1、北师大新版数学必修第一册第北师大新版数学必修第一册第三三章章指数运算与指数函数综合指数运算与指数函数综合测试题测试题 一、单选题一、单选题 1已知 2 23 x fxa 过定点P，则点P的坐标为（） A2, 3B0, 1C2, 1D0, 3 2下列运算正确的是（） A 3 3 39aa B 236 aaa C 2 36 ( 2)8aa D325aa 3已知 423 0.2 ,0.3 ,0.4abc，则（） AbacBacbCcabDabc 4若8ab，2ab ，则 33 ab（ ） A128B464C496D512 5已知集合 Ax|x2x20，By|y2x，则 AB 等于（） A(1，2)B
2、(2，1) C(0，1)D(0，2) 6 3 4 16 81 （） A 64 27 B 8 27 C 27 64 D 27 8 7如果指数函数 x ya（0a 且1a ）在 1,1x 上的最大值与最小值的差为 8 3 ， 则实数a （） A3B 1 3 C2 或 1 2 D3或 1 3 8如果函数 (2)11 ( ) 1 x a xx f x ax 满足对任意 12 xx，都有 12 12 0 f xf x xx 成立，那么 a 的取值范围是（） A1,2)B(1,2)C 3 ,2 2 D 3 ,2 2 9函数 2 43 ( )2 xx f x 的单调递增区间为（） A(,2)B(1,2) C
3、(2,3)D(2,) 10下列函数中，满足“对任意 12 (0,)xx ，当 12 xx时， 12 ()()f xf x”的是 （） A 1 ( )f x x B 2 ( )f xxC( )2f xxD( )2xf x 11已知函数 21 ( ) 21 x x f x - = + ，若不等式 2 22180 k fmmfme（e 是自 然对数的底数） ，对任意的2,4m 恒成立，则整数 k 的最小值是（） A5B4C3D2 12已知函数 2 1 (1)3 ,(1) ,(1) x axaxa x f x ax 是定义域上的递减函数，则实数 a 的 取值范围是（） A 2 ,1 5 B 2 0,
4、5 C 2 2 , 5 3 D 2 ,1 3 二、填空题二、填空题 13若函数( )2 x m f xa （0a 且1a ）图象过定点2,n，则 1 3 3 3 2 n m _. 14函数 2 2 1 ( ) 2 xx f x 的值域为_ 15已知 21 (31)4 ,1, ( ) 1 ,1 2 x axa x f x ax 满足对于任意实数 12 xx，都有 12 12 0 f xf x xx 成立，则实数 a 的取值范围是_. 16对于函数 fx定义域中任意的 1 x、 212 xxx，有如下结论： 1212 f xxf xf x； 1212 f xxf xf x； 1212 0 xxf
5、xf x ； 12 12 22 f xf xxx f 当 2xf x 时；上述结论正确的是_ （写出所有正确的序号） 三、解答题三、解答题 17化简下列各式： （1） 2 2.5 3 1 0 5 3 3 0.0643 8 ； （2）已知 1 1x x ，且0 x ，求 12 2 1 2 1 xxx x x xx 的值 18已知函数 f(x) 3 31 x x a 为奇函数 （1）求 a 的值； （2）判断函数 f(x)的单调性，并加以证明 19已知函数 2xfxm的图象经过点1,1. （1）求实数 m 的值； （2）求函数 fx的值域； （3）画出函数 2()2yf xx 的图象. 20已知
6、x f xka（ka，为常数，0a 1a 且）的图像过点01 ,38AB ,. （1）求 fx的解析式； （2）若函数 g x 1 1 f x f x ，试判断 g x的奇偶性并给出证明. 21已知定义域为R的函数 1 xx f xaka（0a 且1a ）是奇函数. （1）求实数k的值； （2） 若 10f， 求不等式 2 40f xtxfx对任意的1,2x恒成立时t的 取值范围. 22已知函数( )421() xx f xaaR . （1）当1a 时，求 ( )f x的值域； （2）若 ( )f x在区间 1,0的最大值为 1 4 ，求实数a的值. 参考答案参考答案 1C 【分析】 根据指数
7、函数恒过定点(0,1)，即可求得P的坐标. 【详解】 解：令20 x ， 解得：2x ， 0 ( 2)211fa ， ( )f x恒过定点2, 1. 故选：C. 2C 【分析】 根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项. 【详解】 对于 A， 3 3 327aa ，故 A 错. 对于 B， 235 aaa ，故 B 错. 对于 C， 22 363 8( 2)8aaa ，故 C 正确. 对于 D，325aaa，故 D 错误. 故选：C. 【点睛】 本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题. 3B 【分析】 算出, ,a b c后可得它们的大小. 【详解】 4 0.20
8、.0016a ， 2 0.30.09b ， 3 0.40.064c ， bca， 故选 B 【点睛】 本题考查指数幂的大小比较，属于容易题. 4B 【分析】 利用完全平方公式求得 22 ab ，再由立方和公式求得 33 ab. 【详解】 由8ab两边平方得 2222 264,64264460aabbabab， 所以 3322 8602464ababaabb . 故选：B 【点睛】 本小题主要考查立方和公式、完全平方公式，属于基础题. 5D 【分析】 先化简集合,A B,再求AB得解. 【详解】 由题得 | 12,(0,)AxxB , 所以0,2AB. 故选：D 【点睛】 本题主要考查一元二次不
