1、北师北师大新版数学必修第一册第大新版数学必修第一册第五章函数的应用基础测试题五章函数的应用基础测试题 一、单选题一、单选题 1函数 2 28f xxx零点是（） A2和4B2和4C2,0和4,0D2,0和 4,0 2下列函数中，没有零点的是（） A 2 ( )log7f xxB =1f xx C 1 f x x D 2 f xxx 3为了求函数( )237 x f xx的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数 ( )f x的部分对应值，如表所示： x 1.251.31251.3751.43751.51.5625 ( )f x 0.87160.57880.28130.21010.32843
2、0.64115 则方程237 x x 的近似解（精确到 0.1）可取为（） A1.2B1.3C1.4D1.5 4把函数 2 ( )logf xx的图像向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后得到函数 ( )g x的图像，则函数( )g x的零点是（） A3B5C 3 4 D 5 4 5方程 3 log30 xx的根所在区间是（） A1,2B0,2 C2,3D3,4 6 若 32 ( )22f xxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如 下表： (1)2f (1.5)0.625f (1.25)0.984f (1.375)0.260f (1.438)0.165f(1.4065
3、)0.052f 那么方程 32 220 xxx 的一个近似根（精确到 0.1）为（） A1.2B1.3C1.41D1.5 7函数 34 x fxx的零点所在的区间是（） A( 2, 1)B( 1,0)C(0,1)D(1,2) 8某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留 量y（单位：毫克）与时间x（单位：小时）的关系进行研究，为此收集部分数据并 做了初步处理，得到如下散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关 系，则应选用的函数模型是（） AyaxbB 1 4 x yab C0 a yxb aD 0,0 b yaxab x 9已知函数 ,0 ln ,0
4、 x ex f x x x ， g xf xa，若 g x恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是（） A1,0B1,0C0,1D0,1 10某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg/LP与时间 h t间的关系为 0 kt PPe，如果在前 5 个小时消除了20%的污染物，则污染物减少 50%需要花多少时间(精确到1h(参考数据：ln20.69，ln102.30)（） A13hB15h C18hD20h 11 若函数 ( )f xaxb 的零点是2（0a ） ， 则函数 2 ( )g xaxbx的零点是 （） A2B2和0C0D2和0 12在平面直角坐标系中直线2yx与
5、反比例函数 k y x 的图象有唯一公共点，若 直线y xm 与反比例函数 k y x 的图象有2个公共点，则 m 的取值范围是（） A2mB22m C2m D2m或2m 二、填空题二、填空题 13函数 2 514yxx的零点是_. 14若函数( )221,1,1 ,f xaxax 值有正有负，则实数 a 的取值范围为 _ 15如图，一个长为 5，宽为 3 的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角 是一个边长为 x 的正方形，则阴影部分面积的最小值为_. 16某人根据经验绘制了 2018 年春节前后，从 12 月 21 日至 1 月 8 日自己种植的西红 柿的销售量 y(千克)随时间
6、x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 12 月 26 日大约 卖出了西红柿_千克. 三、解答题三、解答题 17求下列函数的零点 （1） 43f xx； （2） 2 23f xxx 18已知关于x的方程 22 210 xkxk有两个实数根 12 ,x x （1）求k的取值范围； （2）若 1212 1xxx x，求k的值 19已知函数 2 ( )log (1)f xxa （1）求该函数的定义域； （2）若该函数的零点为 x=3，求 a 的值. 20已知一次函数 ( )f x满足(3)3 (1)4ff ，2 (0)( 1)1ff （1）求这个函数的解析式； （2）若函数 2 ( )( )g
7、xf xx，求函数( )g x的零点 21 设矩形ABCD ABAD的周长为24m， 把ABC沿AC向ADC折叠，AB 折过去后交DC于P，设ABxcm，ADP的面积为 fx （1）求 fx的解析式及定义域； （2）求 fx的最大值 22已知函数 4,0 log,0 a xx f x x x 且点4,2在函数 fx的图象上 （1）求函数 fx的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数 fx的图象； （2）求不等式 1f x 的解集； （3）若方程 20f xm有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围 参考答案参考答案 1B 【分析】 解方程 0f x ，即可得出函数 fx的零点. 【详解】 解方
