（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第三册暑假作业12：离散型随机变量及其分布A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 12离散型随机变量及其分布 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.若随机变量 的分布列如下： 320123 0.10.20.20.30.10.1 则当时，的取值范围是（ ） ( ) = 0.5 A.B.C.D. 20 10 21 0 0 若，则（ ） ()= 4 92+ 2= A.B.C.D.1 4 9 1 2 5 9 二、多选题(共 10 分) 5.设离散型随机变量 的分布列为 01234 0.40.10.20.2 若离散型随机变量 满足，则下列结果正确的有（） = 2 + 1 A.B.， = 0.1 = 2 = 1.4 C.，D.， = 2 = 1.8 = 5 = 7.2 6.某市有 ， ， ， 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 的概率为 ，游览 ， 和 的概率都是 ，且该游客是否 2 3 1 2 游览这四个景点相互独立.用随机变量 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A.游客至多游览一个景点的概率B. 1 4 ( = 2)= 3 8 C.D. ( = 4)= 1 24 ()= 13 6 三、填空题(共 10 分) 7.一个袋子里装有 个红球和 个黑球，从袋中取 个球，取到 个红球得 分，取到 个黑球得 分设总得分为随机变量 ，则 4341113 _ ( 6)= 8.设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白球个数的数学期望值为 ，则口袋中白球的个数为_. 6 7 四、解答题(共 36 分) 9.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 4 的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出 的点数之和不是 4 的倍数，则由对方接着投掷规定第一次从小明开始 （1）求前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率； （2）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为 ，求随机变量 的分布列与期望 10.近几年，伴随着人工智能技术的发展， “围棋人机大战”引发了大家的关注.某棋手与计算机进行一场围棋比赛，比赛采用五局三 胜制，且无论比分如何都要下满五局.假设比赛没有和棋，刚开始棋手每局获胜的概率只有 ，当计算机赢了 3 局后，由于熟悉了 1 4 计算机的策略，棋手每局获胜的概率变为 .现已知前两局比赛都由计算机获胜. 1 2 （）求计算机获得最终比赛胜利且比分为 3 比 2 的概率； （）设比赛结束后，棋手获胜的局数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 11.某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担若厂家 恰能在约定日期（月日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家 40 万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售 商将多支付给厂家 2 万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家 2 万元为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定 日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送已知下表内的信息： 汽车行驶路 线 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间 （天） 在堵车的情况下到达城市乙所需时间 （天） 堵车的概 率 运费（万元） 公路 1142 公路 2231 （1）记汽车选择公路 1 运送啤酒时厂家获得的毛收入为 X（单位：万元） ，求 X 的分布列和 EX； （2）若，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？ = 1 3 = 1 4 （注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费） 暑假作业 12离散型随机变量及其分布 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.若随机变量 的分布列如下： 320123 0.10.20.20.30.10.1 则当时，的取值范围是（ ） ( ) = 0.5 A.B.C.D. 20 10 21 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分布列可得，即可确定 m 的取值范围. ( 0) = 0.3( 1) = 0.5 【详解】 由题意可得，则. ( 2) = 0.1( 0) = 0.3( 0 0 若，则（ ） ()= 4 92+ 2= A.B.C.D.1 4 9 1 2 5 9 【答案】C 【解析】 【分析】 由概率的性质可知,再由,进而求解. + = 1 ()= + = 4 9 【详解】 由题, + = 1 因为, ()= + = 2 = 4 9 所以, 2+ 2=( + )22 = 14 9 = 5 9 故选:C 【点睛】 本题考查概率的性质的应用,考查期望的公式的应用,属于基础题. 二、多选题(共 10 分) 5.设离散型随机变量 的分布列为 01234 0.40.10.20.2 若离散型随机变量 满足，则下列结果正确的有（） = 2 + 1 A.B.， = 0.1 = 2 = 1.4 C.，D.， = 2 = 1.8 = 5 = 7.2 【答案】ACD 【解析】 【分析】 先计算 的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值. 