1、8.6.2直线与平面垂直 性质定理 讲课人：邢启强 2 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面互相垂直 n m m nBl lm ln 如果一条直线和 一个平面内的两 条相交直线都垂 直，那么这条直 线垂直于这个平 面 复习回顾复习回顾 ：线不在多，线不在多，相交相交则灵则灵. 讲课人：邢启强 3 直线与平面直线与平面 垂直的判定垂直的判定 定义法定义法 例题结论例题结论 判定定理判定定理 如果一条如果一条 直线垂直于一直线垂直于一 个平面，那么个平面，那么 它的它的平行线平行线也也 垂直于这个垂直于这个 平面。平面。 如果一条直线垂如果一条直线垂 直于一个平面内的
2、直于一个平面内的 两条相交两条相交直线，那直线，那 么此直线垂直于这么此直线垂直于这 个平面。个平面。 如果一条直线垂如果一条直线垂 直于一个平面内的直于一个平面内的任任 意一条意一条直线直线，那么此，那么此 直线垂直于这个平面。直线垂直于这个平面。 复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强 4 ,abab问题探究：已知：那么直线 和 一定平行吗？请加以证明. 与地面垂与地面垂 直的旗杆，直的旗杆， 它们有什它们有什 么关系？么关系？ 问题：把地面抽象为平面，旗杆抽象为直线，问题：把地面抽象为平面，旗杆抽象为直线， 这个问题能够转化为这个问题能够转化为 ？ 探索新知探索新知 讲课人：邢启强 5 1.利
3、用判定定理我们证明了一个重要的结论， 也请一个同学叙述一下 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面 2.请将上述命题用数学符号表示出来. 若ab，a，则b 这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理.现 在请同学们交换这个定理的题设和结论,写出新的命题. 若a，b，则ab 下面就让我们看看这个命题是否正确？ 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 6 请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形. 已知：a， b 求证：ab 分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它 们互相平行，一般先证明它们共面，然后转 化为平面几何中的平行判定问题，但这个命 题的条件比较简单，想说
4、明a、b共面就很困 难了，更何况还要证明平行 我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平 行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法 否定结论推出矛盾肯定结论 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 分析分析：第一步，我们做一个反面的假设，假定第一步，我们做一个反面的假设，假定b b与与a a不平不平 行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系， 让我们想起例题让我们想起例题1 1，在这个例题的已知条件中，平面有，在这个例题的已知条件中，平面有 一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助 线
5、层层推进，得出证明过程如下线层层推进，得出证明过程如下: : 证明：假定b与a不平行 设bO，b是经过点O 与直线a平行的直线， ab，a，b 所以,经过同一点O的两条直线b，b都 垂直于平面。 显然这是不可能的 因此，ab 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 垂直于同一个平面垂直于同一个平面的两的两条直线条直线平行平行 指出:判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直 的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直 判定两条直线平行。 学习新知学习新知 / a a b b 直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理: 图形语言图形语言 符号语言符号语言 线面垂直线面垂直 线线平行线
6、线平行 证明空间直线和直线平行证明空间直线和直线平行 揭示了揭示了“平行平行”与与“垂直垂直”的内在联系的内在联系 作用：作用： 讲课人：邢启强 9 交换“平行”与“垂直” ,b b b l (1) 线面垂直性质定理深化探究 ba,ba/ a a a 结论：结论：垂直于平面的直线，也垂直于和这个平面平行垂直于平面的直线，也垂直于和这个平面平行 的直线的直线. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 (2):设设l为直线，为直线，为平面，若为平面，若l，/， 则则l与与的位置关系如何？为什么？的位置关系如何？为什么？ l a b b b a 结论：结论：两个平行平面中的一个垂直于一条直线，两个平
7、行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于这条直线则另一个平面也垂直于这条直线. 讲课人：邢启强 11 （4 4）: :设设l为直线，为直线，、为平面，若为平面，若l， l，则平面，则平面、的位置关系如何？为什的位置关系如何？为什 么？么？ l A B 结论：结论：垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行 讲课人：邢启强 12 1.ABC所在的平面为，直线lAB，lAC， 直线mBC，mAC，则直线l，m的位置 关系是() A相交 B异面 C平行 D不确定 C 巩固练习巩固练习 2. 已知直线 a, b 和平面 , 且 ab, a, 则 b 与 的位置关系是 .
