1、第第 2 课时课时全概率公式、贝叶斯公式全概率公式、贝叶斯公式 学 习 目 标核 心 素 养 1理解并掌握全概率公式(重点) 2了解贝叶斯公式(难点) 3会用全概率公式及贝叶斯公式解 题(易错点) 1通过学习全概率公式及贝叶斯公式， 体会逻辑推理的数学素养 2借助全概率公式及贝叶斯公式解题， 提升数学运算的素养. 有三个罐子，1 号装有 2 红 1 黑球，2 号装有 3 红 1 黑球，3 号装有 2 红 2 黑球某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率 问题：如何求取得红球的概率？ 1全概率公式 (1)P(B)P(A)P(B|A)P(A )P(B|A)； (2)定理 1若样本空
2、间中的事件 A1，A2，An满足： 任意两个事件均互斥，即 AiAj，i，j1,2，n，ij； A1A2An； P(Ai)0，i1,2，n. 则对中的任意事件 B，都有 BBA1BA2BAn，且 P(B) n i1PBAi n i1PAiPB|Ai. 思考：全概率公式体现了哪种数学思想？ 提示全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方 式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可 2贝叶斯公式 (1)一般地，当 0P(A)1 且 P(B)0 时，有 P(A|B)PAPB|A PB PAPB|A PAPB|APA PB|A. (2)定理 2若样本空间中的事件 A1，A2，An满足： 任
3、意两个事件均互斥，即 AiAj，i，j1,2，n，ij； A1A2An； 1P(Ai)0，i1,2，n. 则对中的任意概率非零的事件 B，有 P(Aj|B)PAjPB|Aj PB PAjPB|Aj n i1PAiPB|Ai . 拓展：贝叶斯公式充分体现了 P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|A )，P(AB) 之间的转化 即P(A|B)PAB PB ， P(AB)P(A|B)P(B)P(B|A)P(A)， P(B)P(A)P(B|A) P(A )P(B|A)之间的内在联系 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)P(A)P(B)P(A|B)P(B )P(A|B) (
4、) (2)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B |A) () (3)P(A|B)PAB PB PBPA|B PAPB|A. () 答案(1)(2)(3) 2已知事件 A，B，且 P(A)1 3，P(B|A) 1 5，P(B|A )2 5，则 P(B)等于( ) A.3 5 B.1 5 C.1 3 D. 1 15 CP(B)P(A)P(B|A)P(A )P(B|A) 1 3 1 5 11 3 2 5 1 3.故选 C. 3一袋中装有大小、形状均相同的 5 个球，其中 2 个黑球，3 个白球，从 中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为_ 2 5 设事件 A，B 分别表示第一、二
5、次取到的是黑球，由古典概型可知 P(A) 2 5，P(B|A) 1 4，P(B|A )1 2. 则 P(B)P(AB)P(A B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 2 5 1 4 12 5 1 2 2 5. 4 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种故障时， 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时， 机器调整 良好的概率为 95%.则已知某日早上第一件产品是合格时， 机器调整得良好的概 率约是_ 0.97设 A 为事件“产品合格”，B 为事件“机器调整良好” P(A|B)0.98，P(A|B )0.55， P(B)0.95，P(B )0
6、.05， 所求的概率为 P(B|A) PA|BPB PA|BPBPA|B PB0.97. 全概率公式及其应用 【例 1】甲箱的产品中有 5 个正品和 3 个次品，乙箱的产品中有 4 个正品 和 3 个次品 (1)从甲箱中任取 2 个产品，求这 2 个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品， 求取出的这个产品是正品的概率 解(1)从甲箱中任取 2 个产品的事件数为 C2887 2 28， 这 2 个产品都是次品的事件数为 C233. 这 2 个产品都是次品的概率为 3 28. (2)设事件 A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件 B1为
7、“从甲箱中 取出 2 个产品都是正品”，事件 B2为“从甲箱中取出 1 个正品 1 个次品”，事 件 B3为“从甲箱中取出 2 个产品都是次品”，则事件 B1、事件 B2、事件 B3彼此 互斥 P(B1)C 2 5 C28 5 14，P(B 2)C 1 5C13 C28 15 28， P(B3)C 2 3 C28 3 28， P(A|B1)2 3，P(A|B 2)5 9，P(A|B 3)4 9， P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3) 5 14 2 3 15 28 5 9 3 28 4 9 7 12. 通过本例我们发现， 当直接求事件 A 发生的概率不
8、好求时， 可以采用化整为 零的方式，即把 A 事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件 A 发生的概率. 跟进训练 11 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随 机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，问： (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱取出红球的概率是多少？ (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？ 解记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球； 事件 B：从 1 号箱中取出的是红球 P(B) 4 24 2 3，P(B )12 3 1 3. (1)P(A|B)31 81 4 9. (2)P(A|
9、B ) 3 81 1 3， P(A)P(AB)P(AB )P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)4 9 2 3 1 3 1 3 11 27. 贝叶斯公式及其应用 【例 2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病在患有此种疾病的人 群中，通过化验有 95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有 1%的人呈 阳性反应某地区此种病的患者仅占人口的 0.5%.若某人化验结果为阳性，问此 人确实患有此病的概率是多大？ 解设 A“呈阳性反应”，B“患有此种疾病”，则 P(A)P(B)P(A|B) P(B )P(A|B)0.5%95%99.5%1%1.47%. 所以 P(B|A)错误错误!0.5%95%
10、1.47% 32.3%. 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算 P(A)，即 P(A) n i1P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算 P(AB)，可利用 P(AB)P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入 P(B|A)PAB PA 求解 跟进训练 2某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产 量的 15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为 0.05、0.04、 0.03 及 0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？ 该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 解设 Ai第 i 条流水线生产的产品，
