1、1.3集合的基本运算 第1课时交集和并集 激趣诱思知识点拨 公务员,是指在各级政府机关中,行使国家行政职权,执行国家公务 的人员.每年都有很多人报名参加考试,常出现一个岗位若干人争 夺的局面. 2020国家公务员考试报考条件中规定,报考人员应符合以下条件 (摘录):(1)具有中华人民共和国国籍;(2)18周岁以上、35周岁以下 (1983年10月至2001年10月期间出生),2020年应届硕士研究生和博 士研究生(非在职)人员年龄可放宽到40周岁以下(1978年10月以后 出生);(7)具有大学专科及以上文化程度. 根据以上条件,哪些人可以报名参加公务员考试呢? 激趣诱思知识点拨 一、交集 名
2、师点析求两个集合的交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的 所有公共元素组成的集合.当两个集合没有公共元素时,两个集合 的交集是空集,而不能说两个集合没有交集. 所有 x|xA,且xB 激趣诱思知识点拨 微练习 (1)已知集合A=1,3,5,6,7,B=2,4,5,6,8,则AB=. (2)(2019全国)已知集合A=x|x-1,B=x|x-2,B=x|x1,则AB=() A.x|x-2 B.x|-2x1 C.x|x-2 D.x|x1 (3)已知集合A=1,3,m,B=3,4,AB=1,2,3,4,则实数m= . 答案: (1) C(2)A(3)2 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 集合集合
3、的交集与的交集与并集并集运运算算 例1(1)设集合A=x|x2-2x-3=0,B=x|x2=1,则AB=() A.1 B.1,3 C.-1,1,3 D.-1,1 (2)已知集合A=x|x2,B=x1,则AB=() A.x|x2B.x|1x2 C.x|x1D.R 分析(1)先解一元二次方程得集合A,B,再根据集合并集的定义求结 果;(2)用数轴表示集合A,B,根据定义求解. 解析:(1)A=-1,3,B=-1,1,AB=-1,1,3. (2)在数轴上表示出集合A,B,则 则AB=R. 答案: (1) C(2)D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1(1)已知集合A=xN|1x3,B=2
4、,3,4,5,则AB=( ) A.2,3 B.2,3,4,5 C.2D.1,2,3,4,5 (2)设集合A=xN+|x2,B=2,6,则AB=() A.2 B.2,6 C.1,2,6D.0,1,2,6 答案: (1) D(2)C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 例2(1)已知集合A=1,3,5,7,B=2,3,4,5,则AB=() A.3B.5 C.3,5 D.1,2,3,4,5,7 (2)设集合M=x|-3x2,N=x|1x3,则MN=() A.1,2) B.1,2 C.(2,3D.2,3 (3)(2019天津)设集合A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x3, 则(AC
5、)B=() A.2 B.2,3 C.-1,2,3D.1,2,3,4 答案: (1) C(2) A(3) D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解析:(1)直接由交集定义可得AB=3,5; (2)在数轴上表示集合M,N,如图: MN=x|1x2. (3)AC=1,2,(AC)B=1,2,3,4,故选D. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 求两个集合交集、并集的方法技巧 当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明 确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集 常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数 组成了并集,数轴上方“双线”(即公
6、共部分)下面的实数组成了交集, 此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示;对于用列举法 给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn 图写出结果. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2若集合M=xR|-3x1,N=xZ|-1x2,则 MN=() A.0 B.-1,0 C.-1,0,1D.-2,-1,0,1,2 答案:B 解析:N=-1,0,1,2,M=xR|-3x1,则MN=-1,0. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 已知集合的交集、并集求参数已知集合的交集、并集求参数 例3已知aR,集合A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9.若9AB,则实数 a
7、的值为. 分析9AB说明9A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意 求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性. 解析:9AB,9A,且9B, 2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3. 当a=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,符合题意; 当a=3时,A=-4,5,9,B=-2,-2,9,集合B不满足集合中元素的互异 性,故a3; 当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,符合题意. 综上可得实数a的值为5或-3. 答案: 5或-3 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法 对于这类已知两个有限集的运算结果求参
8、数值的问题,一般先用观 察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理 有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解 结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究例3中,将“9AB”改为“AB=9”,其余条件不变,求实 数a的值及AB. 解:AB=9,9A. 2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3. 当a=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,由于AB=-4,9,不符合题意,故 a5; 当a=3时,A=-4,5,9,B=-2,-2,9,集合不满足集合中元素的互异性, 故a3; 当a=-3时,A=-4,-7,
