（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业02：等比数列及其前n项和A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 02等比数列及其前 n 项和 A 卷 一、单选题（共 36 分） 1.已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（ ） = 25 + 6 285= A.2B.C.D. 236 2.记单调递减的等比数列的前 项和为，且，若，则数列的公比为( ) 3= 76 9 2= 8 3 A.B.C.D. 1 2 1 3 2 3 3 4 3.设，若是与的等比中项，则的最小值是( ) , 3 3332+ 2 A.6B.C.D. 4 22 22 6 4.在正项等比数列中，若，为其前 项的和，则（ ） 1= 13= 2+ 2 6 3 = A.6B.9 C.12D.15 二、多选题（共 18 分） 5.在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法 正确的是（ ） A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程站全程的 1 8 C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了 42 里路 6.若为数列的前 项和，且，则下列说法正确的是（ ） = 2+ 1,( ) A.B. 5= 165= 63 C.数列是等比数列D.数列是等比数列 + 1 三、填空题（共 18 分） 7.等差数列中，公差，且，数列是等比数列，且，则_ 0 24 2 7+ 210= 0 7= 759= 8.数列的前 项和为，则_. 1= 1+ + 1= 4 312020= 四、解答题（共 27 分） 9.已知等差数列的前 项和为，且满足，. 6= 425+ 7= 24 （1）求数列的通项及前 n 项和； （2）令，求数列的前 项和 = 2 ( ) 10.已知数列的前 项和为，且，在等比数列中，. = 2+ 1= 14= 8 （1）求与的通项公式； （2）若中去掉的项后余下的项按原顺序组成数列，求的前 20 项和. 11.已知数列满足，为数列的前 项和. 2= + （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； + 1 （2）设，求数列的前 项和. = + + 1 暑假作业 02等比数列及其前 n 项和 A 卷 一、单选题（共 36 分） 1.已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（ ） = 25 + 6 285= A.2B.C.D. 236 【答案】D 【解析】 【分析】 由韦达定理可知，由此利用等比数列的性质求解即可. 2 8= 62+ 8= 5 【详解】 函数的零点分别是， = 25 + 6 28 ， 2 8= 62+ 8= 5 ， 2 08 0 又数列是等比数列， ， 2 5= 2 8= 6 ，经检验满足要求. 5=6 故选：D. 【点睛】 本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题. 2.记单调递减的等比数列的前 项和为，且，若，则数列的公比为( ) 3= 76 9 2= 8 3 A.B.C.D. 1 2 1 3 2 3 3 4 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列的公比为 ，根据已知条件可得关于 的方程，解该方程后可得满足条件的公比. 【详解】 依题意，即，解得或. 1+ 2+ 3= 76 9 8 3 + 8 3 + 8 3 = 76 9 = 2 3 = 3 2 因为数列单调递减，且，故，故. 2 0 0 0,0 1 等差数列为单调递减数列的充要条件是公差，本题属于基础题. 1 1 1 8 对于 C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以 C 正确； 378192 = 186,192186 = 6 对于 D，由于，所以 D 正确， 4+ 5+ 6= 192 (1 8 + 1 16 + 1 32) = 42 故选：ACD 【点睛】 此题考查等比数的性质，等比数数的前项 的和，属于基础题. 6.若为数列的前 项和，且，则下列说法正确的是（ ） = 2+ 1,( ) A.B. 5= 165= 63 C.数列是等比数列D.数列是等比数列 + 1 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项 1= 1= 1( 2) 判断，即可得出结果. 【详解】 因为为数列的前 项和，且， = 2+ 1,( ) 所以，因此， 1= 21+ 11= 1 当时，即， 2 = 1= 221= 21 所以数列是以为首项，以 为公比的等比数列，故 C 正确； 12 因此，故 A 正确； 5= 1 24= 16 又，所以，故 B 错误； = 2+ 1 = 2+ 15= 25+ 1 = 31 因为，所以数列不是等比数列，故 D 错误. 1+ 1 = 0+ 1 故选：AC. 