1、4指数函数、幂函数、对数函数增长 的比较 * *5信息技术支持的函数研究 激趣诱思知识点拨 一家世界500强公司曾经出过这样的一道面试题: 现在有一套房子,价格200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固 定能一共攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款,收入不增加 的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子? A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远买不起 房子每年的价格满足什么函数关系?这个人每年的收入之和满足 什么函数关系?你能给出这道题的答案吗? 激趣诱思知识点拨 指数函数、幂函数、对数函数增长速度的比较 1.幂函数与对数函数增长速度的比较 幂函数y=xc(x0,c0)
2、比对数函数y=logbx(b1)增长快,而且快很多. 当b1,c0时,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增长 快. 2.指数函数与幂函数增长速度的比较 当x的值充分大时,指数函数y=ax(a1)比幂函数y=xc(x0,c0)增长 快,而且快很多.当a1,c0时,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比 y=xc增长快. 激趣诱思知识点拨 名师点析1.对数函数y=logbx(b1)在区间(0,+)上,随着x的增长,增 长的越来越慢,图象渐渐地接近与x轴平行,尽管在x的一定变化范围 内,logbx可能会大于xc,但是由于logbx的增长慢于xc的增长,因此总存 在一个x0
3、,当xx0时就会有logbx1)和幂函数y=xc(x0,c0),在区间(0,+)上, 无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax 的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxc. 3.当底数a1时,由于指数函数y=ax的值增长非常快,人们称这种现 象为“指数爆炸”. 激趣诱思知识点拨 微探究 (1)画出一次函数y=2x,对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象,并比 较它们的增长差异; (2)试着概括一次函数y=kx(k0),对数函数y=logbx(b1)和指数函数 y=ax(a1)的增长差异; (3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数
4、爆炸”的含义. 激趣诱思知识点拨 答案:(1) y=2x的图象在(0,+)上匀速上升; y=2x的图象在(0,+)上上升越来越快; y=log10 x的图象在(0,+)上上升越来越慢. (2)y=kx(k0)的图象在(0,+)上匀速上升; y=logbx(b1)的图象在(0,+)上增长越来越慢; y=ax(a1)的图象在(0,+)上增长越来越快. (3)直线上升匀速上升,对数增长缓慢增长,指数爆炸增长越 来越快. 激趣诱思知识点拨 微判断 (1)y=ax(a1),y=xn(x0,n1)和y=logax(a1)都是增函数,且它们的 增长速度是一样的.() (2)指数函数一定比对数函数增长的快.(
5、) 答案: (1)(2) 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 函数增长快慢的比较函数增长快慢的比较 例1已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图, 设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数; (2)若x1a,a+1,x2b,b+1,且a,b1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,指 出a,b的值,并说明理由. 分析(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线所对应的 函数;(2)通过计算比较函数值的大小关系,求出a,b的
6、值. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2 对应函数f(x)=2x. (2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当 xx3,即f(x)g(x); 当x1xx2时,f(x)x2时,f(x)g(x). 因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8, 所以x11,2,即a=1. 又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512, f(8)g(8),f(9)=29=512, g(9)=93=729,f(9)g(10),所以x29,10,即 b=9.综上可知,a=1,b=9.
7、探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、 对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图 象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计 算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1(1)下列所给函数,增长最快的是() A.y=5x B.y=x5 C.y=log5xD.y=5x (2)以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表: 其中符合指数函数变化的函数是. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案: (1) D (2)y1 解析:(1)在一次
8、函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快 的是指数函数y=5x,故选D. (2)通过观察、猜想、归纳,函数y1符合指数函数的变化. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 根据函数的不同增长特点比较大小根据函数的不同增长特点比较大小 例2比较下列各组数的大小: 分析先观察各组数值的特点,再考虑构造适当的函数,利用函数的 性质或图象进行求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (2)令函数y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐标系内作出上述三个函数 的图象如图,然后作直线x=0.3,此直线必与上述三个函数图象相交. 由图象知log20.30.3220.3. 探究一探究二探究三素养形
9、成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相 同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数 函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量. 2.将涉及的函数图象在同一直角坐标系中画出来,通过图象位置之 间的关系比较大小. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 A.abcB.acb C.bcaD.bac 答案:B 解析:由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a0,0c1,因此选B. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 函数不同增长特点在实际问题中的应用函数不同增长特点在实际问题中的应用 例3某公司为了实现1 000万
10、元利润的目标,准备制定一个激励销售 部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励, 且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金 总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模 型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型符合该公司要求? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x 在第一象限的图象如图所示: 观察图象发现,在区间10,1 000上,模型y=0.25x,y=1.002x 的图象都 有一部分在y=5的上方,这说明只有按
11、模型y=log7x+1进行奖励才符 合公司要求,下面通过计算确认上述判断. 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元. 对于模型y=0.25x,它在区间10,1 000上是单调递增的, 当x(20,1 000时,y5,因此该模型不符合要求. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.0028065.005,由于y=1.002x在 (-,+)上是增函数,故当x(806,1 000时,y5,因此,也不符合要求. 对于模型y=log7x+1,它在区间10,1 000上是增加的,且当x=1 000 时,y=log71 000+14.555,所以它符合奖金总数不超过
12、5万元的要 求. 再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否超过利润x的25%,即当 x10,1 000时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图象 (图略),由图象可知f(x)在10,1 000上是减少的,因此 f(x)f(10)-0.316 70,即log7x+10.25x.所以当x10,1 000 时,y2).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系,应选 作为模拟函数（填序号）;若f(1)=4,f(3)=6,则所选函数f(x)的解析式 为 . 答案:f(x)=(x-1)(x-4)2+4 解析:由于指数函数增长迅速,而对数型函数增长缓慢,因此满足先 上升后下降再上升
13、的是f(x)=(x-1)(x-q)2+p,f(1)=4,f(3)=6,且q2, 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 指数爆炸与生活哲学指数爆炸与生活哲学 指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质.对指数运算不熟悉的 人,在估计指数运算的值时,可能会出现比较大的误差.例如,你能猜 出以下各指数运算的值都大概是多少吗? 1.01365? 1.02365? 0.99365? 1.012190.98146? 0.9550? 有意思的是,如图所示,有人还用上述这些指数运算的值形象地解 释了一些生活哲学,你觉得有道理吗? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.0136537.78 0.993650.03
14、积跬步以至千里 积怠惰以至深渊1.023651 377.41 1.0136537.78 多百分之一的努力 得千份收获 1.012190.981460.46 三天打鱼两天晒网 终将一无所获 0.95500.08 如果每次失败的概率是95% 连续失败50次的概率不到8% 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是() A.y=100 x B.y=log100 x C.y=x100 D.y=100 x 答案:D 解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数 y=100 x的增长速度最快. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.若x(0
15、,1),则下列结论正确的是() 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.为了治理沙尘暴,A市政府大力加强环境保护,其周边草场绿色植 被面积每年都比上一年增长10.4%,那么经过x年绿色植被的面积为 y,则y=f(x)的图象大致为() 答案:D 解析:由已知条件可得函数关系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a为草场绿色植 被的初始面积,故选D. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.若a1,n0,则当x足够大时,ax,xn,logax中最大的是. 答案:ax 解析:由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知,当x足 够大时,axxnlogax. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.已知y随x的变化关系如下表: 则函数y随x呈型增长趋势. 答案:指数 解析:根据表格中给出的数据作出函数的大致图象(图略),由图象可 知,y随x呈指数型函数的增长趋势.
