1、北师大新版数学必修第一册第二章函数北师大新版数学必修第一册第二章函数综合综合测试题测试题 一、单选题一、单选题 1下列各组函数中，表示同一函数的是（） A 1f x ， 0 g xxB 2fxx， 2 4 2 x g x x C x f x x ， 1,0 1,0 x g x x D fxx， 2 g xx 2已知函数 ( )f x的定义域是0，2，则函数 1 ( )() 2 g xf x的定义域是（） A 1 5 , 2 2 B 1 3 , 2 2 C 1 3 , 2 2 D0，2 3已知函数 fx满足 2 12f xx，则 3f（） A2B4C7D14 4下列各组函数表示同一函数的是（）
2、A ,0, ( )( ) ,0, x x f xg xx x x B 0 ( )1, ( )f xg xx C 22 ( ), ( )()f xxg xx D 2 1 ( )1, ( ) 1 x f xxg x x 5函数 0 1x f x xx 的定义域为（） A,0B, 1 C, 11,0 U D,00, 6若 2 2 ( ) 1 x f x x ，则 111 (1)(2)(3)(4) 234 fffffff 等于 （） A3B 7 2 C4D 9 2 7已知函数 1 2 2 ( )43f xxx 的增区间为（） A(3,)B(2,)C(,2)D(,1) 8已知 ( )f x是一次函数，且
3、( ( )41f f xx ，则 ( )f x的解析式为（） A 1 ( )2 3 f xx或( )21f xx B( )21f xx或( )21f xx C( )21f xx或 1 ( )2 3 f xx D( )21f xx或( )21f xx 9 已知函数 2 4 ,2 ( ) 25,2 xx x f x axx ， 若存在 x1， x2R， 且 x1x2， 使得 12 ()()f xf x， 则实数 a 的取值范围为（） A,0B 9 , 4 C 9 , 2 D 9 0, 2 10函数2 1yxx的值域是（） A,1B1,C,2D2, 11已知函数 2 ( )2 +1,0,2f xxx
4、x ，函数( )1, 1,1g xaxx ，对于任意 1 0,2x ， 总存在 2 1,1x ， 使得 21 ()()g xf x成立， 则实数 a 的取值范围是 （） A(, 3 B3,)C(, 33,) D(, 3)(3,) 12已知函数( ),yf x xR，下列说法不正确的是（） A若对于xR ，都有()()0f axf bx（, a b为常数） ，则( )f x的图象关于 直线 2 ab x 对称 B若对于xR ，都有()()0f axf bx（, a b为常数） ，则 ( )f x的图象关于 点(,0) 2 ab 对称 C若对于, x yR，都有()( )( )f xyf xf y
5、，则( )f x是奇函数 D若对于, x yR，都有()( )( )f xyf xf y，且( )0f x ，则 ( )f x是奇函数 二、填空题二、填空题 13给定映射 :,fx yx xy，在映射 f 下象2,3的原象是_ 14已知函数 fx为奇函数，且当0 x 时， 2 1 fxx x ，则1f _. 15已知函数 2 2 1 1 b x f xa x 的最大值与最小值的和为 6，ab_ 16已知函数 (31)4 ,2 ( ) ,2 axa x f x ax x 满足对任意的实致 12 xx，都有 12 12 ()() 0 f xf x xx ，则 a 的取值范围是_. 三、解答题三、解
6、答题 17已知函数 2 ( ) 2 xa f x x 满足 3 (2) 2 f. （1）求实数a的值并判断函数 ( )f x的奇偶性； （2）判断函数 ( )f x在(0,)上的单调性(可以不用定义). 18已知函数 2 ( )(1) ()f xxax a R. （1）若对于任意 1,2x ，恒有 2 ( )2f xx成立，求实数 a 的取值范围； （2）若2a ，求函数 ( )f x在区间0, 2上的最大值( )g a. 19已知函数 2 ( ) 1 mxn f x x 是定义在 1,1上的奇函数，且(1)1f. （1）求 m，n 的值；判断函数 ( )f x的单调性并用定义加以证明； （2
7、）求使 2 (1)(1)0f af a成立的实数 a 的取值范围. 20已知函数 2 1,1 43,1 xx f x xxx . （1）画出函数 fx的图象，并写出函数的单调区间; （2）若直线y m 与函数 yf x的图象有 3 个交点，请由（1)中函数图象直接写出 m 的取值范围. 21设二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a在区间 2,2上的最大值、最小值分别是 M，m，集合( )AxR f xx. （1）若1,2A 且 02f，求 M 和 m 的值； （2）若1A ，且 1 , 6 a ，记 g aMm，求 g a的表达式并求 g a的 最小值 22已知定义在 R 上的函数 f