9、等式的解法，考查指数函数的值域，考查集合的交集运算，意在考 查学生对这些知识的理解掌握水平. 6D 【分析】 利用分数指数幂的运算法则直接计算出结果. 【详解】 因为 3 3 43 4 4 3 1622127 81338 2 3 ， 故选：D. 7D 【分析】 讨论a的范围根据指数函数的单调性可列式求解. 【详解】 当01a时， x ya在 1,1x 单调递减， 则 1 8 3 aa ， 解得3a （舍去） 或 1 3 a ； 当1a 时， x ya在 1,1x 单调递增，则 1 8 3 aa，解得 1 3 a （舍去）或3a ， 综上，3a 或 1 3 . 故选：D. 8C 【分析】 由分段
10、函数 (2)11 ( ) 1 x a xx f x ax 递增，则每一段都为增函数，且1x 右侧函数值不 小于左侧的函数值求解. 【详解】 因为对任意 12 xx都有 12 12 0 f xf x xx 成立， 所以 fx单调递增， 20 1 3 a a aa ， 解得 3 ,2 2 a 故选：C 9B 【分析】 根据复合函数单调性“同增异减”的判断原则，结合二次根式有意义的条件，即可求得 f(x)的 单调递增区间 【详解】 由复合函数单调性判断可知： 指数部分底数大于 1，所以为增函数， 所以要求 2 g x43xx的增区间即可 令 2 43h xxx ， 由二次函数单调性及二次根式有意义的
11、条件可知 12x， 即 2 43 ( )2 xx f x 的单调增区间为1,2，也可写做(1,2). 故选：B 10A 【分析】 对任意 12 (0,)xx ， 当 12 xx时， 根据, ,A B C中的解析式作差分析可知A正确，,B C 不正确，根据指数函数的单调性可知D不正确. 【详解】 对任意 12 (0,)xx ，当 12 xx时， 对于A， 21 12 1212 11 ()()0 xx f xf x xxx x ，即 12 ()()f xf x，故A正确； 对于B， 12 ()()f xf x 22 121212 ()()xxxxxx0， 即 12 ()()f xf x， 故B不正
12、确； 对于C， 12 ()()f xf x 12 22xx 12 12 (2)(2) 22 xx xx 12 12 22 xx xx 0，即 12 ()()f xf x，故C不正确； 对于D，因为2xy 为增函数，所以当 12 xx时， 12 ()()f xf x，故D不正确. 故选：A 【点睛】 关键点点睛：根据解析式作差分析是解题关键. 11B 【分析】 先由函数 21 ( ) 21 x x f x - = + 的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，然后利用其奇偶性和单调 性将 2 22180 k fmmfme对任意的2,4m 恒成立，转化为 2 2101 k emm 对任意的2,4m 恒成
13、立求解. 【详解】 因为函数 21 ( ) 21 x x f x - = + 的定义域为 R，关于原点对称， 又 2121 ()( ) 2121 xx xx fxf x 所以 ( )f x是奇函数， 又 2121 22 ( )1 212121 xx xxx f x 在 R 上是增函数， 所以 2 22180 k fmmfme对任意的2,4m 恒成立，等价于： 2 2218 k fmmfme对任意的2,4m 恒成立， 即 2 2218 k fmmfme对任意的2,4m 恒成立， 即 2 2218 k mmme 对任意的2,4m 恒成立， 即 2 2101 k emm对任意的 2,4m 恒成立，
14、令 2 2101tmm，因为 2,4m ，所以 max 29t， 所以 29 k e 解得ln29k ， 所以整数 k 的最小值是 4 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题关键是将函数解析式转化为 2121 22 ( )1 212121 xx xxx f x ，判断 其单调性，进而结合奇函数，利用单调性的定义求解. 12B 【分析】 由指数函数的单调性知01a，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与 1 比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于 a 的不等式，解不等式即可得到实数 a 的取值范围 【详解】 函数 2 1 (1)3 ,(1) ,(1) x axaxa x f x a
15、x 是定义域上的递减函数， 当1x 时， 1x f xa 为减函数，故01a； 当1x时， 2 (1)3f xaxaxa为减函数，由1a ，得10a ，开口向下，对称 轴为 1 2(1) a x a ，即2(1)aa ，解得 2 3 a ； 当1x 时，由分段函数单调性知， 21 1 (1) 11 3aaaa ，解得 2 5 a ； 综上三个条件都满足，实数 a 的取值范围是 2 0, 5 故选：B. 【点睛】 易错点睛：本题考查分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个 定义域上为减函数，则在分界点处（1x ）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值， 考查学生的分析能力与
