1、课时分层作业(八)向量数量积的坐标表示 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1设 a(1，2)，b(3，1)，c(1，1)，则(ab)(ac)等于() A14B11C10D5 Bab(4，1)，ac(2，3)， (ab)(ac)24(1)(3)11. 2已知AB (2，3)，AC (3，t)，|BC |1，则AB BC () A3B2 C2D3 C因为BC AC AB (1，t3)，所以|BC | 1t321，解得 t3， 所以BC (1，0)，所以AB BC 21302，故选 C 3已知向量 a(1，1)，2ab(4，2)，则向量 a，b 的夹角为() A 6 B 4 C 2 D3 4 B
2、由于 2ab(4，2)，则 b(4，2)2a(2，0)， 则 ab2，|a| 2，|b|2. 设向量 a，b 的夹角为，则 cos ab |a|b| 2 2 . 又0，所以 4. 4已知 O 是坐标原点，A，B 是坐标平面上的两点，且向量OA (1，2)， OB (3，m)若AOB 是直角三角形，则 m() A3 2 B2 C4D3 2或 4 D在 RtAOB 中，AB (4，m2)， 若OAB 为直角时，OA AB 0，可得 m4； 若AOB 为直角时，OA OB 0，可得 m3 2； 若OBA 为直角时，无解 5以原点 O 及点 A(5，2)为顶点作等腰直角三角形 OAB，使 A90，则A
3、B 的坐标为() A(2，5)或(2，5)B(2，5) C(2，5)D(2，5)或(2，5) A设AB (x，y)，由|OA |AB |，得 5222 x2y2. 由OA AB ，得 5x2y0 联立，解得 x2，y5 或 x2，y5. 故AB (2，5)或AB(2，5) 二、填空题 6已知正方形 ABCD，点 E 在边 BC 上，且满足 2BE BC ，设向量AE ，BD 的夹角为，则 cos _. 10 10 因为 2BE BC ，所以 E 为 BC 的中点设正方形的边长为 2， 则|AE | 5，|BD |2 2，AE BD AB 1 2AD (AD AB )1 2|AD |2|AB |
4、2 1 2AD AB 1 22 2222，所以 cos AE BD |AE |BD | 2 52 2 10 10 . 7已知 a(4，2)，则与 a 垂直的单位向量 b_. 5 5 ，2 5 5或 5 5 ，2 5 5设 b(x，y)， 则由 x2y21， 4x2y0， 得 x 5 5 ， y2 5 5 ， 或 x 5 5 ， y2 5 5 . 8 已知OA (2， 2)， OB (4， 1)， O 为坐标原点， 在 x 轴上求一点 P， 使AP BP 有最小值，则 P 点的坐标为_ (3，0)设 P(x，0)，所以AP BP (x2，2)(x4，1)(x2)(x4) 2x26x10(x3)2
5、1，当 x3 时，AP BP有最小值，此时 P(3，0) 三、解答题 9已知 a(4，3)，b(1，2) (1)求 a 与 b 的夹角的余弦； (2)若(ab)(2ab)，求实数的值 解(1)ab4(1)322， |a| 42325，|b| 1222 5， cosa，b ab |a|b| 2 5 5 2 5 25 . (2)ab(4，32)，2ab(7，8)， 又(ab)(2ab)， (ab)(2ab)7(4)8(32)0，52 9 . 10已知OA (4，0)，OB (2，2 3)，OC (1)OA OB (2) (1)求OA OB 及OA 在OB 上的投影向量； (2)求|OC |的最小值
6、 解(1)OA OB 8，设OA 与OB 的夹角为， 则 cos OA OB |OA |OB | 8 44 1 2， OA 在OB 上的投影向量为(|OA |cos ) OB |OB | 41 2 OB 4 OB 2 (1， 3) (2)|OC |2(1)2OA 22(1)OA OB 2OB 2162161616 1 2 2 12， 当1 2时，|OC |取到最小值为 2 3. 1已知向量 a(1， 3)，b(3，m)，若向量 a，b 的夹角为 6，则实数 m 的值为() A2 3B 3C0D 3 D由题意得|a|2，|b| 9m2，ab3 3m2 9m2cos 6，解得 m 3. 2已知 a
7、(4，7)，b(5，2)，则|ab|() A81B9 2 C 26D9 B因为 ab(9，9)，所以|ab| 92929 2. 3 (一题两空)已知正方形ABCD的边长为1， 点E是AB边上的动点， 则DE CB 的值为_；DE DC 的最大值为_ 11以 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示 则 D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)， 设 E(1，a)(0a1) 所以DE CB (1，a)(1，0)1， DE DC (1，a)(0，1)a1， 故DE DC 的最大值为 1. 4窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是 一种独具文化意蕴和审美魅力的
8、重要建筑构件如图，是某古代建筑群的窗户设 计图，窗户的轮廓 ABCD 是边长为 1 米的正方形，内嵌一个小正方形 EfGH，且 E，f ，G，H 分别是 Af ，BG，CH，DE 的中点，则AG DF 的值为_ 0如图所示，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴， 建立直角坐标系. 则 A(0，0)，D(0，1)，延长 Af 与 BC 交于点 I， tanfABFB FA 1 2 BI AB，故 I 为 BC 中点 直线 AI：y1 2x，同理可 得：直线 GB：y2x2， 直线 HC：y1 2x 1 2； 解得：f 4 5， 2 5 ，G 3 5， 4 5 ， 故
9、AG 3 5， 4 5 ，DF 4 5， 3 5 ，AG DF 0. 5已知OP (2，1)，OA (1，7)，OB (5，1)，设 C 是直线 OP 上的一点(其 中 O 为坐标原点) (1)求使CA CB 取得最小值时的OC ； (2)根据(1)中求出的点 C，求 cosACB 解(1)因为点 C 是直线 OP 上一点， 所以向量OC 与OP 共线，设OC tOP ， 则OC (2t，t) CA OA OC (12t，7t)， CB OB OC (52t，1t) CA CB (12t)(52t)(7t)(1t) 5t220t125(t2)28. 当 t2 时，CA CB 取得最小值，此时OC (4，2) (2)当OC (4，2)时，CA (3，5)，CB (1，1)， 所以|CA | 34，|CB | 2，CA CB 8. 所以 cosACB CA CB |CA |CB | 4 17 17 .