8、x对任意 x，yR都有等式 1f xyf xfy成立，且当0 x 时，有 1fx . （1）求证：函数 fx在 R 上单调递增； （2）若 34f，且当0 x 时，9233 xx ff mm恒成立，求实数 m 的取值范围. 参考答案参考答案 1D 【分析】 求出每个选项中两个函数的定义域， 并化简每个选项中两个函数的解析式，由此可得出合适 的选项. 【详解】 对于 A 选项，函数 fx的定义域为R，函数 g x的定义域为0 x x ， 两个函数的定义域不相同，A 选项中的两个函数不相等； 对于 B 选项，函数 fx的定义域为R，函数 g x的定义域为2x x ， 两个函数的定义域不相同，B 选
9、项中的两个函数不相等； 对于 C 选项，函数 fx的定义域为0 x x ，函数 g x的定义域为R， 两个函数的定义域不相同，C 选项中的两个函数不相等； 对于 D 选项，函数 fx与 g x的定义域均为R，且 2 g xxx， D 选项中的两个函数相等. 故选：D. 2B 【分析】 直接由 1 02 2 x可得解. 【详解】 函数 fx的定义域是0,2 1 02 2 x，解得： 13 22 x 故选：B 3A 【分析】 令13x ，代入即可得解. 【详解】 令13x ，则2x ， 所以 2 3222f. 故选：A. 4A 【分析】 直接利用函数的定义判断. 【详解】 对于 A， fxx和 g
10、 x的定义域和对应关系均相同，故为同一函数，故 A 正确； 对于 B， 1f x 的定义域为R， 0 g xx的定义域为0 x x ，两者定义域不同，故 A 错误； 对于 C， 2 f xx的定义域为R， 2 g xx的定义域为 0 x x ，两者定义域不 同，故 C 错误； 对于 D， 1f xx的定义域为R， 2 1 1 x g x x 的定义域为1x x ，两者定义域不 同，故 D 错误， 故选：A. 5C 【分析】 根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的取值范围即可. 【详解】 因为 0 1x f x xx ， 所以 10 0 x xx ，解得 1 0 x x ，即1x 或10 x
11、， 即函数 0 1x f x xx 的定义域为, 11,0 U. 故选：C. 6B 【分析】 根据函数解析式，求出 1 ( )1f xf x ，即可得出结果. 【详解】 因为 2 2 ( ) 1 x f x x ，所以 2 2 2 1 11 1 1 1 x f xx x ， 因此 1 ( )1f xf x ， 所以 11117 (1)(2)(3)(4)3 1 2341 12 fffffff . 故选：B. 7A 【分析】 先求得函数的定义域，再令 2 43txx ，结合 1 2 yt 的单调性，利用复合函数的单调性 求解. 【详解】 由 2 430 xx ， 解得3x 或1x ， 因为 2 4
12、3txx 在(,1递减，在3,)递增， 又因为 1 2 yt 在0,)递增， 所以 fx增区间为(3,) 故选：A 8A 【分析】 设( )0f xkxb k，由题意可得( ( )()41f f xf kxbk kxbbx，即 2 4 11 k b k ，求出k和b的值，即可得 ( )f x的解析式. 【详解】 设( )0f xkxb k，则( ( )()41f f xf kxbk kxbbx， 即 2 41k xkbbx 对任意的x恒成立， 所以 2 4 11 k b k ，解得： 2 1 3 k b 或 2 1 k b ， 所以 ( )f x的解析式为 1 ( )2 3 f xx或( )2
13、1f xx ， 故选：A 【点睛】 方法点睛：求函数解析式的方法 （1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 fx，再利用题目中给 的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数； （2）换元法：主要用于解决已知复合函数 fg x 的表达式求 fx的解析式的问题，令 g xt，解出x，然后代入 fg x 中即可求得 f t，从而求得 fx，要注意新元 的取值范围； （3） 配凑法： 配凑法是将 fg x 右端的代数式配凑成关于 g x的形式， 进而求出 fx 的解析式； （4）构造方程组法（消元法） ：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法 是根据不同的
