1、8.6.3平面与平面垂直平面与平面垂直 二面角 讲课人：邢启强 2 1 1直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念 （1 1）利用定义；）利用定义； （2 2）利用判定定理）利用判定定理 3 3数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想 空间问题空间问题平面问题平面问题 3 3直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直 垂直于平面内任意一条直线垂直于平面内任意一条直线 2. 2. 线面角的概念及范围线面角的概念及范围0 90 范围： ， 复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强 3 AB 1 O 平面的平面的斜线斜线和平面和平面 所成的角的取值范围：所成的角的取值
2、范围： (0o, 90o) 直线和平面所成角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围： 0o, 90o 异面直线所成角的异面直线所成角的取值范围：取值范围： 900 00 , 复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强 4 1、在平面几何中、在平面几何中“角角”是怎样定义的？是怎样定义的？ 答：从平面内答：从平面内一点一点出发的两条出发的两条射射 线线所组成的图形叫做角。所组成的图形叫做角。 2、等角定理？、等角定理？ o 答：如果一个角的两边答：如果一个角的两边 和另一个角的两边和另一个角的两边分别分别 平行平行，并且，并且方向相同方向相同， 那么这两个角相等。那么这两个角相等。 A B 复习回顾复习回
3、顾 讲课人：邢启强 5 A O B B B B B B B 角角 两个面组成的图形两个面组成的图形 ? 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 6 平面内的一条直线，把这个平面分平面内的一条直线，把这个平面分 成成两两部分，每部分，每 一部分都叫做一部分都叫做半平面半平面。 从一条直线引出的两个从一条直线引出的两个半平面半平面所组成所组成 的图形叫做的图形叫做二面角二面角。这条直线叫做二。这条直线叫做二 面角的面角的棱棱，这两个半平面叫做二面角，这两个半平面叫做二面角 的的面面。 l 1.半平面：半平面： 2.二面角：二面角： 半平面及二面角的定义半平面及二面角的定义 棱棱 面面 面面 半平面半平面
4、 半平面半平面 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 平卧式：平卧式： 直立式：直立式： l A B 3. 二面角的画法和记法：二面角的画法和记法： 面面1棱面棱面2点点1棱点棱点2 二面角二面角 l 二面角二面角 AB 二面角二面角CAB D A B C D l P .Q 二面角二面角P P l Q 学习新知学习新知二面角的二面角的 画法与记法画法与记法 讲课人：邢启强 8 上述变化过程中图形在变化，形成的上述变化过程中图形在变化，形成的 “角度角度”的大小如何来确定的大小如何来确定 ？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 我们常说我们常说“把门开大些把门开大些”，是指哪个角开大一些，是指
5、哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画二面角的大小？我们应该怎么刻画二面角的大小？ 4.二面角二面角大小的刻画大小的刻画 把书打开，相邻两页书也构成二面角，把书打开，相邻两页书也构成二面角， 随着打开的程度不同，得到不同的二面角随着打开的程度不同，得到不同的二面角 受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的 大小呢，能否转化为两相交直线所成的角大小呢，能否转化为两相交直线所成的角 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 A O l B 4. 二面角的平面角二面角的平面角 (1)(1)定义定义: :在二面角的棱上任取一点在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别，在两
6、个半平面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的二面角的 平面角平面角. . 如图，如图， ，则，则AOB叫做二面角叫做二面角 的平面角的平面角. 它的大小与点它的大小与点O的选取无关的选取无关. ,OAl OBll 二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足： 角的两边都角的两边都垂直垂直于棱于棱 角的顶点在角的顶点在棱上棱上 角的两边分别在两个半角的两边分别在两个半 平平面内面内 学习新知学习新知 二面角的二面角的 平面角的定义、范围及作法平面角的定义、范围及作法 讲课人：邢启强 11 O O A B A B AOB= B
7、OA? 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。） 注注:（1）二面角的平面角与点的位置）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关。无关，只与二面角的张角大小有关。 （2）二面角是用它的平面角来度）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做）平面角是直角的二面角叫做 直二面角直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定）二面角的取值范围一般规定 为为0, l 学习新知学习新知 讲课人：
8、邢启强 12 2、二面角的平面角的作法：、二面角的平面角的作法： 1、定义法：、定义法： 根据定义作出来。根据定义作出来。 2、作垂面：、作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。的交线得到。 注意：二面角的平面角必须满足：注意：二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上。）角的顶点在棱上。 （2）角的两边分别在两个面内。）角的两边分别在两个面内。 （3）角的边都要垂直于二面角的棱。）角的边都要垂直于二面角的棱。 o A B o A o A B B l l l l 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 13 在正方体在正方体ABCD-ABCD中中,找出下列二面
