1、1.3交集、并集 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.两个集合的交集是由哪些元素构成的两个集合的交集是由哪些元素构成的? ?用什么符号表示两个集合的交集用什么符号表示两个集合的交集? ? 2.2.两个集合的并集是由哪些元素构成的两个集合的并集是由哪些元素构成的? ?用什么符号表示两个集合的并集用什么符号表示两个集合的并集? ? 1.1.交集交集 (1)(1)定义定义 (2)(2)本质本质: :由由A A、B B两个集合确定一个新的集合两个集合确定一个新的集合, ,此集合是此集合是A A、B B中的公共元素组成中的公共元素组成 的集合的集合, ,这个集合中的元素同时具有集合这个集
2、合中的元素同时具有集合A A和集合和集合B B的属性的属性. . (3)(3)作用作用: :依据定义求两个集合的交集依据定义求两个集合的交集; ;求参数的值或范围求参数的值或范围. . 2.2.并集并集 (1)(1)定义定义 (2)(2)本质本质: :由由A A、B B两个集合确定一个新的集合两个集合确定一个新的集合, ,此集合是所有此集合是所有A A、B B中的元素组成中的元素组成 的集合的集合, ,这个集合中的元素至少具有集合这个集合中的元素至少具有集合A A或集合或集合B B的属性之一的属性之一. . (3)(3)作用作用: :依据定义求两个集合的并集依据定义求两个集合的并集; ;求参数
3、的值或范围求参数的值或范围. . 【思考】【思考】 “xAxA或或xB”xB”包含哪几种情况包含哪几种情况? ?如何用如何用VennVenn图表示图表示? ? 提示提示: :“xA“xA或或xB”xB”这一条件包括下列三种情况这一条件包括下列三种情况:xA,:xA,但但x x B;xB,B;xB,但但 x x A;xA,A;xA,且且xB.xB.用用VennVenn图表示如图所示图表示如图所示. . 3.3.交集、并集的性质交集、并集的性质 (1)AB=BA,AB(1)AB=BA,ABA,ABA,ABB.B. (2)AB=BA,A(2)AB=BA,AAB,BAB,BAB.AB. 4.4.区间的
4、概念区间的概念( (表中表中a,bR,a,bR,且且ab)ab) 闭区间闭区间 符号符号_=x|axb_=x|axb 图示图示 开区间开区间 符号符号_=x|axb_=x|axb 图示图示 左闭右左闭右 开区间开区间 符号符号_=x|axb_=x|axb 图示图示 a,ba,b (a,b)(a,b) a,b)a,b) 左开右左开右 闭区间闭区间 符号符号_=x|axb_=x|aa_= x|xa 图示图示 符号符号_=x|xb_=x|x11 ,B=x|x11 ,B=x|x-1,B=x|x-1,B=x|x2,则则AB=AB=( () ) A.(-1,+)A.(-1,+)B.(-,2)B.(-,2)
5、 C.(-1,2)C.(-1,2)D.D. (2)(2)已知集合已知集合U=R,U=R,集合集合M=x|-2x2M=x|-2x2和和N=y|y=2k-1,kZN=y|y=2k-1,kZ的关系的的关系的VennVenn图如图如 图所示图所示, ,则阴影部分所示的集合的元素共有则阴影部分所示的集合的元素共有( () ) A.3A.3个个B.2B.2个个C.1C.1个个D.0D.0个个 【思路导引】【思路导引】(1)(1)借助于数轴求借助于数轴求AB;AB; (2)(2)分析集合分析集合N N中元素的特征和中元素的特征和VennVenn图表示的含义图表示的含义, ,即即MN,MN,求出集合的元素并判
6、求出集合的元素并判 断元素个数断元素个数. . 【解析】【解析】(1)(1)选选C.C.如图如图 AB= AB= (2)(2)选选B.B.由题意得由题意得, ,阴影部分所示的集合为阴影部分所示的集合为MN,MN,由由N=y|y=2k-1,kZN=y|y=2k-1,kZ知知N N表示表示 奇数集合奇数集合, ,又由又由M=x|-2x2M=x|-2x2得得, ,在在-2x2-2xm-0.5A.1m-0.5B.m-0.5B.m-0.5 C.m-1C.m0,B=x|-1x0,B=x|-1x3,则则AB=_.AB=_. 【解析】【解析】因为因为A= ,B=x|-1x3,A= ,B=x|-1x2m-1,m
7、+12m-1, 解得解得m2,m2, 当当BB 时时, ,为使为使B BA,mA,m需满足需满足 解得解得2m3,2m3, 综上可知综上可知, ,实数实数m m的取值范围为的取值范围为m3.m3. m12m 1 m12 2m 15 ， ， ， (2)(2)先求先求AB=AB= , ,当当B=B= 时由时由(1)(1)知知m2,m4,m4, 综上知当综上知当m2m4m4时时AB=AB= , , 所以若所以若ABAB , ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是2m4.2m4. m12m 1m12m 1 m152m 12 或 ， 类型二并集及其应用类型二并集及其应用( (数学运算、直观想象数学运算