8、程 0f x ，即 2 280 xx ，解得2x 或4x . 因此，函数 2 28f xxx的零点是2和4. 故选：B. 2C 【分析】 分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 A 选项，由 2 ( )log70f xx可得 7 2x ，即函数 2 ( )log7f xx有零点； B 选项，由 =10f xx 得1x ，即函数 =1f xx 有零点； C 选项，由 1 0f x x 解得，x不存在，即函数 1 f x x 没有零点； D 选项，由 2 0f xxx解得1x 或0，即函数 2 f xxx有零点. 故选：C. 3C 【分析】 根据二分法结合零点存在定理求解. 【详
9、解】 因为(1.375)0,(1.4375)0ff， 所以方程的解在区间1.375,1.4375内， 又精确到 0.1， 所以可取 1.4 故选：C 4A 【分析】 根据平移变换得到( )g x，令( )g x0，解方程可得结果. 【详解】 依题意得 2 ( )log (1)2g xx， 由( )0g x 得 2 log (1)2x ，得14x ，得3x . 故选：A 【点睛】 关键点点睛：掌握函数零点的概念是本题解题关键. 5C 【分析】 设 3 log3f xxx，利用函数的零点存在定理可得出结果. 【详解】 设 3 log3f xxx，可知函数 fx为0,上的增函数， 由于 333 2l
10、og 2 1log 2log 30f ， 3 3log 310f ， 由零点存在定理可知，方程 3 log30 xx的根所在区间是2,3. 故选：C. 【点睛】 本题考查利用函数的零点存在定理判断方程的根所在的区间，在解题时可分析函数的单调 性，便于确定函数的零点个数，考查计算能力，属于基础题. 6C 【分析】 利用零点存在性定理，判断根的较小区间，即可求得近似解. 【详解】 因为(1.438)0.1650f，(1.4065)0.0520f ， (1.438)(1.4065)0ff， 所以方程的近似根在1.4065,1.438，则近似根为1.41 故选：C 7B 【分析】 结合题中选项，分别计
11、算函数值，根据函数零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】 易知函数 34 x fxx是增函数，且 1 ( 1)430f ， 010f ， 由函数零点存在性定理可得，函数 34 x fxx的零点所在的区间是( 1,0). 故选：B. 【点睛】 方法点睛： 在判定函数零点所在区间时， 一般根据函数零点存在性定理来判断， 要求学生要熟记零点存 在性定理；另外，在根据判断函数零点时，有时也需要结合函数单调性进行判断. 8B 【分析】 利用散点图的分布结合函数的单调性可选择合适的选项. 【详解】 由散点图可知，函数在0,上单调递减，且散点分布在在一条曲线附近， 函数yaxb的图象为一条直线，不合乎题意
12、； 函数 1 4 x yab 的图象为一条曲线，且当0a 时，该函数单调递减； 函数0 a yxb a在区间0,上单调递增，不合乎题意； 由双勾函数的单调性可知，函数0,0 b yaxab x 在区间0, b a 上单调递减，在区 间, b a 上单调递增，不合乎题意. 故选：B. 9B 【分析】 利用数形结合的方法，作出函数 fx的图象，简单判断即可. 【详解】 依题意，函数 yf x的图象与直线y a 有两个交点， 作出函数图象如下图所示， 由图可知，要使函数 yf x的图象与直线y a 有两个交点，则01a ，即 10a . 故选：B. 【点睛】 本题考查函数零点问题， 掌握三种等价形式
13、： 函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个 函数图象交点个数，属基础题. 10B 【分析】 由题知， 5 00 (120%) k PPe，可解得k的值，再把 0 0.5PP代入 0 kt PPe中，结合指 数和对数的运算法则即可得解. 【详解】 解：前 5 个小时消除了20%的污染物， 5 00 (120%) k PPe，即 0.8 5 ln k ， 当污染物减少50%时， 00 (1 50%)0.5PPP， ln0.8 5 00 0.5 t PPe ， 5ln0.55ln25 0.69 15 ln0.83ln2ln103 0.692.30 t . 故选：B. 【点睛】 本题考查函数的实际应
14、用， 主要涉及指数和对数的运算法则，考查学生的逻辑推理能力和运 算求解能力，属于基础题. 11B 【分析】 首先根据 fx的零点是2求得, a b的关系式，对 g x因式分解，由此求得 g x的零点. 【详解】 由条件知(2)0f，2ba ， 2 ( )(2)g xaxbxax x的零点为0和2. 故选 B. 【点睛】 本小题主要考查函数零点的知识运用，属于基础题. 12D 【分析】 先用判别式求得k，然后用判别式列不等式，解不等式求得m的取值范围. 【详解】 由于直线2yx与反比例函数 k y x 的图象有唯一公共点， 即 2yx k y x 有唯一解，消去y得 2 2,20 k xxxk
15、x ， 440,1kk . 直线y xm 与反比例函数 1 y x 的图象有2个公共点， 即 1 yxm y x 由两个不同的解，消去y得 1 xm x ， 2 1 0 xmx ， 2 40m ，解得2m 或2m. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查函数图象交点个数求参数，属于基础题. 137或2 【分析】 解方程 2 5140 xx 即可得答案. 【详解】 解：解方程 2 514720 xxxx得7x 或2x . 所以函数 2 514yxx的零点是7或2 故答案为：7或2. 14 1 , 4 【分析】 先考虑0a 的情况，再考虑0a 时，由( 1)(1)0ff求解. 【详解】 当0a 时，(