16、运算能力，属于中档题. 13 7 9 【分析】 由指数函数的性质可得 2 3 m n ，再由指数幂的运算法则即可得解. 【详解】 因为 0 ()223 m m fmaa ，所以函数 ( )f x的图象过定点 ,3m， 所以 2 3 m n 即 2 3 m n ， 所以 2 11 33 3 33417 33 22939 n m . 故答案为： 7 9 . 140,2 【分析】 首先求出 2 2xx 的范围，然后结合指数函数的图象可得答案. 【详解】 因为 2 2 2111xxx ，所以 2 2 1 ( )0,2 2 xx f x 故答案为：0,2 15 1 1 , 4 3 【分析】 由函数单调性
17、的定义可得函数 ( )f x在 R 上单调递减，由分段函数的单调性结合指数函数的 单调性即可得解. 【详解】 因为对于任意实数 12 xx，都有 12 12 0 f xf x xx 成立， 所以函数 ( )f x在 R 上单调递减， 所以 2 1 310 01 1 (31)4 2 a a aaa ，解得 11 43 a， 所以实数 a 的取值范围是 1 1 , 4 3 . 故答案为： 1 1 , 4 3 . 16 【分析】 根据指数幂的运算法则判断；采用举例子的方法判断；根据指数函数的单调性判断； 利用指数幂的运算并采用作差法判断. 【详解】 对于：因为 121212 1212 2,222 x
18、xxxxx f xxf xf x ，所以 1212 f xxf xf x，故正确； 对于：取 12 1,2xx，所以 1212 24,246f x xff xf x，所以 1212 f xxf xf x不恒成立，故错误； 对于：因为 2xf x 是R上的增函数，所以 1212 0 xxf xf x ，故错 误； 对于：因为 1212 12 12 2 22 2,= 222 xxxx f xf xxx f ，且 121212121212 222 22 2 2222 24 222 20 242 xxxxxxxxxxxx ， 所以 12 12 22 f xf xxx f ，故正确， 所以正确的有：，
19、故答案为：. 【点睛】 结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知 12 ,x xD（D为函数定义域） ，且 12 xx，都有 1212 0 xxf xf x 或 12 12 0 f xf x xx 成立，则 fx为单调递增函数； （2）已知 12 ,x xD（D为函数定义域） ，且 12 xx，都有 1212 0 xxfxfx 或 12 12 0 f xf x xx 成立，则 fx为单调递增函数. 17 （1）0； （2）1 【分析】 （1）利用指数的运算性质即可求解. （2） 1 1x x ，且0 x ，可得 2 1xx ，将原式因式分解、通分、化简即可求解. 【详解】 （
20、1） 2 1 2.5 3 12 3 00.5 53 3 32713 0.06430.064110 880.42 （2）由 1 1x x ，且0 x ，可得 2 1xx ， 11 22 112 22 11 22 11 xxxx xxxx xx xx xxxx 1 2 2 2 1 1 111 xxx xx xxx xx 18 （1）a1； （2）函数 f(x)在定义域 R 上单调递增，详见解析 【分析】 （1）根据定义域为 R 的奇函数满足 f(0)0 即可求得结果； （2）由定义法知，当 x1x2时，f(x1)f(x2)，故可证得结果. 【详解】 （1）因为函数 f(x)是奇函数，且 f(x)的
21、定义域为 R，所以 f(0) 1 1 1 a 0，所以 a1，经 检验满足题意. （2）f(x) 31 31 x x 1 2 31 x ，函数 f(x)在定义域 R 上单调递增 理由：设任意的 x1，x2，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) 12 12 2 33 31 31 xx xx . 因为 x1x2，所以 12 33 xx ，所以 12 33 xx 0， 所以 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在定义域 R 上单调递增 【点睛】 本题考查指数型复合函数的基本性质， 要求学生会根据函数的奇偶性求参数以及利用定义法 证明函数的单调性，属基础题. 19 （1）1m ； （2）1,
22、； （3）答案见解析. 【分析】 （1）点(1,1)代入( )2xf xm可得结果； （2）利用2 0 x 可得结果； （3）根据解析式作图即可. 【详解】 （1）点(1,1)代入( )2xf xm得： 121fm，所以1m . （2） 由 （1） 知 21 x f x ， 因为2 0 x ， 所以 1f x ， 故函数 ( )f x的值域为 1, （3）如图： 【点睛】 关键点点睛：第二问根据2 0 x 求出值域是解题关键. 20 （1） 2 x f x ； （2）奇函数；证明见解析. 【分析】 （1）将 A，B 两点代入函数即可求出, k a，得出解析式； （2）根据定义即可判断其奇偶性.
