1、 讲课人：邢启强 2 定义 前提两条异面直线a，b 作法经过空间任一点O作直线aa，bb 结论 我们把a与b所成的 叫做异面直线a与b 所成的角(或夹角) 范围记异面直线a与b所成的角为，则_ 特殊情况当_时，a与b互相垂直，记作_ 锐角(或直角) 090 90ab 复习回顾复习回顾 异面直线所成角异面直线所成角 3 3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作、求异面直线的所成角的一般步骤是：作证证求求 作出异面直线所成的角作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生可通过多种方法平移产生,主主 要有三种方法要有三种方法: 直接平移法直接平移法(可利用图中已有的平行线可利用图中已有的平行线); 中
2、位线平移法中位线平移法; 补形平移法补形平移法(在已知图形中在已知图形中,补作一个相同的几何体补作一个相同的几何体, 以便找到平行线以便找到平行线). 讲课人：邢启强 4 问题问题1 1：请同学们观察图片：请同学们观察图片, ,说出旗杆与地面、说出旗杆与地面、 大桥桥柱与水面是什么位置关系？大桥桥柱与水面是什么位置关系？ 你能举出一些类似的例子吗？你能举出一些类似的例子吗？ 讲课人：邢启强 5 A B B1 C1 C B 一条直线一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？与一个平面垂直的意义是什么？ 新课引入新课引入 ABAB所在直线与平面内所在直线与平面内 任意一条过点任意一条过点B B的直线垂
3、直的直线垂直 与平面内任意一条不过点与平面内任意一条不过点B B 的直线的直线B B1 1C C1 1也垂直也垂直 直线垂直于平面内的任意一条直线直线垂直于平面内的任意一条直线 讲课人：邢启强 6 如果直线如果直线 l和平面和平面内的内的任意一条直线任意一条直线都垂直，我都垂直，我 们就说们就说直线直线 l 和平面和平面互相垂直互相垂直.记作记作l 直线直线l叫做平面叫做平面的的, 平面平面叫做直线叫做直线 l的的, 直线直线 和平面垂直和平面垂直,它们唯一的公共点它们唯一的公共点P叫做叫做 l P （性质定理）（性质定理） b是平面是平面内任一直线内任一直线,a， 则则 . 学习新知学习新知
4、 符号语言：符号语言：任意任意a，都有，都有la . 讲课人：邢启强 7 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的的平行四边形的一边垂直一边垂直 线面垂直直观图的一般画法线面垂直直观图的一般画法 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 思考思考:在在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 为什么？为什么？ 可以发现:过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条过一点垂
5、直于已知平面的直线有且只有一条. . 过一点作垂直于过一点作垂直于已知平面的直线，已知平面的直线，则该点与垂则该点与垂 足间的线段，叫做这个点到该平面的足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段垂线段， 垂线段的长度叫做这个垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离点到该平面的距离. 点到平面的距离点到平面的距离 如棱锥的高就是顶点到底面的距离如棱锥的高就是顶点到底面的距离. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能 否判断这条直线和这个平面垂直？ 2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能 否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线
6、， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 怎样判断线面垂直呢？ 学习新知学习新知 不一定不一定.当平面当平面内的无数条内的无数条 直线直线a,b,c都互相平行时都互相平行时, 直线直线l在保证与直线在保证与直线a,b,c 都垂直的条件下都垂直的条件下,与平面与平面可可 能垂直也可能斜交能垂直也可能斜交. 讲课人：邢启强 10 D B A C 容易发现，当且仅当折痕容易发现，当且仅当折痕AD是是BC边上的高边上的高 时，时，AD所在直线与桌面所在平面所在直线与桌面所在平面垂直垂直。 B D C A （1）有人说）有人说,折痕折痕AD所在直线与桌面所在平面所在直线与桌面所在平面上的上的 一条直线垂直一
7、条直线垂直,就可以判断就可以判断AD垂直平面垂直平面,你同意他的你同意他的 说法吗说法吗? （2）折痕）折痕ADBC,翻折之后垂直关系不变翻折之后垂直关系不变,即即AD CD,AD BD,由此你能得到什么结论由此你能得到什么结论? 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 B m n l l nl ml Bn m m n 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和 旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果这两点都和旗杆 脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么？ A B CD 典型例题典型例题
