1、北师大新版数学必修第一册第北师大新版数学必修第一册第三三章章指数运算与指数函数基础指数运算与指数函数基础测试题测试题 一、单选题一、单选题 1以下关于函数 2xf x 的说法正确的是（） A f mnf m f nB f mnf mf n C f mnf mf nD f m f nf mn 2下列各式中成立的是（） A 7 1 7 7 n n m m B 43 12( 3) 3 C 3 33 2 ()xyxy D 2 (3)3 3已知 22 3xx ，则 1 xx 的值为（） A 5 B1C 5 D 4已知指数函数 ( )f x过点( 2,4) ，则(6)f（） A 3 4 B 1 64 C
2、4 3 D 1 12 5函数 1 3 x f xa （0a 且1a ）的图象过定点（） A1,4B3,1C0,3D1,0 6下列函数中，在0,上为减函数的是（） A3xy B 1 y x C 1 3 x y D 2 yx 7若01a,1b 则函数( ) x f xab的图象一定经过（） A第一、二象限B第二、四象限 C第一、三、四象限D第二、三、四象限 8若 2 0.5a ，2 0.5 b ， 0.5 2c ，则 a，b，c 的大小关系是（） AacbBa bcCbacDbca 9函数(1) x yaa的图象是（） A B CD 10函数 2 2 1 ( ) 2 xx y 的单调递增区间是（）
3、 A 1,) B(, 1 C1,)D(,1 11下列式子成立的是（） A 3 aaa B 3 aaa C 3 aaa D 3 aaa 12函数 2 (33) x yaaa是指数函数，则有（） A1a 或4a B4a C1a D0a 或1a 二、填空题二、填空题 13函数2xy ，1,2x 的值域为_. 14 11 32 0 2581 () 9274 e =_. 15关于x的方程 23 2020 5 x a a 有实数根，则实数a的取值范围为_. 16已知函数 1 ( ) x f xa (0a 且1)a ，若(2021)(2020)ff，则实数a的取值 范围是_. 三、解答题三、解答题 17计算
4、： （1） 02 2 0.254 3 61 8227 72 ； （2）已知： 11 22 3aa ，求 1 22 2 2 aa aa 18已知函数 21 21 x x fx . （1）判断并证明函数 fx的奇偶性； （2）判断并证明 fx在其定义域上的单调性. 19函数 f(x)2x和 g(x)2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，且 x1x2. （1）请指出图中曲线 C1，C2分别对应的函数； （2）结合函数图象，判断 3 2 f 与 3 2 g ，f(2 019)与 g(2 019)的大小 20已知 1 ( ), ( ) x x f xag x
5、a （0a ，且1a ） ， （1）讨论函数 ( )f x和( )g x的单调性. （2）如果( )( )f xg x，那么 x 的取值范围是多少？ 21已知函数 2 ( )(0) 2 x x a f xa a 是R上的偶函数 （1）解不等式 17 ( ) 4 f x ； （2） 若关于x的不等式( )21 x mf xm 在(0, )上恒成立， 求实数m的取值范围 22已知函数 2 2 ,0 4 ,0 x x f x xx x ， （1）求 5ff的值； （2）画出函数 fx的图像； （3）求函数 fx的单调区间，并写出函数 fx的值域. 参考答案参考答案 1D 【分析】 利用特殊值法可判断
6、 ABC 选项的正误，利用指数幂的运算性质可判断 D 选项的正误. 【详解】 对于 A 选项，取1mn，则 12f mnf， 2 1124f m f nff， 此时 f mnf m f n，A 选项错误； 对于 B 选项，取1mn，则 12f mnf， 114f mf nff， 此时 f mnf mf n，B 选项错误； 对于 C 选项，取0mn，则 01f mnf， 002f mf nff， 此时 f mnf mf n，C 选项错误； 对于 D 选项， 222 mnm n f m f nf mn ，D 选项正确. 故选：D. 2D 【分析】 根据指数幂的性质即可化简判断. 【详解】 对于 A
7、， 7 77 n n m m ，故 A 错误； 对于 B， 43 12 412 3( 3)3 ，故 B 错误； 对于 C，显然不成立，故 C 错误； 对于 D， 2 (3)33，故 D 正确. 故选：D. 3C 【分析】 将 1 xx 平方即可求解. 【详解】 由 2 122 25xxxx ，知 1 5xx ， 故选：C. 4B 【分析】 设出函数解析式，代入点( 2,4)可求得 1 2 a ，即可求出(6)f. 【详解】 设 x f xa（0a 且1a ） ， 2 24fa，解得 1 2 a ， 6 11 (6) 264 f . 故选：B. 5A 【分析】 令10 x ，解出x的值，代入函数
