1、4.2一元二次不等式及其解法 4.3一元二次不等式的应用 激趣诱思知识点拨 某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价 为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提 高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 x0或ax2+bx+c0;(2)-x-x25; (3)x3+5x-60; (4)3x2-x+y0. 解:(1)是;(2)是; (3)不是,因为x的最高次为3次; (4)不是,它含有两个未知数; (5)不是,因为a=0时,不符合一元二次不等式的定义. 激趣诱思知识点拨 二、一元二次不等式的解法 一元二次函数与一元二次方程、不
2、等式的解的对应关系如下表: 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 名师点析一元二次不等式ax2+bx-c0(a0)的求解方法,如图. 激趣诱思知识点拨 微技巧 解一元二次不等式的口诀: 先看开口再看根,函数图象是根本;横轴上方y为正,根间根外想谨慎. 激趣诱思知识点拨 微练习 (1)不等式x2-2x0的解集为() A.x|x0 B.x|x2 C.x|0 x2 D.x|x2 答案:D 解析:解方程x2-2x=0,得两根x1=0,x2=2,画出y=x2-2x的图象.如图,观 察图象得原不等式解集为x|x2. 激趣诱思知识点拨 (2)求不等式-x2+2x-30的解集. 解:不等式可化为x2-2x+30
3、.因为=-80; (2)-3x2+6x-20; (3)4x2-4x+10; (4)x2-2x+20. 分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象 写出不等式的解集. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)因为方程2x2-3x-2=0的判别式=9+422=250,所以该方 程的解是x1=- ,x2=2. 因为该函数的图象是开口向上的抛物线, 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (4)因为x2-2x+2=0的判别式=4-412=-40,所以方程x2- 2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所 以原不等式的解集为R. 探究一探究二
4、探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数 为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应 方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无 实根. (4)画图像.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的 图像. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1解下列不等式: (1)4x2-20 x-25; (2)(x-3)(x-7)0; (3)-3x2+5x-40; (4)x(1-x
5、)x(2x-3)+1. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)不等式可化为4x2-20 x+250,由于=0,且对应的二次函数的 图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是. (2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的 图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是x|3x7. (3)不等式-3x2+5x-40,由于判别式 =25-48=-230(x10时,其解集是x|xx2,当a0时,其解集是x|x1xx2. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集. 解:关于x的不等式x2+ax+b0的解集为(1,2), 1
6、,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法 例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10. 分析先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 解含参数的一元二次不等式,与解不含参数的一元二次 不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用. (1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨 论,对于不等于0的情况再按大于0或小于0进行讨论. (2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式 进行讨论.
7、(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小关系进行讨论. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练3解关于x的不等式x2+3ax-4a20(aR). 解:由于x2+3ax-4a20可化为(x-a)(x+4a)-4a,即a0时,解不等式为-4axa; 当a-4a,即a0时,解不等式为ax0时,不等式的解集为x|-4axa; 当a0时,不等式的解集为x|ax-4a. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用 例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距 离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车 的刹车
8、距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关 (1)求n的值; (2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少? 分析(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合nN求得n 的值;(2)由s12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤 1.理解题意,搞清量与量之间的关系. 2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等 式问题. 3.解一元二次不等式,得到实际问题的解. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 延伸探究本例中,条件不变,若该型号的汽
9、车在某一限速为80 km/h 的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离 超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶? 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 分式不等式与简单高次不等式的解法分式不等式与简单高次不等式的解法 一、分式不等式的解法 解分式不等式总的指导原则是利用不等式的同解原理将其转化为 有理整式不等式(组)求解. 其基本的情况列表如下: 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 A.(-2,2) B.(-2,2 C.(-2,0) D.(0,2) A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2 C.(-,-1)2,+) D.
10、(-1,2 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 答案:(1)A(2)D 点评如果分式不等式是大于等于零或小于等于零时,变形为整式不 等式时要注意分母不为0. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 二、简单高次不等式的解法 不等式中未知数的最高次数高于2,这样的不等式称为高次不等式. 解决这一类不等式的基本方法是:在解y0)时,将多项式分解 成若干个不可约因式的积,根据实数运算法则,把它等价转化为两 个或多个不等式(组)(由各因式的符号所有可能的组合决定).于是 原不等式的解集就是各不等式解集的并集.但这一方法在因式较多 时比较烦琐.此时通常采用下面的方法: (1)将不等式化为标准形式
11、:一端为0,另一端为一次因式(因式中x的 系数为正)或二次不可分解因式的积. (2)求出各因式的实数根,并在数轴上依次标出. (3)自最右端上方起,用曲线自右至左依次由各根穿过数轴,遇到奇 次重根要一次穿过,遇到偶次重根要穿而不过. (4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.这种方 法叫穿根法. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 典例2解不等式:x3+2x2-x-20. 解:原不等式可化为(x+1)(x-1)(x+2)0.将方程(x+1)(x-1)(x+2)=0的 各个根-2,-1,1标在数轴上,并用穿根法依次通过每一个根.如图: 所以,原不等式的解集为x|-2x1.
12、注意 (1)对于数轴穿根法求解高次不等式,分解因式后x或x2的系数 须为正数;(2)要注意准确考察各根是否在解集内. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 1.不等式x2-90的解集为() A.x|x-3 B.x|x3 C.x|x3D.x|-3x0的解集为R,则实数a的取值范围是() A.(-16,0) B.(-16,0 C.(-,0) D.(-8,8) 答案:D 解析:由x2-90,可得x29,解得-3x0的解集为R,=a2-4440,解得- 8a8,实数a的取值范围是(-8,8),故选D. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 3.已知关于x的不等式x2-ax+b0的解集为2,3,
13、则a+b= . 答案:11 解析:关于x的不等式x2-ax+b0的解集为2,3, 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 4.某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少 木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量 减少 t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900 万元,则t的取值范围是. 令y900,即60(8t-t2)900,解得3t5. 故t的取值范围是3,5. 答案: 3,5 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a0. 解:方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a. 函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以 当a-1时,原不等式的解集为x|ax-1时,原不等式的解集为x|-1xa.
