1、1.1利用函数性质判定方程解的存 在性 激趣诱思知识点拨 请观察右图,这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函 数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被墨水污 染了,现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度 是0摄氏度,你能帮助他吗? 激趣诱思知识点拨 一、函数的零点 1.代数定义:使得f(x0)=0的称为方程f(x)=0的解,也称为函 数f(x)的零点. 2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 . 数x0 横坐标 名师点析1.函数的零点是一个实数,而不是一个点.例如,函数 f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0). 2.并
2、不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点. 3.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. 4.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数 y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标. 激趣诱思知识点拨 微练习 函数f(x)=x2-1的零点是() A.(1,0)B.(1,0) C.0 D.1 答案:D 解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=1,因此函数f(x)=x2-1的零点是1. 激趣诱思知识点拨 二、零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续的曲线,并且在区 间端点的函数值一正一负,即f(a)
3、f(b)0,则在开区间(a,b)内,函数 y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一 个解. 激趣诱思知识点拨 名师点析 1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间a,b上的图象是一条连续 的曲线;(2)f(a)f(b)0.这两个条件缺一不可. 2.利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零 点的个数. 3.若函数y=f(x)的图象在区间a,b上是一条连续的曲线,则由 f(a)f(b)0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数 y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)f(b)0. 4.如果单调函数y=f(
4、x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,并且 有f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.() 微练习2 函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上() A.-2,-1B.-1,0 C.0,1 D.1,2 答案: 答案:B 解析:因为f(-2)=-110,f(-1)=-20,f(1)=40,f(2)=130, 所以f(-1)f(0)0.所以f(x)的零点在区间-1,0上. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 求函数的零点求函数的零点 例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=1+log3x; (3
5、)f(x)=4x-16. 分析可通过解方程f(x)=0求得函数的零点. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一 是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几 何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零 点. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数 y=logn(mx+1)的零点. 解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点
6、为1和2,则1和2是方程 x2+3(m+1)x+n=0的解. 所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1). 令log2(-2x+1)=0,得x=0. 所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 函数零点个数的判断函数零点个数的判断 例2判断下列函数零点的个数: (1)f(x)=(x2-4)log2x; (3)f(x)=2x+lg(x+1)-2. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=2或 x=1. 又因为函数定义域为(0,+),所以x
7、=-2不是函数的零点,故函数有2 和1两个零点. 画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示.由图象可知,两个函数图象只 有一个交点,故函数只有一个零点. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (3)(方法一)f(0)=1+0-2=-10, f(x)=0在(0,2)上必定存在实根. 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一个 零点. (方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出 h(x)与g(x)的图象,如图所示. 由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即 f(x)=2x+
8、lg(x+1)-2有且只有一个零点. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟判断函数零点个数的常用方法 1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数. 2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点 的个数. 3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出 y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零 点的个数. 4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数 有零点,再证明该函数在定义域内单调. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2
9、(1)若abc0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数 是() A.0B.1C.2D.1或2 答案:A 解析:b2=ac, 方程ax2+bx+c=0的判别式=b2-4ac=b2-4b2=-3b2. abc0,b0.因此0, 所以f(3)f(2)1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数 a的取值范围是(1,+). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟已知函数有零点(方程有根)求参数的方法 1.直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式 (组)确定参数的取值范围. 2.数列结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为 h(x)=g(
10、x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函 数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练3(2020福建厦门双十中学高一检测)已知函数f(x)=3ax-1- 2a在区间(-1,1)上存在零点,则() 答案:C 解析:f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)上单调,且存在零点, f(-1)f(1)0,即(-3a-1-2a)(3a-1-2a)=(-5a-1)(a-1)1 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 二次函数的零点综合问题二次函数的零点综合问题 典例 已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.
11、(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围; (2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值; (3)若函数的两个不同零点是,求2+2关于k的关系式h(k). 分析本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数 f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为 二次方程解的判断或解的性质. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 规范解答(1)令f(x)=0,得x2-(k-2)x+k2+3k+5=0. 由=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160, 知3k2+16k+160,即(3k+4)(k+4)0, (2)-1和-3是函数f(x)的两个零点,
12、-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (3),是函数f(x)的两个不同零点, ,是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根, +=k-2,=k2+3k+5. 2+2=(+)2-2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6. 规律总结1.若二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个解是x1,x2, 2.本题中如果忽视,将会影响2+2的范围而导致出错. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.如下图四个函数图象,在区间(-,0)内存在零点的函数是() 答案:B 解析:只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交
13、点. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.函数f(x)=log5(x-1)的零点是() A.0B.1C.2D.3 3.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是() A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 答案:C 解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故 选C. 答案:C 解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-30, f(2)=ln 2-20, f(4)=ln 40,则x0(2,3). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为. 解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公 共点,即函数只有一个零点. 当a0时,函数y=ax2-x-1为二次函数. 函数y=ax2-x-1只有一个零点, 方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点,如果存在,求出零点的 个数. (1)f(x)=x2-3x-18,x-4,7; 解:(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6. 又-3-4,7,6-4,7, f(x)=x2-3x-18在-4,7上有两个零点.