9、角的平面角：找出下列二面角的平面角： （1）二面角）二面角D-AB-D和和A-AB-D； （2）二面角）二面角C-BD-C和和C-BD-A. BA C D A B CD O 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 14 角角 B A O 边边 边边 顶点顶点 从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。 定义定义 构成构成 边边点点边边 （顶点）（顶点） 表示法表示法AOB 二面角二面角 A B 面面 面面 棱棱 a 从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫 做做二面角二面角。 面面直线直线面面 （棱）（棱） 二面角二面角
10、l 或二面角或二面角AB 图形图形 角与二面角的比较角与二面角的比较 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 15 例例1、已知二面角、已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的 距离为距离为 ,到到 l 的距离为的距离为 4.求求二面角二面角 l 的大小的大小. D 32 l A.A. O 典型例题典型例题 A.A. O D B 讲课人：邢启强 16 A . O 解解： 则由三垂线定理得 AD . sinADO= 4 32 ADO=60. 二面角 l 的大小为60或120. 在RtADO中， AO AD 例例1、已知二面角、已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的
11、 距离为距离为 2 ，到，到 l 的距离为的距离为 4。求求二面角二面角 l 的大小。的大小。 l D 过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD， l 4, 32ADAO ADO 就是二面角 l 的平面角. 分析：首先应找到或作出二面角的平面角分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个然后证明这个 角就是所求的平面角角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。最后求出这个角的大小。 3 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 17 正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中， 二面角二面角B1-AA1-C1的大小为的大小为_， 二面角二面角B-AA1-D的大小为的大小为_， 二面
12、角二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_. 45 90 二面角二面角C C1-BD-A-BD-A 的平面角是哪个角的平面角是哪个角 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 18 例例2.如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为为D1C1的中点，求二面角的中点，求二面角EBDC的正切值的正切值 A A1 B B1 C C1 D D1E 思路分析：思路分析： 找基面找基面 平面平面BCD 作基面的垂线作基面的垂线 过过E作作EFCD于于F F 作平面角作平面角 作作FGBD于于G，连结，连结EG G 解：解：过过E作作EFCD于于F，
13、于是，EGF为二面角EBDC的平面角 BC = 1，CD = 2， 11 21 22 55 BC CD GF BD 而EF = 1，在EFG中tan5 EF EGF GF ABCDA1B1C1D1是长方体，是长方体， EF平面平面BCD，且，且F为为CD中点，中点， 过过F作作FGBD于于G，连结，连结EG，则，则EGBD（为什么？）（为什么？） M 练习 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 19 一一“作作”二二“证证”三三“计算计算” 求二面角大小的步骤求二面角大小的步骤 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的 角 （垂直于棱） 3、计算所求的角 方法总结方法总结 讲课人
14、：邢启强 20 1.二面角指的是（二面角指的是（ ） A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度. B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角. D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角. B 巩固练习巩固练习 2求正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值求正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值 讲课人：邢启强 21 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 22 1、二面角的定义：、二面角的定义： 2、二面角的画
15、法和记法：、二面角的画法和记法： 3、二面角的平面角：、二面角的平面角： 4 4、二面角的平面角的作法：、二面角的平面角的作法： 画法：直立式和平卧式画法：直立式和平卧式 记法：二面角记法：二面角 AB 二面角二面角 l 1、根据定义作出来、根据定义作出来 2、利用直线和平面垂、利用直线和平面垂 直作出来直作出来 从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做平面所组成的图形叫做二二 面角面角。这条直线叫做。这条直线叫做二面二面 角的棱角的棱。这两个半平面叫。这两个半平面叫 做做二面角的面二面角的面。 1、二面角的平面角、二面角的平面角 的大小与的大小与 其顶点其顶点 在棱上的位置无关在棱上的位置无关 2、二面角的大小用、二面角的大小用 它的平面角的大它的平面角的大 小来度量小来度量 课堂小结课堂小结 6 6、数学思想、数学思想 *转化思想转化思想降维降维 *类比思想类比思想