【详解】 因为，所以，故 A 正确； + 0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 1 = 0.1 又， = 0 0.1 + 1 0.4 + 2 0.1 + 3 0.2 + 4 0.2 = 2 ，故 C 正确；因为，所以 = (02)2 0.1 + (12)2 0.4 + (22)2 0.1 + (32)2 0.2 + (42)2 0.2 = 1.8 = 2 + 1 ，故 D 正确. = 2 + 1 = 5 = 4 = 7.2 故选 ACD. 【点睛】 随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量 与随机变量 满足，则，. = + = + = 2 6.某市有 ， ， ， 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 的概率为 ，游览 ， 和 的概率都是 ，且该游客是否 2 3 1 2 游览这四个景点相互独立.用随机变量 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A.游客至多游览一个景点的概率B. 1 4 ( = 2)= 3 8 C.D. ( = 4)= 1 24 ()= 13 6 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断 A；由题意得随机变量 的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期 望，来判断 BCD. 【详解】 解：记该游客游览 个景点为事件， = 0,1 则， (0)=(12 3)(1 1 2)(1 1 2)(1 1 2) = 1 24 ， (1)=(12 3)(1 1 2) 3+ (1 2 3) 1 3 1 2 (11 2) 2= 5 24 所以游客至多游览一个景点的概率为，故 A 正确； (0)+ (1)= 1 24 + 5 24 = 1 4 随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4; ， ( = 0) = (0)= 1 24 ， ( = 1) = (1)= 5 24 ，故 B 正确； ( = 2) = 2 3 1 3 1 2 (11 2) 2 +(12 3) 2 3( 1 2) 2 (1 1 2) = 3 8 ， ( = 3) = 2 3 2 3 1 2 (11 2) +(11 3) 3 3( 1 2) 3= 7 24 ，故 C 错误； ( = 4) = 2 3 (1 2) 3= 1 12 数学期望为： ，故 D 正确， () = 0 1 24 + 1 5 24 + 2 9 24 + 3 7 24 + 4 2 24 = 13 6 故选：ABD. 【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是基础题. 三、填空题(共 10 分) 7.一个袋子里装有 个红球和 个黑球，从袋中取 个球，取到 个红球得 分，取到 个黑球得 分设总得分为随机变量 ，则 4341113 _ ( 6)= 【答案】 13 35 【解析】 【分析】 列出取出的 4 个球中红球的个数及对应的黑球个数，即可得可能出现的分值，利用排列组合知识列出概率计算公式从而求出概率. 【详解】 取出的 4 个球中红球的个数可能为 4，3，2，1 个，黑球相应个数为 0，1，2，3 个， 其分值为，. = 4,6,8,10 ( 6)= ( = 4)+ ( = 6)= 4 4 0 3 4 7 + 3 4 1 3 4 7 = 13 35 故答案为： 13 35 【点睛】 本题考查离散型随机变量分布列，古典概型概率计算公式，排列组合计数原理，属于基础题. 8.设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白球个数的数学期望值为 ，则口袋中白球的个数为_. 6 7 【答案】3 【解析】 【分析】 设口袋中有白球 个，由已知可得取得白球 的可能取值为 ， ， ，则 服从超几何分布，利用公式()， 012 ( = ) = 2 7 2 7 = 0,1,2 即可求得答案. 【详解】 口袋中有白球 个，由已知可得取得白球个数 的可能取值为 ， ， 012 则 服从超几何分布， ( = ) = 2 7 2 7 ( = 0,1,2) ， ( = 0) = 2 7 2 7 ( = 1) = 1 1 7 2 7 ( = 2) = 2 2 7 () = 1 1 7 2 7 + 22 2 7 = 6 7 ， (7) + (1) = 6 7 21 = 18 6 = 18 = 3 故答案为： 3 【点睛】 本题解题关键是掌握超几何分布期望的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 四、解答题(共 36 分) 9.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 4 的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出 的点数之和不是 4 的倍数，则由对方接着投掷规定第一次从小明开始 （1）求前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率； （2）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为 ，求随机变量 的分布列与期望 【答案】 （1） ；（2）分布列见解析， 39 64 27 16 【解析】 【分析】 （1）先阅读理解题意，然后结合投掷两颗骰子向上的点数之和为 4 的倍数的概率为 求解即可； 1 4 （2）先确定 的可能取值，然后结合概率的求法列出分布列，求期望即可. 