8、、直观想象) ) 角度角度1 1集合的并集运算集合的并集运算 【典例】【典例】(2020(2020淮安高一检测淮安高一检测) )已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 2+2x=0,B=-2,-1,+2x=0,B=-2,-1,则则AB= AB= ( () ) A.2A.2B.-2,-1B.-2,-1 C.2,0C.2,0D.-2,-1,0D.-2,-1,0 【思路导引】【思路导引】利用并集定义直接求解利用并集定义直接求解. . 【解析】【解析】选选D.D.因为集合因为集合A=x|xA=x|x2 2+2x=0=0,-2,B=-2,-1,+2x=0=0,-2,B=-2,-1,所以所以AB=-2,-
9、AB=-2,- 1,0.1,0. 角度角度2 2知并集求参数的值或范围知并集求参数的值或范围 【典例】【典例】(2019(2019沈阳高一检测沈阳高一检测) )已知集合已知集合 且且AB=R,AB=R, 则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () ) A.a1A.a1B.a1B.a1C.a1D.a1D.a1 【思路导引】【思路导引】根据题意画数轴根据题意画数轴, ,分析实数分析实数a a表示的点所在的位置表示的点所在的位置. . Ax|x1Bx|xa， 【解析】【解析】选选A.A.根据题意画出数轴表示集合根据题意画出数轴表示集合A A和和B,B,如图所示如图所示 由图可知由图可知, ,
10、实数实数a a的取值范围是的取值范围是a1.a1. 【变式探究】【变式探究】 本例条件若改为本例条件若改为“A=x|x-1A=x|x5,B=x|ax5,B=x|axa+8,”其他条件不变其他条件不变, ,求实数求实数a a 的取值范围的取值范围. . 【解析】解析】在数轴上表示集合在数轴上表示集合A,BA,B如图所示如图所示. . 因为因为AB=R,AB=R,由数轴可得由数轴可得 解得解得-3a-1.-3a-1. a1 a85 ， ， 【解题策略】【解题策略】 1.1.求集合并集的步骤求集合并集的步骤 (1)(1)识别集合识别集合: :点集或数集点集或数集. . (2)(2)化简集合化简集合:
11、 :明确集合中的元素明确集合中的元素. . (3)(3)求并集求并集: :元素个数有限元素个数有限, ,利用定义或利用定义或VennVenn图求解图求解; ;元素个数无限且是用不等式元素个数无限且是用不等式 表示的数集表示的数集, ,借助数轴求解借助数轴求解; ;对于点集对于点集, ,要注意判断要注意判断ABAB中的元素的特征中的元素的特征. . 提醒提醒: :若两个集合中有相同元素若两个集合中有相同元素, ,在求其并集时在求其并集时, ,只能算作一个只能算作一个. . 2.2.知并集求参数的值或范围的三个关注点知并集求参数的值或范围的三个关注点 (1)(1)关注求并集的过程关注求并集的过程,
12、 ,通过运算结果列方程或不等式求值通过运算结果列方程或不等式求值; ; (2)(2)注意并集的性质注意并集的性质:AB=A:AB=AB BA;A; (3)(3)要始终具有检验意识要始终具有检验意识, ,除了按照条件进行检验外除了按照条件进行检验外, ,还应根据集合元素的互异还应根据集合元素的互异 性进行检验性进行检验. . 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020哈尔滨高一检测哈尔滨高一检测) )已知集合已知集合M=-1,0,M=-1,0,则满足则满足MN=-1,0,1MN=-1,0,1的集合的集合N N 的个数是的个数是( () ) A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.8D
13、.8 【解析】【解析】选选C.C.由由MN=-1,0,1,M=0,-1MN=-1,0,1,M=0,-1可得可得,1N,1N,则集合则集合N N可以为可以为11或或0,10,1 或或-1,1-1,1或或0,-1,1,0,-1,1,共共4 4个个. . 2.2.点集点集A=(x,y)|x0,B=(x,y)|y0,A=(x,y)|x0,B=(x,y)|y0,则则ABAB中的元素不可能在中的元素不可能在( () ) A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限 【解析】【解析】选选A.A.由题意得由题意得,AB,AB中的元素是由横坐标小于中的元素是