8、平行或在 内 b D D C B C B A Ab a 分析:借助正方体模型. / 讲课人：邢启强 13 例例1：如图：如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,EF与与 异面直线异面直线AC,A1D都垂直相交都垂直相交.求证求证:EFBD1. 分析分析连接连接AB1与与CB1,证明证明EF与与BD1 都与平面都与平面AB1C垂直垂直. 证明证明:连接连接AB1,B1C,BD,如图如图. DD1平面平面ABCD,AC 平面平面ABCD, DD1AC.又又ACBD,BDDD1=D, AC平面平面BDD1B1.ACBD1. 同理同理BD1B1C,ACB1C=C, BD1平面平面AB1C
9、. EFA1D,且且 A1DB1C,EFB1C. 又又EFAC,ACB1C=C, EF平面平面AB1C. EFBD1. 线面垂直性质定理的应用线面垂直性质定理的应用 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 本本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目 的的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据即线面垂直的性质提供了线线平行的依据. 在空间证明线线平行的方法有在空间证明线线平行的方法有: （1）定义法（）定义法（2）基本事实）基本事实4（3）线面平行的性质定线面平行的性质定 理（理（4）面面平行的性质定理（）面面平行的性质定理（5）线面垂直的性质定）线面垂
10、直的性质定 理理.（6）初中）初中所学所学(三角形中位线三角形中位线,平行四边形对边等平行四边形对边等) 直线与平面垂直的其他直线与平面垂直的其他性质性质: (1)若一条直线垂直于一个平面若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面则它就垂直于这个平面 内的任意一条内的任意一条直线直线; (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也则另一条也 垂直于这个垂直于这个平面平面; (3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂则它必垂 直于另一个直于另一个平面平面; (4)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条
11、直线的两个平面平行. 反思感悟反思感悟 讲课人：邢启强 15 例2 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂 直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面、 ，c，求证：ABc. 【分析】由题目可获取以下 主要信息： ABa,ABb,a、b异面； a,b. 解答本题可先利用线面的 性质得线线，再证平行 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 16 例2 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂 直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面、 ，c，求证：ABc. 典型例题典型例题 【证明过点B引直线aa， a与b确定的平面设为， 因为ABa ，aa， 所以ABa， 又ABb, abB, 所以AB. 因为b，c，所以
12、bc 因为a，c， 所以ac，又aa，所以ac 由可得c，又AB，所以ABc. 讲课人：邢启强 17 练习：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC. 求证：(1)MNAD1； (2)M是AB的中点 【证明】 (1)四边形ADD1A1为正 方形，AD1A1D. 又CD平面ADD1A1， CDAD1. A1DCDD， AD1平面A1DC. 又MN平面A1DC，MNAD1. 【分析】要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1平面A1DC. 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 18 如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点， 过动点C的直
13、线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的 中点，D是VA上的点，若DE平面VBC，试确定D 点的位置 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 解：VC平面ABC，AC平面ABC， VCAC，又AB是圆O的直径， ACBC，而BCVCC， AC平面VBC， 若DE平面VBC，则由线面垂直的性质 定理可知，DEAC， 又点E是VC的中点， DE是VAC的中位线， D是VA的中点 讲课人：邢启强 20 练习：练习：如图，已知如图，已知 = =l，CA CA 于点于点A A， CBCB于点于点B, B, 求证：求证：al. . A B C l a 分析： ,.lABC aABC平面平面 .,ABaa 证明