23、 【详解】 解： （1） x f xka的图像过点01 ,38AB , 3 01 38 fk fka ，解得12ka，故 2 x f x ； （2）由（1）知 g x 12112 12112 xx xx fx fx ， 则 g x的定义域为 R，关于原点对称， 且 211 2 211 2 xx xx gxg x 故 g x为奇函数. 21 （1）2k ； （2） , 4 . 【分析】 （1）由(0)0f求出k值，代入检验 ( )f x是奇函数即可； （2）由(1)0f得01a，确定函数 ( )f x是R上的减函数，利用奇函数与减函数的性质 可把不等式变形为 2 4xtxx ，然后根据一元二次不
24、等式在给定区间上恒成立，即可得 结论 【详解】 （1） fx是定义域为R的奇函数， 00 01110fakak ， 2k ， 经检验：2k 时， xx f xaa（0a 且1a ）是奇函数.故2k ； （2） xx f xaa（0a ，且1a ） ， 因为 10f，所以 1 0a a ，又0a ，且1a ，所以01a， 而 x ya在R上单调递减， x ya在R上单调递增， 故判断 xx f xaa在R上单调递减， 不等式化为 2 4fxtxfx，所以 2 4xtxx ， 所以 2 140g xxtx对1,2x恒成立， 可得 140gt ， 2260gt解得4t . 综上：t的取值范围为 ,
25、4 . 【点睛】 关键点点睛： 本题的解题关键是由奇偶性与单调性把问题转化为一元二次不等式再给定区间上恒成立的 问题，利用二次函数的性质，即可得解. 22 （1） 3 , 4 ； （2） 3a . 【分析】 （1）令20, x t ，可得 2 1ytt ，利用二次函数的性质可求出； （2）令 1 2,1 2 x t ，可得 2 1ytat ，讨论对称轴 2 a t 的取值范围结合二次函数 的性质即可求出. 【详解】 （1） 2 ( )421221 xxxx f xaa . 令20, x t ， 2 1ytat ， 1a 时， 2 2 13 1 24 yttt 在 1 0, 2 上单调递增，在
26、1 , 2 上单调递减. 当 1 2 t 时， max 3 4 y ， 3 , 4 y ， 所以 ( )f x的值域为 3 , 4 . （2）令 1 2,1 2 x t ， 2 22 1 11 24 a ytatta ， 其图象的对称轴为 2 a t . 当 1 22 a ，即1a 时，函数y在区间 1 ,1 2 上单调递减， 当 1 2 t 时， max 111 1 424 ya ，解得2a ，与1a 矛盾； 当1 2 a ，即2a 时，函数y在区间 1 ,1 2 上单调递增， 当1t 时， max 1 11 4 ya ，解得 7 4 a ，与2a 矛盾， 当 1 1 22 a ，即12a时，函数y在 1 , 2 2 a 上单调递增，在,1 2 a 上单调递减. 当 2 a t 时， 2 max 11 1 44 ya ，解得 3a ，舍去 3a ； 综上， 3a . 【点睛】 思路点睛：求二次函数在闭区间, a b的最值的思路； （1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和 2 ab 的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在,aa bb三个区 间的范围求解.