9、9,B=-8,4,9,且AB=9,符合题意. 综上可得a=-3.此时AB=-8,-4,-7,4,9. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 例4集合A=x|-1x1,B=x|xa. (1)若AB=,求a的取值范围; (2)若AB=x|x1,求a的取值范围. 分析利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件，利用数形结合 的方法列出关于参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)A=x|-1x1,B=x|xa,且AB=,在数轴上表示出集合 A,B,如图所示. 数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1, a的取值范围为a-1. (2)A=x|-
10、1x1,B=x|xa,且AB=x|x1,在数轴上表示出集 合A,B,如图所示, 数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点 x=1.a的取值范围为-1-1. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 集合的交集、并集性质的应用集合的交集、并集性质的应用 例5设集合M=x|-2x5,N=x|2-tx2t+1,tR.若MN=M,则 实数t的取值范围为. 分析把MN=M转化为NM,利用数轴表示出两个集合,建立端点 间的不等关系式求解. 综上可知,实数t的取值范围是t|t2. 答案:t|t2 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究将例5条件中“MN=M”改为“MN=M”,其余
11、不变,求实 数t的取值范围. 解:由MN=M,得MN,故N.用数轴(略)表示两个集合, 故实数t的取值范围为t4. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 例6设集合A=x|x2-2x=0,B=x|x2-2ax+a2-a=0. (1)若AB=B,求a的取值范围; (2)若AB=B,求a的值. 分析先化简集合A,B,再由已知条件得AB=B和AB=B,转化为集 合A,B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:由x2-2x=0,得x=0或x=2.A=0,2. (1)AB=B,BA,B=,0,2,0,2. 当B=时,=4a2-4(a2-a)=4a0,a0; 综上所
12、述,得a的取值范围是a|a=1或a0. (2)AB=B,AB. A=0,2,而B中方程至多有两个根, A=B,由(1)知a=1. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 利用交集、并集运算求参数的思路 (1)涉及AB=B或AB=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相 关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性. (2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元 素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要 注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得 到不同集合之间的关系. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练3已知集合M=x|2x-4=
13、0,集合N=x|x2-3x+m=0, (1)当m=2时,求MN,MN; (2)当MN=M时,求实数m的值. 解:(1)由题意得M=2. 当m=2时,N=x|x2-3x+2=0=1,2, MN=2,MN=1,2. (2)MN=M,MN.M=2,2N, 2是关于x的方程x2-3x+m=0的解, 即4-6+m=0,解得m=2. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论思想在集合运算中的应用 分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是 对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何 确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生
14、的不 同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个 标准来分,不能重复也不能遗漏. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 典例 设集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-5=0. (1)若AB=2,求实数a的值; (2)若AB=A,求实数a的取值范围. 解:(1)集合A=x|x2-3x+2=0=1,2, 若AB=2,则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得 a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1. 当a=-3时,B=2;当a=-1时,B=-2,2,均满足AB=2.综上,实数a 的值为a=-3或a=-1. (2)A=x|x2-3x
15、+2=0=1,2, B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0, 对应的=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). AB=A,BA. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 当0,即a0,即a-3时,只有B=1,2,才能满足条件, 由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且12=a2-5. 方法点睛 将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参 的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其 不要忽略无解的情况,即B为空集的情况. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.设集合A=xN+|-1x2,B=2,3,则AB=() A.-1,0,1,2,3B.1
16、,2,3 C.-1,2 D.-1,3 答案:B 解析:集合A=1,2,B=2,3,则AB=1,2,3. 2.已知集合A=x|-3x3,B=x|x1,则AB=() A.x|x1B.x|x3 C.x|-3x1D.x|-3x3 答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.已知集合A=0,1,B=a-2,2.若AB=1,则AB=() A.0,1,2B.1 C.0,1,2,3D.1,2 答案:A 解析:由AB=1,得1=a-2,所以a=3.则B=1,2.所以AB=0,1,2. 4.已知集合A=0,1,2,8,B=-1,1,6,8,那么AB=. 答案:1,8 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.已知集合A=x|m-2xm+1,B=x|1x5. (1)若m=1,求AB; (2)若AB=A,求实数m的取值范围. 解:(1)由m=1,得A=x|-1x2, AB=x|-1x5. (2)AB=A,AB.显然A.