14、：证明： ,. . ,. / CAlCAl CBl CACBClABC CAaCAa aAB aABC al 因为所以 同理可得 因为所以面 因为所以 又因为 所以面 所以 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 21 分析分析证明证明MNAD1，转化为证明，转化为证明AD1平面平面A1DC，MN 平面平面A1DC 证明证明因为四边形因为四边形ADD1A1为正方形，所以为正方形，所以AD1A1D 又因为又因为CD平面平面ADD1A1，所以，所以CDAD1. 因为因为A1DCDD，所以，所以AD1平面平面A1DC 又因为又因为MN平面平面A1DC，所以，所以MNAD1. 变式训练变式训练 如图所示，在
15、正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M是是AB 上一点，上一点，N是是A1C的中点，的中点，MN平面平面A1DC 求证：求证：MNAD1； 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 22 过平面外一点作垂直于过平面外一点作垂直于已知平已知平 面的直线，面的直线，则该点与垂足间的则该点与垂足间的 线段，叫做这个点到该平面的线段，叫做这个点到该平面的 垂线段垂线段，垂线段的长度叫做这，垂线段的长度叫做这 个个点到该平面的距离点到该平面的距离. 点到平面的距离：点到平面的距离： 思考：思考： 直线直线 与平面与平面 平行时，直线平行时，直线 上任意上任意 一点到平面一点到平面 的距离相等
16、吗？为什么？的距离相等吗？为什么？ l l 相等相等 P Q 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 23 由由A A、B B是直线上任取的两点，可知是直线上任取的两点，可知直线直线 上任意上任意 一点到平面一点到平面 的距离相等的距离相等 l 讲课人：邢启强 24 一条直线与一个平面平行时一条直线与一个平面平行时,这条直线上任这条直线上任 意一点到这个平面的距离意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这叫做这条直线到这 个平面的距离个平面的距离. 直线到平面的距离直线到平面的距离 如果两个平面平行如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任那么其中一个平面内的任 意一点到另一个平面的距离都意一点到另一个
17、平面的距离都相等相等,我们把它叫我们把它叫 做这两个平行平面间的距离做这两个平行平面间的距离. 思考：思考：如果两个平面平行如果两个平面平行,在其中一个平面内任取几个在其中一个平面内任取几个 点点,这些点到另一个平面的距离相等吗这些点到另一个平面的距离相等吗? 平面与平面的距离平面与平面的距离 棱柱和棱台的高棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行就是上、下底面这两个平行 平面之间的距离平面之间的距离. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 25 解解连接连接PA，PB.易知易知SAC，ACB是直角三角形是直角三角形 所以所以SAAC，BCAC. 取取AB、AC的中点的中点E、F，连接，连接PF，E
18、F，PE 则则EFBC，PFSA. 所以所以EFAC，PFAC. 因为因为PFEFF，所以，所以AC平面平面PEF. 又又PE平面平面PEF，所以，所以PEAC. 易证易证SACSBC.因为因为P是是SC的中点，所以的中点，所以PAPB. 而而E是是AB的中点，所以的中点，所以PEAB. 因为因为ABACA，所以，所以PE平面平面ABC. 从而从而PE的长就是点的长就是点P到平面到平面ABC的距离的距离 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 26 方法提升方法提升：求点到面的距离的关键是：求点到面的距离的关键是确定过点与平面确定过点与平面 垂直的线段垂直的线段可通过外形进行转化，转化为易于求解可通
19、过外形进行转化，转化为易于求解 的点，的点，等体积法等体积法也是求点到平面的距离的常用方法也是求点到平面的距离的常用方法 讲课人：邢启强 27 反思感悟反思感悟 距离的定义具有最短性和确定性距离的定义具有最短性和确定性, 充分体现了化归思想充分体现了化归思想.两个平行平面间的距离、两个平行平面间的距离、 直线到平面的距离直线到平面的距离,都是转化为求都是转化为求点到平面的点到平面的 距离距离来解决来解决. 求点到平面的距离一般有两种方法求点到平面的距离一般有两种方法: (1)构造法构造法:根据定义构造根据定义构造垂直于面的直线垂直于面的直线,确定确定 垂足位置垂足位置,将所求线段化归到三角形中
20、求解将所求线段化归到三角形中求解. (2)等积变换法等积变换法:将所求距离看作某个几何体将所求距离看作某个几何体(多多 为棱锥为棱锥)的高的高,利用体积相等建立方程求解利用体积相等建立方程求解. 讲课人：邢启强 28 解：解：因为因为B1C1平面平面A1BC，所以，所以B1C1到平面到平面A1BC的距离的距离 等于等于B1到平面到平面A1BC的距离的距离 设设B1到平面到平面A1BC的距离为的距离为d， 因为因为VB1A1BCVA1BB1C 所以所以 SA1BCd SB1BCA1B1，可得，可得d 3 1 3 1 5 52 直线直线B1C1与平面与平面A1BC的距离为的距离为 5 52 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 29 课堂小结课堂小结 2.数学思想 转化 空间问题平面问题 1.知识方法 线面垂直的性质定理及其应用 反证法 类比探究，逆向探究 垂直关系平行关系 线面关系线线关系 距离的概念、求解方法（定义法，等积法）