14、变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 9B 【分析】 转化条件为 ( )f x在,2 上的取值范围与在2,上的有交集，结合二次函数及一次函 数的性质分类讨论即可得解. 【详解】 当2x 时， 2 ( )4f xxx ，由二次函数的性质可得 ( )f x单调递增且 ( ),4f x ； 若要满足题意，只需使 ( )f x在 ,2上的取值范围与在2,上的有交集， 当2x 时，若0a ，则( )2545,f xaxa， 则454a，解得 9 4 a ，此时 9 0 4 a； 若0a ，( )5f x ，符合题意； 若0a ，则( )25,45f xaxa ，符合题意； 综上
15、，实数 a 的取值范围为 9 , 4 . 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为 ( )f x在,2 上的取值范围与在2,上的 有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解. 10C 【分析】 令10,tx，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】 由题意，函数2 1yxx的定义域为,1， 设10,tx，则 2 1xt ， 所以 2 2 2 11212,2yxxttt ， 所以函数2 1yxx的值域是,2. 故选：C. 11C 【分析】 先求得 ( )f x的值域，根据题意可得( )f x的值域为1,2是( )g x在 1,1 上值域的子集，分 0,0aa两种情况讨论，根
16、据( )g x的单调性及集合的包含关系，即可求得答案. 【详解】 因为 2 ( )(2)2,0,2f xxx ， 所以 min max ( )(0)1 ( )(2)2 f xf f xf ，即 ( )f x的值域为1,2， 因为对于任意 1 0,2x ，总存在 2 1,1x ，使得 21 ()()g xf x成立， 所以 ( )f x的值域为1,2是( )g x在 1,1 上值域的子集， 当0a 时，( )g x在 1,1上为增函数，所以( 1)( )(1)gg xg，所以 ( )1,1g xaa ， 所以 11 12 a a ，解得3a ， 当0a 时，( )g x在 1,1上为减函数，所以
17、(1)( )( 1)gg xg，所以 ( )1,1g xaa 所以 11 12 a a ，解得3a ， 综上实数 a 的取值范围是(, 33,) ， 故选：C 【点睛】 解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题， 再求解， 考查分析理解的能力， 属中档题. 12D 【分析】 根据函数关于轴对称和点对称的定义和关系式，判断 AB 选项；根据奇函数的定义和性质判 断 CD 选项. 【详解】 A. 对于xR ，都有()()0f axf bxf axf bx（, a b为常数） ， 则函数 fx的图象关于 22 axbxab x 对称； B. 若对于xR ， 都有()()0f axf bx
18、f axf bx （, a b为常数） ， 则函数 fx的图象关于,0 2 ab 对称，故 B 正确； C.令0 xy，则 00f，再令yx，则 00f xfxf，即 fxfx ， 则 fx是奇函数，故 C 正确； D. 令0 xy，则 2 0000fff或 01f，因为 0f x ,所以 01f， 根据奇函数的性质可知，若函数在0 x 处有定义，则 00f，而 01f， 所以不是奇函数，故 D 错误. 故选：D 【点睛】 结论点睛：关于函数轴对称和点对称以及函数周期，需要理解并记住一些关系式， 1.若函数对于xR ，都有f axf ax，或 2faxf x，都说明函数 fx的图象关于x a
19、对称， 若对于xR ， 都有()()0f axf bx（, a b为常数） ， 则 ( )f x的图象关于直线 2 ab x 对称； 2. 若函数对于xR ，都有f axf ax ，或 2faxf x ，都说明函 数 fx的图象关于,0a对称，若对于xR ，都有()()0f axf bx（, a b为常 数） ，则 ( )f x的图象关于点(,0) 2 ab 对称； 3. 若函数对于xR ，都有 f axf x，则函数的周期是a，若函数对于xR ， 都有f axf xa，则函数的周期是2a(a是常数). 1341, 【分析】 根据映射概念列出关于 , x y的方程组，求解出方程组解则原象可求.
