1、2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 激趣诱思知识点拨 利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以 描绘出心电图,如图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形 态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等). 如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,可以得出v是t的函数 吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示? 激趣诱思知识点拨 一、函数的表示法 常用的函数的表示方法有三种: ,具体 如下. 列表法、图象法和解析法 激趣诱思知识点拨 名师点评 由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张 表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对 应的
2、唯一的函数值y. 激趣诱思知识点拨 微练习 观察下表: 则f(f(-1)-g(3)=() A.-4 B.-3 C.3 D.5 答案:D 解析:由题表知,f(-1)=-1,g(3)=-4,所以f(f(-1)-g(3)=f(3)=5. 激趣诱思知识点拨 二、函数的图象 1.定义 一般地,将函数y=f(x),xA中的自变量x和对应的函数值y,分别看成 平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成 的集合F称为函数的图象,即F=(x,y)|y=f(x),xA.这就是说,如果F 是函数y=f(x)的图象,则图象上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关 系y=f(x);反之,满足函数关系
3、y=f(x)的点(x,y)都在函数图象F上. 激趣诱思知识点拨 (3)利用常见函数图象作出所求函数的图象 已学过的常见函数图象有:常值函数的图象,如f(x)=1的图象为一 条平行于x轴的直线;一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一 条经过第一、二、四象限的直线;二次函数的图象,如f(x)=2x2- x+1的图象是一条开口向上的抛物线;对于反比例函数f(x)= (k0, 且k为常数),当k0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中 心的双曲线,当k0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中 心的双曲线. 2.函数图象的作法 (1)函数图象的特征 函数图象既可以是连续的曲线,也可
4、以是直线、折线、离散的点等. (2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域) 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 名师点析 1.从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有 点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并 不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的 点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法. 2.图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影所表 示的区间为值域. 激趣诱思知识点拨 微思考 如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则. 提示:检验法则:过图形上任意一点作与x轴垂直的直线,若所有直线 与图形都
5、只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不 是函数的图象. 激趣诱思知识点拨 微练习 如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为 (0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(0)=() A.2 B.4 C.0 D.3 答案:C 解析:结合图象可得f(0)=4,f(4)=2,f(2)=0, 则f(f(f(0)=f(f(4)=f(2)=0. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 列表法表示函数列表法表示函数 例1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: 则f(g(1)=;当g(f(x)=2时,x=. 分析这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应
6、 的值即可. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象 时所列的表,它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不 需要计算. 答案:11 解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3, f(g(1)=f(3). 由f(x)的对应表,知f(3)=1,f(g(1)=f(3)=1. 由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2. 又g(f(x)=2,f(x)=2. 又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.x=1. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究在本例已知条件下,g(f(1)=;当f(g(x)=2时,x= . 答案:23 解
7、析:f(1)=2,g(f(1)=g(2)=2. f(g(x)=2,g(x)=1,x=3. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 求函数的解析式求函数的解析式 例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x). (2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式. (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x). 分析(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可 得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此 还可以将f(x+
8、1)=x2-3x+2变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6. (2)设出f(x)=ax2+bx+c(a0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的 值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组 即可. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1. 将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2, 得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, f(x)=x2-5x+6. (方法二)f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6, f(x)
9、=x2-5x+6. (2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a0). f(0)=1,c=1,则f(x)=ax2+bx+1. f(x+1)-f(x)=2x对任意的xR都成立, a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (3)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2, 将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟求函数解析式的四种常用方法 1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x)的解析式,直接将g(x) 代入. 2.待
10、定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数 类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程 (或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式. 3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解 析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x) 中求出f(t),从而求出f(x). 4.消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个 变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的 关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去 一个变量,得到目标变量的解析式. 探究一探究二探究三
11、素养形成当堂检测 变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=2x-1,求f(x)的解析式. 解:(1)f(x)为一次函数, 可设f(x)=ax+b(a0). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 函数的图象及应用函数的图象及应用 例3作出下列函数的图象,并求其值域: (1)y=1-x(xZ); (2)y=2x2-4x-3(0 x0)或向右(a0)或向下(a0)的图象沿y轴 翻折到y轴左侧,函数y=f(x)(x0)的图象不变,即可得到函数y=f(|x|) 的图象. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 典例1已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=
12、f(1-x)的图象为() 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 图象.即将函数y=f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y=f(- x)的图象,再将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(1-x) 的图象. 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 典例2作出函数f(x)=|x2-4x-5|在区间-2,6上的图象. 解:先作出二次函数y=x2-4x-5的图象,再把图象在x轴下方的部分沿x 轴翻折到x轴上方,保留x轴上及其上方的部分,并保留在区间-2,6 上的部分,如图所示. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函
13、数的解析式为( ) A.f(x)=-xB.f(x)=x-1 C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1 答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后 来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好 的图象是() 答案:C 解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D, 首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表: 则g(f(g(-1)的值为() A.1B.0 C.-1D.无法确定 答案:C 解析
14、:g(-1)=1, 则f(g(-1)=f(1)=0, 则g(f(g(-1)=g(0)=-1. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.若一个长方体的高为80 cm,长比宽多10 cm,则这个长方体的体积 y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数解析式是 . 答案:y=80 x(x+10),x(0,+) 解析:由题意可知,长方体的长为(x+10)cm,从而长方体的体积 y=80 x(x+10),x0. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.已知函数f(x)=x2-2x(-1x2). (1)画出f(x)的图象; (2)根据图象写出f(x)的值域. 解:(1)f(x)的图象如图所示. (2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是 -1,3,故f(x)的值域是-1,3.
