. B. C. 1D.无答案 4 22 7.若，则 . 38,35 ab 2 3 3 a b 8.计算化简： (1) ； 121 01 332 1 (0.027)(6 )(2 2)3 4 (2). 1 0 2 0.5 2 31 2220.01 54 9.已知 ，求的值. 3 11 , 33 xy 2 312 21 223 xyxyx 10. 已知，且，求. 12,9xyxyxy 11 22 11 22 xy xy 第第 1414 讲讲 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 1.1.根式根式 （1 1）根式的概念：）根式的概念：如果存在实数，使得，那么称为的次方 x 1, n xa nnN xan 根式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数 n ana （2）根式的性质 当为奇数时，有 ； 当为偶数时，有 ； n nn aan ,0 ,0 nn a a aa a a 负数没有偶次方根 ； 零的任何正次方根都是零 ； 2.2.幂的有关概念幂的有关概念 （1）正整数指数幂的定义： . () n n aa a aa nN （2）零指数幂 1 ； 0 a （3）负整数指数幂 ； 1 p p a a (0,)apN （4）正分数指数幂 ； m nm n aa (0,1)am nNn 且 （5）负分数指数幂 ； 1 m n nm a a (0,1)am nNn 且 （6）0 的正分数指数幂等于 0 ，0 的负分数指数幂 无意义 . 3.3.有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 （1） ； （2） ； rsr s aaa (0, ,)ar sQ() rsrs aa(0, ,)ar sQ （3） ()r rr abab(0,0,).abrQ 例 1.利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值. （1） ； （2） ； （3）； （4） . 1 5 32 3 2 9 3 1 ( ) 3 2 3 8 【答案】 （1）2；（2）27；（3）27；（4） 1 4 例 2.用分数指数幂的形式表示下列各式. （1）； （2） ； （3） . 3 aa 322 aa 3 aa 【答案】 （1）；（2）；（3） 7 2 a 8 3 a 2 3 a 例 3.求下列各式的值. （1） ； （2） ； （3） ； 3 3 3 2 8 4 4 2 （4）； （5） ； （6）. 33 ab（） 44 （-2） 4 4 ab 【答案】 （1）；（2）8；（3）；（4）；（5）2；（6） 32ab ab 例 4.化简求值. （1）； （2）； 211511 336622 263a ba ba b 34 2512525 （3） ； （4） ； 44 366399 aa 41 33 3 3 22 3 33 8 12 42 aa bb a a baba （5）； （6） . 2 0.5 3 20 71037 20.123 92748 3322 4 1111 3342 ,0 a bab a b a ba b 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）100；（6） 4a 1 6 55 4 aa a b 【解析】 （1）原式； 211115 32623 6 26 4 3 aba （2）原式； 22113231 33262422 5555555 （3）原式； 44 11 1 11 111 36 9494 99224 6 33 663 aaaaaaa （4）原式； 411411 112 333333 33 21121211211 33333333333 888 12 8 42422 aa bbaa baaab aaa ab ba baaba baab （5）原式； 12 23 2 25164375937 31003100 90.1274831648 （6）原式 1 12 2 32 33 54 33 1 1127 2 3333 a b a b a ba ab b ab a ba b 例 5. 已知，求的值； 11 22 3xx 33 22 22 2 3 xx xx 【答案】 2 5 【解析】， 11 22 3xx 2 11 2 1221 22 27,247xxxxxxxx . 1111 1 2222 33 22 2222 2 371222 334735 xxxx xx xx xxxx 例 6.已知，其中，试用将下列各式分别表示出来： xx aau 0,axRu （1） ； （2） . 22 xx aa 33 22 xx aa 【答案】 （1）；（2） 2u 12uu 【解析】 （1）， xx aau 0,axR ； 22 22 xx xx aaaau （2）. 33 2222 112 xxxx xx aaaaaauu 跟踪训练跟踪训练 1.下列各式中成立的是（ ） A.B.C.D. 7 1 7 7 n n m m 4 3 12 33 3 33 4 4 xyxy 33 93 【答案】D 2.计算的结果是（ ） 1 2 2 ( 2) A.B.C.D. 2 1 22 1 2 【答案】B 3.若，则的值为（ ） 2 56 261 xx x x A.2B.3C.2 或 3D.2 或 7 2 【答案】D 【解析】， 0 10 ,11,11 c b aabRc为偶数 或或且为偶数， 2 260 560 x xx 261x 261x 2 56xx 解得，故选 D. 7 2 2 xx或 4.若，则化简的结果是（ ） 1 2 a 2 4 21a A.B.C.D. 21a 21a12a12a 【答案】C 【解析】， 1 2 a 210a ，故选 C. 2 4 212112aaa 5.若，则实数满足 （ ） 423 44112aaaa A. B. C.D. 1 2 a 1 0 2 aa或 0a 1 2 a 【答案】B 【解析】， 423 12441210aaaa 120,210aa ，即， 3 1212aa 32 1212aa 2 2120aa 故，选 B. 1 0 2 aa或 6.已知，则 （ ） 1 3 2 102,1032 ab 3 2 4 10 ab A. B. C. 1D.无答案 4 22 【答案】A 【解析】，选 A. 3 2 533113 4 22 24 344244 10101010102222 abb aab 7.若，则 . 38,35 ab 2 3 3 a b 【答案】 2 25 【解析】. 1 3 2 3 2 3 2 3 25 3 a a b b 8.计算化简： (1) ； 121 01 332 1 (0.027)(6 )(2 2)3 4 (2). 1 0 2 0.5 2 31 2220.01 54 【答案】 （1）；（2） 31 30 16 15 【解析】 （1）原式； 2 1 3 3 2 2 25151231 0.3210.3 4322330 （2）原式 1 1 2 2 14116 10.0110.1 49615 9.已知 ，求的值. 3 11 , 33 xy 2 312 21 223 xyxyx 【答案】 4 3 3 【解析】 16 2242 28161331112 3 2124 3333222223 33xyxyxxyxyxxyxy 844 333 333 10. 已知，且，求. 12,9xyxyxy 11 22 11 22 xy xy 【答案】 3 3 【解析】， xy 2 1111 1 2222 2 26xyxyxyxy ， 2 1111 1 2222 2 23 2xyxyxyxy . 11 22 11 22 63 33 2 xy xy