8、 fx的解析式，计算可得出该函数的图象所过定点的 坐标. 【详解】 令10 x ，可得1x ，则 0 134fa， 因此，函数 1 3 x f xa （0a 且1a ）的图象过定点1,4. 故选：A. 6D 【分析】 结合相应的函数的性质对选项进行逐一判断. 【详解】 对于 A，由指数函数的性质知，3xy 在0,上为增函数，不满足， 对于 B， 1 y x 在0,上为增函数，不满足， 对于 C， 1 3 x y 在0,上为增函数，不满足 对于 D，二次函数 2 yx 在0,上为减函数，满足 故选：D 7D 【分析】 根据01a,1b ，得到(0)0f，且是是R上的减函数判断. 【详解】 因为0
9、1a,1b ， 所以 0 (0)10fabb ，且函数是R上的减函数， 图象如图所示： 所以其图象一定经过第二、三、四象限， 故选：D 8C 【分析】 直接求出, ,a b c的值，即可得答案； 【详解】 2, 1 , 4 1abc ， bac， 故选：C. 9B 【分析】 ,0 ,0 x x x ax ya ax ，根据指数函数的性质，作出分段函数的图象即可. 【详解】 ,0 ,0 x x x ax ya ax ， 当0 x 时，因为1a ，所以 x ya过点0,1且单调递增，结合指数函数的图象特点，排 除选项 A、C、D， 故选：B 10C 【分析】 利用复合函数判断单调性“同增异减”的方
10、法求解即可 【详解】 解：令 2 2txx ，则 1 2 t y ， 因为 2 2txx 在(,1上单调递增，在1,)上单调递减， 1 2 t y 在定义域内为减函数， 所以 2 2 1 ( ) 2 xx y 在(,1上单调递减，在1,)上单调递增， 故选：C 11B 【分析】 根据根式有意义求得a的符号，结合根式的运算性质可得出与a a- 相等的代数式. 【详解】 若a a- 有意义，则0a ，可得0a ， 23 aaaaaaa . 故选：B. 12B 【分析】 根据指数函数的概念，得到 2 331 0 1 aa a a ，求解，即可得出结果. 【详解】 因为函数 2 (33) x yaaa
11、是指数函数， 所以 2 331 0 1 aa a a ，解得4a . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查由指数函数的概念求参数，属于基础题型. 13 1 ,4 2 【分析】 利用指数函数的单调性即可得到答案. 【详解】 因为2xy 在区间1,2为增函数，所以值域为 1 ,4 2 . 故答案为： 1 ,4 2 142 【分析】 利用指数的运算法则直接进行运算； 【详解】 11 32 0 258152 ()122 927433 e ， 故答案为：2. 15 2 ,5 3 【分析】 根据指数函数的性质，由题中条件，得到 23 0 5 a a ，求解，即可得出结果. 【详解】 因为指数函数2020 x
12、y 的值域为0,，关于x的方程 23 2020 5 x a a 有实数根， 所以只需 23 0 5 a a ，即 32 0 5 a a ，解得 2 5 3 a； 故答案为： 2 ,5 3 . 16(0,1) 【分析】 由已知可得 20202019 aa ，从而可求出a的取值范围 【详解】 解：因为 1 ( ) x f xa (0a 且1)a ，且(2021)(2020)ff， 所以 1 20211 2020 aa ，即 20202019 aa ， 所以01a， 所以实数a的取值范围为(0,1) 17 （1）4， （2） 1 5 【分析】 （1）把根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂运算性质求
13、解即可； （2）对 11 22 3aa 两边平方化简求出 1 aa ，再平方可求出 22 aa 的值，从而可求出 结果 【详解】 解： （1）原式 231 32 344 1 22(3 )2 1 294 4 （2）由 11 22 3aa ，得 11 1 22 29aa aa ，得 1 7aa ， 所以 212 249aa aa ，所以 22 47aa ， 所以 1 22 27291 2472455 aa aa 18 （1）详见解答； （2）详见解答. 【分析】 （1）求出()fx判断与 ( )f x的关系，即可得出结论； （2）将 ( )f x分离常数，任取 12 xx，用作差法比较 12 ()