11、i1,2,3,4；B抽到不合格品， P(A1)0.15；P(A2)0.20；P(A3)0.30；P(A4)0.35. P(B|A1)0.05；P(B|A2)0.04；P(B|A3)0.03；P(B|A4)0.02， (1)P(B) 4 i1P(Ai)P(B|Ai)0.0315. (2)P(A4|B) PA4PB|A4 4 i1PAiPB|Ai 0.222 2. 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 探究问题 贝叶斯公式的实质是什么？ 提示贝叶斯公式实质上是条件概率公式 P(Bi|A)PBiA PA ，P(BiA) P(Bi)P(A|Bi)，全概率公式 P(A) n i1P(Bi)P(A|Bi)的综
12、合应用 【例 3】假定具有症状 SS1，S2，S3，S4的疾病有 d1，d2，d3三种，现 从 20 000 份患有疾病 d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字： 疾病人数出现 S 症状人数 d17 7507 500 d25 2504 200 d37 0003 500 试问当一个具有 S 中症状的病人前来要求诊断时， 他患有疾病的可能性是多 少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下， 诊断该病人患有这三种疾病中哪 一种较合适？ 解以 A 表示事件“患有出现 S 中的某些症状”， Di表示事件“患者患有疾病 di”(i1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事 件的频率作为概率的近似是合适
13、的，由统计数字可知 P(D1) 7 750 20 0000.387 5，P(D 2) 5 250 20 0000.262 5， P(D3) 7 000 20 0000.35，P(A|D 1)7 500 7 7500.967 7， P(A|D2)4 200 5 2500.8，P(A|D 3)3 500 7 0000.5. 从而 P(A)P(A|D1)P(D1)P(A|D2)P(D2)P(A|D3)P(D3)0.387 50.967 7 0.262 50.80.350.50.76. 由贝叶斯公式得 P(D1|A)PA|D1PD1 PA 0.387 50.967 7 0.76 0.493 4， P(
14、D2|A)PA|D2PD2 PA 0.262 50.8 0.76 0.276 3， P(D3|A)PA|D3PD3 PA 0.350.5 0.76 0.230 3， 从而推测病人患有疾病 d1较为合理 若随机试验可以看成分两个阶段进行， 且第一阶段的各试验结果具体结果怎 样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率 公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段 某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特 征， 在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算， 保证解题的正确高效. 跟进训练 3同一种产品由甲、乙、丙三个
15、厂供应由长期的经验知，三家的正品率 分别为 0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为 235，将三家产品混合在 一起 (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可 能性大？ 解设事件 A 表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、 乙、丙厂生产”， 由已知 P(B1)0.2，P(B2)0.3，P(B3)0.5， P(A|B1)0.95，P(A|B2)0.9，P(A|B3)0.8. (1)由全概率公式得： P(A) 3 i1P(Bi)P(A|Bi)0.20.950.30.90.50.80.86.
16、(2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)PB1PA|B1 PA 0.20.95 0.86 0.220 9， P(B2|A)PB2PA|B2 PA 0.30.9 0.86 0.314 0， P(B3|A)PB3PA|B3 PA 0.50.8 0.86 0.465 1. 由以上 3 个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大 1全概率公式 P(B) n i1P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思 想 2贝叶斯概率公式反映了条件概率 P(B|A)PAB PA ，全概率公式 P(A) n i1P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式 P(AB)P(B)P(A|B)之间的关系 即 P(Bj
17、|A)PBjA PA PBjPA|Bj PA PBjPA|Bj n i1PBiPA|Bi . 1有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2,0.1,0.4， 迟到的概率分别为 0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为() A0.65B0.075 C0.145D0 C设 A1他乘火车来， A2他乘船来， A3他乘汽车来， A4他乘飞机来， B他迟到 易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得 P(B) 4 i1P(Ai)P(B|Ai) 0.30.250.20.30.10.10.40 0.145. 2两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.0
18、4，第二台的废品率为 0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的 2 倍， 现任取一零件，则它是合格品的概率为() A0.21B0.06 C0.94D0.95 D令 B取到的零件为合格品，Ai零件为第 i 台机床的产品，i1,2.由 全概率公式得： P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2) 2 30.96 1 30.930.95.故选 D. 3某小组有 20 名射手，其中一、二、三、四级射手分别有 2、6、9、3 名 又 若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85、 0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则
19、该小组在比赛中射中目标的概率 为_ 0.527 5设 B该小组在比赛中射中目标， Ai选 i 级射手参加比赛，(i1,2,3,4) 由全概率公式，有 P(B) 4 i1P(Ai)P(B|Ai) 2 200.85 6 200.64 9 200.45 3 200.320.527 5. 4袋中有 10 个黑球，5 个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中 取出几个球若已知取出的球全是白球，则掷出 3 点的概率为_ 0.04835设 B取出的球全是白球， Ai掷出 i 点(i1,2，6)，则由贝叶斯公式，得 P(A3|B) PA3PB|A3 6 i1PAiPB|Ai 1 6 C35 C315 5 i
20、1 1 6 Ci5 Ci15 0.048 35. 5设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分 别为1 7， 1 5， 1 4.现从这三个地区任抽取一个人 (1)求此人感染此病的概率； (2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率 解设 Ai第 i 个地区，i1,2,3；B感染此病 P(A1)1 3；P(A 2)1 3；P(A 3)1 3. P(B|A1)1 7；P(B|A 2)1 5；P(B|A 3)1 4. (1)P(B) 3 i1P(Ai)P(B|Ai) 83 4200.198， (2)P(A2|B) PA2PB|A2 3 i1PAiPB|Ai 28 830.337.