8、 ., , , , , 6 10,8,: 222222 与地面垂直旗杆因此 又 三点确定平面 三点不共线 两绳长旗杆如图解 OP OP OOBOA OBOPOAOP PBOBPOPAOAPO BOA BOA mOBOA mPBPAmPO 讲课人：邢启强 13 ,VABCVAVC ABBCVBAC如图 在三棱锥中求证 V A B C . D 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 14 m a b 例例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面平面，那么另一条也垂直于这个平面 n 典型例题典型例题 已知：如图已知：如图, ,
9、已知已知ab, ,a. . 求证求证：b. . 分析：分析：在平面内作两条在平面内作两条相交相交 直线直线，由直线与平面垂直的，由直线与平面垂直的 定义可知定义可知, ,直线直线a a与这两条相与这两条相 交直线是垂直的交直线是垂直的, ,又由又由b b平行平行a,a, 可证可证b b与这两条相交直线也垂与这两条相交直线也垂 直直, ,从而可证直线与平面垂直从而可证直线与平面垂直. . 证明：在平面证明：在平面内取两条相交直线内取两条相交直线m m、n n， ,.aam an直线 /, /babm bn ,mnm nb又是两条相交直线 讲课人：邢启强 15 1.:=CD,EA , EB .:
10、CD AB .已知求证 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 16 A.平行平行 B.相交相交 C.平行或相交平行或相交 C B 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 17 证明证明:(1)因为因为SASC，D为为AC的中点，的中点， 所以所以SDAC. 则在则在RtABC中，中， 有有ADDCBD，所以，所以ADSBDS. 所以所以BDSADS90，即，即SDBD. 又又ACBDD，AC，BD平面平面ABC， 所以所以SD平面平面ABC. 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 18 典型例题典型例题 证明证明(2)因为因为ABBC，D为为AC的中点，的中点， 所以所以BDAC. 又由又由(1)知知SDB
11、D 于是于是BD垂直于平面垂直于平面SAC内的两条相交直线内的两条相交直线 所以所以BD平面平面SAC. 讲课人：邢启强 19 判定判定直线与平面垂直直线与平面垂直,可以用定义可以用定义,就是证明这条直就是证明这条直 线与平面内的任一直线垂直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用但这种方法一般不用.最最 常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据根据 定理定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂 直即可直即可. 另外另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:
12、 (1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条则另一条 也垂直于这个平面也垂直于这个平面. (2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另则它与另 一个平面也垂直一个平面也垂直. 方法总结方法总结 讲课人：邢启强 20 例例4如如图图,已知已知PA垂直于垂直于O所在的平面所在的平面,AB是是O的的 直径直径,C是是O上任意一点上任意一点,求证求证:BCPC. 分分析析：首先利用首先利用PA平面平面ABC得到得到 PABC,然后根据圆的性质得到然后根据圆的性质得到 ACBC,进而利用线面垂直判定定理进而利用线面垂直
13、判定定理 证得证得BC平面平面PAC,从而得到从而得到BCPC. 证明证明:PA平面平面ABC,BC 平面平面ABC,PABC. AB是是O的直径的直径,BCAC. 又又PAAC=A,BC平面平面PAC. PC 平面平面PAC,BCPC. 变式：变式：若本例中其他条件不变若本例中其他条件不变, 作作AEPC交交PC于点于点E,求证求证:AEPB. 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 21 直线直线和平面垂直的定义具有双重作用和平面垂直的定义具有双重作用: :判定和判定和性质性质. . 判定是指判定是指: :如果如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂一条直线和平面内的任意一条直线都垂 直直, ,那
14、么直线就与平面那么直线就与平面垂直垂直; ; 性质是指性质是指: :如果如果一条直线垂直于一个平面一条直线垂直于一个平面, ,那么这条直线那么这条直线 就垂直于平面内的任意一条直线就垂直于平面内的任意一条直线, ,即即a a, ,b ba ab.b. 由直线与平面垂直的定义及判定定理由直线与平面垂直的定义及判定定理, ,就可以由线线垂就可以由线线垂 直得到线面垂直直得到线面垂直, ,再由线面垂直得到线线垂直再由线面垂直得到线线垂直, ,即得到线即得到线 线垂直与线面垂直的相互转化线垂直与线面垂直的相互转化. .因此因此, ,要证明两条直线垂要证明两条直线垂 直直( (无论它们是异面还是共面无论
15、它们是异面还是共面),),通常是证明其中的一条直通常是证明其中的一条直 线垂直于另一条直线所在的一个平面线垂直于另一条直线所在的一个平面. . 反思感悟反思感悟 讲课人：邢启强 22 0 , ,. 1).,90 ,_. 2).,_. 3)., _. ABCPPO OPA PB PC PAPBPCCOAB PAPBPCOABC PAPB PBPC PCPAOABC 过所在平面 外一点作垂足 为连接 若则 是边的点 若则 是的心 若则 是 的心 思考探究思考探究 讲课人：邢启强 23 总结总结：证明线线垂直的方法：证明线线垂直的方法 讲课人：邢启强 24 l nl ml Bn m m (1) n (2),abab 课堂小结课堂小结 /,lmlm(3)直线直线直线平面则直线平面 /,mm(4)平面平面图直线平面则直线平面