14、,()f xf x大小，即可得出结论. 【详解】 （1） ( )f x的定义域为实数集R， 2112 ()( ) 2112 xx xx fxf x ， 所以 ( )f x是奇函数； （2） 212 1 2121 x xx f x ，设 12 xx， 12 1212 12 222(22 ) ( )() 2121(21) (21) xx xxxx f xf x ， 1212 1212 ,022 ,220,()() xxxx xxf xf x， 所以 ( )f x在实数集R上增函数. 【点睛】 本题考查函数奇偶性和单调性的证明，意在考查逻辑推理能力，属于基础题. 19 （1）C1对应的函数为 g(x
15、)2x，C2对应的函数为 f(x)2x； （2） 33 22 fg ；f(2 019)g(2 019) 【分析】 （1）观察图象可得结果； （2）从图象上可以看出，当 1x2 时，f(x)g(x)，进而可得 3 2 f 与 3 2 g 的大小，当 x2 时，f(x)g(x)，可得 f(2 019)与 g(2 019)的大小关系. 【详解】 （1）由图像可得：C1对应的函数为 g(x)2x，C2对应的函数为 f(x)2x. （2）f(1)g(1)，f(2)g(2) 从图象上可以看出，当 1x2 时，f(x)g(x)， 33 22 fg ； 当 x2 时，f(x)g(x)， f(2 019)g(2
16、 019). 【点睛】 本题考查函数图象的应用，利用函数图象以比较函数值的大小，是基础题. 20 （1）当1a 时，( ) x f xa是 R 上的增函数，( )g x是 R 上的减函数；当01a时， ( )f x是 R 上的减函数，( )g x是 R 上的增函数； （2）当1a 时，x 的取值范围是(,0)； 当01a时，x 的取值范围是(0,). 【分析】 （1）对底数a分类讨论即可得出结论； （2）由题意得 1 x x a a ，再推出1 x a ，再结合单调性即可求得答案 【详解】 解： （1）当1a 时，( ) x f xa是 R 上的增函数. 由于 1 01 a ，所以 x 1 (
17、 )g x a 是 R 上的减函数. 当01a时，( ) x f xa是 R 上的减函数， 由于 1 1 a ，所以 x 1 ( )g x a 是 R 上的增函数. （2） 1 ( )( ) x x f xg xa a 2 0 11 xx aaa ， 当1a 时，0 x ； 当01a时，0 x ； 当1a 时，x 的取值范围是(,0)； 当01a时，x 的取值范围是(0,) 【点睛】 本题主要考查指数函数单调性的应用，属于基础题 21 （1）( 2,2) ； （2） 1 3 m . 【分析】 (1）先利用偶函数的定义求出1a ，设2x t ，则不等式即为 2 171 104 44 ttt ，
18、再解关于 x 的不等式即可; (2） 问题转化为 2 1 2 221 x xx m 在(0,)恒成立， 设1 2x t ， (t 0) ， 则 1 1 1 m t t 在 (,0)t 时恒成立，即可求出m的取值范围. 【详解】 （1）( )f x为偶函数 ()( )fxf x恒成立， 22 22 xx xx aa aa 恒成立， 即 1 220 xx a a 恒成立， 1 01aa a ，0a ， 1a=， 21717 ( )222210 44 xxxx f x ， 设2x t ，则不等式即为 2 171 104 44 ttt ， 1 2422 4 x x ， 所以原不等式解集为( 2,2)
19、（2）2221 xxx mm 在(0,)上恒成立， 即： 2 211 2 221221 xx xxxx m 在(0,)上恒成立， 令1 2x t ，则 222 1 21 1 221(1)1 1 x xx tt m tttt t t ， 在(,0)t 时恒成立，所以 min 1 1 1 m t t ， 又 1 2t t ，当且仅当1t 时等号成立， 则 min 11 1 3 1t t 所以 1 3 m 22 （1） 1 5 32 ff； （2）图象见解析； （3） fx的单调递增区间是,0和0,2， 单调递减区间是2,，值域是,4. 【分析】 （1）根据分段函数 2 2 ,0 4 ,0 x x f x xx x ，先求 5f，再求 5ff即可. （2）根据指数函数和二次函数的图象和性质画出函数的图象. （3）由（2）中函数的图象，写出单调区间和值域即可. 【详解】 （1）因为函数 2 2 ,0 4 ,0 x x f x xx x ， 所以 2 554 55f ， 所以 5 1 552 32 fff ， 即 1 5 32 ff. （2）画函数图象如图所示： （3）由图象知：函数 fx的单调递增区间是,0和0,2，单调递减区间是2,. 函数 fx的值域是,4.