【点睛】 本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公 式即可，属于常考题型. 三、填空题（共 18 分） 7.等差数列中，公差，且，数列是等比数列，且，则_ 0 24 2 7+ 210= 0 7= 759= 【答案】16 【解析】 【分析】 由已知条件和等差数列的性质得，可求得，再由等比数列的性质得，可求得 242 7+ 210= 0 24+ 210= 2 7= 47 759= 2 7 答案. 【详解】 因为等差数列中，所以，所以. 242 7+ 210= 0 24+ 210= 2 7= 47 7= 4 则，又数列是等比数列，所以， 7= 7= 459= 2 7= 16 故答案为：16. 【点睛】 本题考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题. 8.数列的前 项和为，则_. 1= 1+ + 1= 4 312020= 【答案】2020 = 320201 2 【解析】 【分析】 由题意结合分组求和法以及等比数列前 n 项和公式即可得解. 【详解】 由题意得2020 =(1+ 2)+(3+ 4)+(5+ 6)+(2019+ 2020) . = 4 (30+ 32+ 34+ 32018)= 4 1 (132020) 132 = 320201 2 故答案为：. 2020= 320201 2 【点睛】 本题考查了分组求和法和等比数列前 n 项和公式的应用，考查了计算能力，属于基础题. 四、解答题（共 27 分） 9.已知等差数列的前 项和为，且满足，. 6= 425+ 7= 24 （1）求数列的通项及前 n 项和； （2）令，求数列的前 项和 = 2 ( ) 【答案】 （1），； （2）. = 2= 2+ 1 3(1 1 4) 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出； （2）利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【详解】 （1）设等差数列的公差为 ， ， 6= 425+ 7= 24 ， 61+ 6 5 2 = 42 21+ 10 = 24 解得， 1= 2 = 2 ， = 2 ； = 2 + (1) 2 2 = 2+ （2）， = 2 = 22= 4 数列是以，公比 1= 1 4 = 1 4 根据等比数列前 项和公式： = 1(1) 1 = 1 4(1 1 4) 11 4 = 1 3(1 1 4) 【点睛】 本题解题关键是掌握等差数列前 项和公式：和等比数列前 项和公式：，考查了分析能力和 = 1+ (1) 2 , = 1(1) 1 计算能力，属于基础题. 10.已知数列的前 项和为，且，在等比数列中，. = 2+ 1= 14= 8 （1）求与的通项公式； （2）若中去掉的项后余下的项按原顺序组成数列，求的前 20 项和. 【答案】 （1）；（2） = 2= 2 588 【解析】 【分析】 （1）利用求得数列的通项公式.由求得，由此求出数列的公比，进而求得数列的通 = 1, = 1 1, 2 1,81,4 项公式. （2）先判断出，结合等差数列前 项和公式以及等比数列前 项和公 1+ 2+ + 20=(1+ 2+ + 25)(1+ 2+ + 5) 式，求得的前 20 项和. 【详解】 （1）， = 2+ 当且时. 2 = 1= 2 又也符合上式，. 1= 1= 2= 2 ， 1= 1= 24= 8= 16 等比数列的公比为 2， . = 2 （2）， 1= 22= 43= 84= 165= 32 ， 25= 50 1 + 2+ + 20=(1+ 2+ + 25)(1+ 2+ + 5) = 25(21+ 22+ + 25) = 252+ 25 2(125) 12 . = 65062 = 588 【点睛】 本题考查等差数列和等比数列的通项公式与前 项和，属于基础题. 11.已知数列满足，为数列的前 项和. 2= + （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； + 1 （2）设，求数列的前 项和. = + + 1 【答案】 （1）证明见解析，；（2）. = 21 = 2 + 12 + (1 + ) 2 【解析】 【分析】 （1）利用的关系，得出，结合等比数列的定义可证是等比数列，结合的通项公式可得数列 , + 1= 2+ 1+ 1+ 1 的通项公式； （2）根据数列的特征，利用分组求和的方法进行求和. = 2+ 【详解】 （1）当时，所以， = 1 21= 1+ 1 = 1+ 11= 1 因为，-得，得，所以， 2= + 2 + 1= + 1+ + 1 + 1= 2+ 1 + 1+ 1 = 2(+ 1) + 1+ 1 + 1 = 2 所以数列是以为首项，2 为公比的等比数列， + 1 1+ 1 = 2 所以， + 1 = 2 21= 2 所以. = 21 （2）， = + + 1 = 2+ = 1+ 2+ + =(21+ 22+ + 2)+ (1 + 2 + + ) . = 2(12) 12 + (1 + ) 2 = 2 + 12 + (1 + ) 2 【点睛】 本题主要考查等比数列的证明及分组求和的方法，等比数列的证明一般是利用定义法来进行证明，数列求和时要根据通项公式的 特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.