【详解】 解：（1）一人投掷两颗骰子向上的点数之和为 4 的倍数的概率为 9 36 = 1 4 因为第一次从小明开始，所以前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率 = 1 4 3 4 1 4 + 3 4 3 4 3 4 + 3 4 1 4 3 4 = 39 64 （2）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为 ，依题意 可取 0，1，2，3， 所以， ( = 0) = 1 4 1 4 1 4 = 1 64 ( = 1) = 3 4 3 4 1 4 + 1 4 3 4 3 4 + 1 4 1 4 3 4 = 21 64 ， ( = 2) = 39 64 ( = 3) = 3 4 1 4 1 4 = 3 64 所以 的分布列为 0123 1 64 21 64 39 64 3 64 所以 () = 0 1 64 + 1 21 64 + 2 39 64 + 3 3 64 = 27 16 【点睛】 本题考查随机变量的分布列与期望，重点考查了运算能力，属基础题 10.近几年，伴随着人工智能技术的发展， “围棋人机大战”引发了大家的关注.某棋手与计算机进行一场围棋比赛，比赛采用五局三 胜制，且无论比分如何都要下满五局.假设比赛没有和棋，刚开始棋手每局获胜的概率只有 ，当计算机赢了 3 局后，由于熟悉了 1 4 计算机的策略，棋手每局获胜的概率变为 .现已知前两局比赛都由计算机获胜. 1 2 （）求计算机获得最终比赛胜利且比分为 3 比 2 的概率； （）设比赛结束后，棋手获胜的局数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 【答案】 （） ； （）分布列见解析， . 21 64 75 64 【解析】 【分析】 （）由题意知，后 3 局中，计算机获胜 1 局，棋手获胜 2 局，有三种情况：若计算机第 3 局获胜，棋手第 4 局和第 5 局获胜； 若计算机第 4 局获胜，棋手第 3 局和第 5 局获胜；若计算机第 5 局获胜，棋手第 3 局和第 4 局获胜；分别计算概率相加即可. （）由题意可得，X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出概率，列出分布列并求出数学期望即可. 【详解】 （）由题意知，后 3 局中，计算机获胜 1 局，棋手获胜 2 局， 若计算机第 3 局获胜，棋手第 4 局和第 5 局获胜：； 1= 3 4 1 2 1 2 = 3 16 若计算机第 4 局获胜，棋手第 3 局和第 5 局获胜：； 2= 1 4 3 4 1 2 = 3 32 若计算机第 5 局获胜，棋手第 3 局和第 4 局获胜：； 3= 1 4 1 4 3 4 = 3 64 则所求的概率. = 1+ 2+ 3= 21 64 （）由题意可得，X 的可能取值为 0，1，2，3. 则； ( = 0)= 3 4 1 2 1 2 = 3 16 ； ( = 1)= 1 4 3 4 1 2 + 3 4 1 2 1 2 + 3 4 1 2 1 2 = 15 32 由（）知； ( = 2)= 21 64 ， ( = 3)= 1 4 1 4 1 4 = 1 64 随机变量 X 的分布列为 X0123 P 3 16 15 32 21 64 1 64 所以. ()= 0 3 16 + 1 15 32 + 2 21 64 + 3 1 64 = 75 64 【点睛】 本题主要考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望的求解，概率计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力，属于简单题. 11.某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担若厂家 恰能在约定日期（月日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家 40 万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售 商将多支付给厂家 2 万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家 2 万元为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定 日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送已知下表内的信息： 汽车行驶路 线 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间 （天） 在堵车的情况下到达城市乙所需时间 （天） 堵车的概 率 运费（万元） 公路 1142 公路 2231 （1）记汽车选择公路 1 运送啤酒时厂家获得的毛收入为 X（单位：万元） ，求 X 的分布列和 EX； （2）若，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？ = 1 3 = 1 4 （注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费） 【答案】 （1）分布列见解析，；（2）选择公路 2 运送啤酒有可能让啤酒厂获得的毛收入更多 = 406 【解析】 【分析】 （1）若汽车走公路 1，不堵车时啤酒厂获得的毛收人（万元） ，堵车时啤酒厂获得的毛收入 = 402 + 2 = 40 （万元） ，然后列出分布列和求出 = 4024 = 34 （2）当时，由（1）知（万元） ，然后求出，比较二者的大小即可得出结论. = 1 3 = 406 1 3 = 38 【详解】 解：（1）若汽车走公路 1， 不堵车时啤酒厂获得的毛收人（万元） ， = 402 + 2 = 40 堵车时啤酒厂获得的毛收入（万元） ， = 4024 = 34 所以汽车走公路 1 时啤酒厂获得的毛收入 X 的分布列为 4034 1 = 40(1) + 34 = 406 （2）当时，由（1）知（万元） ， = 1 3 = 406 1 3 = 38 当时，设汽车走公路 2 时啤酒厂获得的毛收入为 Y，则 = 1 4 不堵车时啤酒厂获得的毛收入9（万元） ， = 401 = 3 堵车时啤酒厂获得的毛收入（万元） ， = 4012 = 37 汽车走公路 2 时啤酒厂获得的毛收入 Y 的分布列为 3937 3 4 1 4 （万元） ， = 39 3 4 + 37 1 4 = 38.5 由得选择公路 2 运送啤酒有可能让啤酒厂获得的毛收入更多 【点睛】 本题考查的是随机变量的分布列和期望，较简单，属于基础题；由于文字太多，解答本题的关键是读懂题意.