20、 【详解】 由题意可知： 2 3 x xy ，所以 4 1 x y ，所以原象为41,， 故答案为：41,. 142 【分析】 根据函数 fx为奇函数，由 11ff 求解 【详解】 因为函数 fx为奇函数，且当0 x 时， 2 1 fxx x ， 所以 2 1 1112 1 ff 故答案为：-2 153 【分析】 将 fx变形为 2 2 1 bx fxab x ，然后根据 2 2 1 bx y x 的奇偶性分析出 maxmin f xf x的取值特点，由此求解出 a b的结果. 【详解】 因为 2 22 12 11 b xbx f xaab xx ， 当0b 时， f xa，所以6aa，所以3
21、a ，所以3ab； 当0b时， 2 2 1 bx fxab x ，记 2 2 1 bx g x x ，所以 22 22 1 1 bxbx gxg x x x ， 又因为 g x的定义域为R关于原点对称，所以 g x为奇函数，所以 maxmin 0g xg x， 又因为 maxminmaxmin 26fxfxabg xabg xab ， 所以3ab， 综上可知：3ab， 故答案为：3. 【点睛】 结论点睛：奇、偶函数在对称区间上的最值： （1）奇函数在对称区间上的最值互为相反数； （2）偶函数在对称区间上的最值相等. 16 1 1 6 3 ， 【分析】 求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关
22、于a的不等式组，解出即可. 【详解】 由题意得： fx在R上单调递减， 故 310 0 62+42 a a aaa ，解得 11 63 a， 即a的取值范围是 1 1 6 3 ， 故答案为： 1 1 6 3 ，. 【点睛】 易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式 62+42aaa . 17 （1）2a ， ( )f x为奇函数.（2）( )f x在(0, 2)上减，( 2,)上增； 【分析】 （1）由解析式求得参数的值，即可知函数 ( )f x的解析式，再由奇偶性定义证明即可； （2）由双勾函数性质可得函数的单调性. 【详解】 （1） 43 (2) 4
23、2 a f ，2a. 2 21 ( ) 22 xx f x xx ，且定义域为 ,0(0,)关于原点对称 11 ()( ) 22 xx fxf x xx ( )f x为奇函数. （2）由对勾函数可知： ( )f x在区间(0, 2)上单调递减，在( 2,)上单调递增. 【点睛】 本题考查由定义法证明奇偶性，还考查了双勾函数的单调性，属于基础题. 18 （1）5,； （2） 2 (1) ,23 ( ) 4 22,3 a a g a aa . 【分析】 （1）将 2 ( )2f xx变形为13ax ，然后求出右边的最大值即可； （2）分 1 2 2 a 、 1 2 2 a 两种情况讨论即可. 【详
24、解】 （1）对任意的1,2x，恒有 2 2f xx，即 22 (1)2xaxx， 整理得 2 3(1)0 xax对任意的1,2x恒成立， max 1(3 )6ax 因此，实数 a 的取值范围是5,. （2） 2 2 2 1 1 (1) 24 a a f xxaxx . 2a 1 0 2 a 当 1 2 2 a ，即23a时，函数 yf x在 1 0, 2 a 上单调递增， 在 1,2 2 a 上单调递减，此时 2 11 24 aa g af ； 当 1 2 2 a ，即3a 时， yf x在0, 2上单调递增， 此时 222g afa 综上所述， 2 (1) ,23 ( ) 4 22,3 a
25、a g a aa 19 （1） 2 0 m n ，为增函数，证明见解析； （2）0，1). 【分析】 （1）利用 fxfx 和 11f可求出2m ，0n ，然后利用单调性的定义可得 ( )f x的单调性； （2）利用 fx的奇偶性可将不等式 2 (1)(1)0f af a化为 2 11f afa，然后 利用其单调性去掉f即可解出答案. 【详解】 （1） ( )f x是定义在 1,1 上的奇函数，则 fxfx ， 即 22 11 mxnmxn xx ，则0n ， 所以 2 1 mx f x x ，又因为 11f，得2m ，所以2m ，0n . 设 12 , 1,1x x 且 12 xx，则 22