16、 )1f x ，不成立； 当0a 时，( 1)(1)0ff，即221 2210aaaa， 解得 1 4 a ， 故答案为： 1 , 4 157 【分析】 由题可得 2 227Sx，利用二次函数性质即可求解. 【详解】 解析：设阴影部分的面积为S，其中03x 则 2 22 (5)(3)2815227Sxxxxxx 当2x 时，S有最小值为 7. 故答案为：7. 16 190 9 【分析】 利用待定系数法先求出前 10 天的解析式，然后令 x6，即可求出 12 月 26 日卖出西红柿的 数量 【详解】 前 10 天满足一次函数，设 f（x）ax+b， 将点（1，10） ， （10，30）代入函数解
17、析式 得 10 1030 ab ab ，得 a 20 9 ，b 70 9 ， 则 f（x） 20 9 x 70 9 ， 则在 12 月 26 日，即当 x6 时，f（6） 20 9 6 70190 99 故答案为： 190 9 17 （1） 3 4 ； （2）3和1 【分析】 （1）解方程 0f x ，可得函数 yf x的零点； （2）解方程 0f x ，可得函数 yf x的零点. 【详解】 （1）由 430fxx，得 3 4 x ，所以函数 yf x的零点是 3 4 ； （2）由于 2 2313fxxxxx ，因此方程 0f x 的根为3、1， 故函数 yf x的零点是3和1 【点睛】 本题
18、考查函数零点的求解，考查计算能力，属于基础题. 18 （1） 1 , 2 ； （2）3 【分析】 （1）依题意，得0 ，解出即可； （2）由韦达定理得， 12 21xxk， 2 12 x xk，再根据第一问的结论代入即可求出答 案 【详解】 解： （1）依题意，得 2 2 414480kkk ，解得 1 2 k ， k的取值范围是 1 , 2 ； （2）由韦达定理得， 12 21xxk， 2 12 x xk， 由 1 2 k 得， 12 210 xxk， 由 1212 1xxx x得， 1212 1xxx x， 即 2 211kk，即310kk， 解得3k ，或1k （舍） ， 3k 【点睛】
19、 本题主要考查一元二次方程的应用，属于基础题 19 （1）1, （2）2a 【分析】 （1）要使函数有意义，则需10 x ，求解即可； （2）由该函数的零点为 x=3，可得(3)0f，求解即可得解. 【详解】 解： （1）要使函数有意义，则需10 x ，即1x ， 即该函数的定义域为1, ； （2）由该函数的零点为 x=3， 即 2 (3)log (31)0fa， 即20a， 故2a . 【点睛】 本题考查了函数定义域的求法，重点考查了函数的零点，属基础题. 20 （1）( )32f xx（2）零点是 2 和 1 【分析】 （1）设( ),(0)f xkxbk，代入数据得到解得答案. （2）函
20、数 2 ( )32g xxx，当( )0g x 时解得答案. 【详解】 解： （1）设( ),(0)f xkxbk 由条件得： 33()4 2()1 kbkb bkb ，解得 3 2 k b ， 故( )32f xx； （2）由（1）知 2 ( )32g xxx，即 2 ( )32g xxx ， 令 2 320 xx ，解得2x 或1x ， 所以函数( )g x的零点是 2 和 1 【点睛】 本题考查了一次函数，函数的零点，意在考查学生的计算能力. 21 （1） 172 1212612 2 f xxx x （2） fx的最大值为108 72 2 . 【分析】 （1）利用周长，可以求出AD的长，
21、利用平面几何的知识可得DPPB，再利用勾股定 理，可以求出DP的值，由矩形ABCD ABAD的周长为24m，可求出x的取值范围， 最后利用三角形面积公式求出 fx的解析式； （2）化简（1） fx的解析式，利用基本不等式，可以求出 fx的最大值 【详解】 （1）如下图所示： 设ABx，则12ADx， 又,DPPBAPABPBABDP， 即APxDP， 22 2 12xPDxPD，得 72 12PD x ， ABAD， 612x， ADP的面积 1172 1212612 22 f xAD DPxx x （2）由（1）可得， 17272 12121086) 2 (f xxx xx 1086 2 7
22、210872 2 ， 当且仅当 72 x x ，即 6 2x 时取等号， fx的最大值为108 72 2 ，此时 6 2x 【点睛】 本题考查了求函数解析式，考查了基本不等式，考查了数学运算能力. 22 （1） 2 4,0 log,0 xx f x x x ，图像见解析（2）, 30,2 U（3）,2 【分析】 （1）将点( ) 4,2代入 logafxx中,即可求解的值,进而求得函数 fx的解析式,画出函 数 f（x）的图象. （2）分为0,0 xx两种情况分别求解不等式 1f x ,再取并集即可得不等式 1f x 的解集. （3）欲求满足方程 20f xm有两个不相等的实数根的取值范围,可
23、使函数 yf x 与2ym有两个不同的交点,画出二者的图象即可判断出实数m的取值范围. 【详解】 解： （1）由 fx的图象经过点( ) 4,2, 可得log 42 a ,即 2 4a ,解得2a , 则 2 4,0 log,0 xx f x x x , 函数 fx的图象如下图： （2） 1f x 即为 0 41 x x 或 2 0 log1 x x , 即3x 或02x, 则解集为, 30,2 U； （3） 20f xm有两个不相等的实数根, 即有 yf x的图象和直线2ym有两个交点, 由图象可得24m,即2m, 可得m的取值范围是,2 【点睛】 本题主要考查函数的概念与图象、对数与对数函数、函数与方程以及一次函数和二次函数.