26、 1212212112 12 222222 121212 222(1)2(1)2()(1) 11(1)(1)(1)(1) xxx xxxxxx x fxfx xxxxxx 12 11xx ， 22 211212 0,10,(1)(1)0 xxx xxx 12 0f xf x， 12 fxfx， f x在 1,1上是增函数 （2）由（1）知 2 2 1 x fx x ， fx在 1,1上是增函数， 又因为 fx是定义在 1,1上的奇函数， 由 2 110f af a，得 2 11f afa， 2 2 11 1 11 1 1 1 a a aa ， 即 2 02 02 21 a a a ，解得01a
27、. 故实数a的取值范围是0，1). 20 （1） 图像见解析； 单调递增区间是(,1),(2,)， 单调递减区间是(1,2)； （2） -1m0. 【分析】 （1）根据分段函数的解析式即可画出图象，得出单调区间； （2）观察图象，数形结合即可得出结果. 【详解】 解： （1）作出 fx的图象，如下图所示， 由图象可知， fx单调递增区间是(,1),(2,)，单调递减区间是(1,2)； （2）观察图象可知，当10m 时，直线y m 与函数 yf x的图象有 3 个交点， 10m . 21 （1）1m ，10M ； （2） 1 ( )91 4 g aa a ； min 31 ( ) 4 g a.
28、【分析】 （1）先由 02f，解出c，再由1,2A 即可解出a，b，即可求出 ( )f x的解析式， 根据二次函数图像可求出 M 和 m 的值； （2）利用根与系数的关系可求出 g a的表达式，再根据 g a的单调性即可求得结果. 【详解】 解： （1） 02f， 可得：2c ， 又因为1,2A ，故 1，2 为 2 (1)0axbxc的两个根 1 12 1 2 b a c a ， 解得1a ，2b ， 22 ( )22(1)1f xxxx， 2,2x ， 当1x 时， min ( )(1)1f xf即1m ， 当2x 时， max ( )( 2)10f xf，即10M ， （2）由题意可知，
29、方程 2 (1)0axbxc有两个相等实数根1x 1 1 1 1 b a c a ， 即 12ba ca ， 2 1 2,2,2f xaxa xa x 其对称轴为 211 1 22 a x aa ， 又因为1a ， 11 1,1 22a ， ( 2)92Mfa， 211 1 24 a mf aa ， 1 ( )91 4 g aMma a ， 又( )g a在区间1,)上单调递增函数， 1a 时， min 31 ( ) 4 g a. 【点睛】 关键点点睛：灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一 个闭区间上二次函数的最值是解题的关键 22 （1）证明见解析； （2）
30、22 2m . 【分析】 （1）由函数单调性的定义任取 12 ,x xR，且 12 xx，通过作差证明 21 f xf x即可得 证； （2） 由函数的单调性可转化条件为 91 31 x x m 在0 x 时恒成立，换元后结合基本不等式求 得 91 31 x x 的最小值即可得解. 【详解】 （1）证明：任取 12 ,x xR，且 12 xx，则 21 0 xx， 21 1fxx， 1212 1f xf xxf x 即 2121 10f xf xf xx ， 21 f xf x， 故函数 fx在 R 上单调递增； （2）(3)(1)(2) 1(1)(1)(1)23 (1)2fffffff ，(1)2f， 原不等式等价于92312 xx ff mm ，即 9231 xx fmmf， 故9 231 xx mm 在0 x 时恒成立， 当0 x 时，3191 xx m即 91 31 x x m . 设3 1 x t ，则0t ，3 1 x t ， 所以 2 91(1)122 2222 22 31 x x t tt ttt ， 当且仅当 2t 时，等号成立. 22 2m . 【点睛】 关键点点睛： 解决本题的关键是利用函数的单调性转化条件为求 91 31 x x 在0 x 时的最小值， 结合基本不等式即可得解.