14、由横坐标小于0 0或纵坐标小于或纵坐标小于0 0的点构的点构 成的集合成的集合, ,所以所以ABAB中的元素不可能在第一象限中的元素不可能在第一象限. . 3.(20203.(2020扬州高一检测扬州高一检测) )集合集合A=0,2,B=1,aA=0,2,B=1,a2 2,若若AB=0,1,2,4,AB=0,1,2,4,则实数则实数a a 的值为的值为_._. 【解析】【解析】根据题意根据题意, ,若若AB=0,1,2,4,AB=0,1,2,4,则集合则集合A A或或B B必然含有元素必然含有元素4,4,又由又由 A=0,2,B=1,aA=0,2,B=1,a2 2,则则a a2 2=4,=4,
15、即即a=a=2.2. 答案答案: :2 2 【补偿训练】【补偿训练】 已知已知A=x|axa+3,B=x|x-1A=x|axa+3,B=x|x5.x5. (1)(1)若若AB=AB= , ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . (2)(2)若若AB=B,AB=B,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】(1)(1)因为因为AB=AB= , ,所以所以 解得解得-1a2,-1a2,所以实数所以实数a a的取值范围的取值范围 是是-1,2.-1,2. (2)(2)因为因为AB=B,AB=B,所以所以A AB,B, 所以所以a5a5或或a+3-1,a+35a5或或a-4
16、,a-4, 所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是(-,-4)(5,+).(-,-4)(5,+). a1 a35 ， ， 类型三集合交、并、补的综合运算类型三集合交、并、补的综合运算( (数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理) ) 【典例】【典例】(2020(2020连云港高一检测连云港高一检测) )设全集设全集U=R,U=R,集合集合A=x|1x4,B=x|2aA=x|1x4,B=x|2a x3-a,x3-a, (1)(1)若若a=-2,a=-2,求求BA,BBA,B U UA; A; (2)(2)若若AB=A,AB=A,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 四步四步内容内容
17、 理解理解 题意题意 条件条件: :全集全集U=R,U=R,集合集合A=x|1x4,A=x|1x4, B=x|2ax3-aB=x|2ax3-a 结论结论: :若若a=-2,a=-2,求求BA,BBA,B U UA; A; 知知AB=A,AB=A,求求a a的取值范围的取值范围. . 思路思路 探求探求 (1)(1)求出求出 U UA A和 和a=-2a=-2时集合时集合B,B,再计算再计算BA,BBA,B U UA; A; (2)(2)由由AB=AAB=A得得B BA,A,讨论讨论B=B= 和和BB 时时, ,分别求出满足条件分别求出满足条件a a的取值范围的取值范围. . 【解题策略】【解题
18、策略】 求集合交、并、补运算的方法求集合交、并、补运算的方法 【跟踪训练】【跟踪训练】 已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 2+ax+12b=0+ax+12b=0和和B=x|xB=x|x2 2-ax+b=0,-ax+b=0,满足满足( ( R RA)B=2,A A)B=2,A ( ( R RB)=4, B)=4,求实数求实数a,ba,b的值的值. . 【解析】解析】由条件由条件( ( R RA)B=2 A)B=2和和A(A( R RB)=4, B)=4,知知2B,2B,但但2 2 A;4A,A;4A,但但4 4 B.B. 将将x=2x=2和和x=4x=4分别代入分别代入B,AB,A两集合中
19、的方程两集合中的方程, , 得得 即即 解得解得a= ,b=- .a= ,b=- . 2 2 22ab0 44a12b0, ，42ab0 4a3b0. ， 8 7 12 7 【拓展延伸】【拓展延伸】 集合交、并、补的性质集合交、并、补的性质 ( ( U UA)( A)( U UB)= B)= U U(AB); (AB); ( ( U UA)( A)( U UB)= B)= U U(AB). (AB). 证明如下证明如下: : 用用VennVenn图表示图表示( ( U UA)( A)( U UB)= B)= U U(AB), (AB),有有 用用VennVenn图表示图表示( ( U UA)(
20、 A)( U UB)= B)= U U(AB) (AB)有有: : 【拓展训练】【拓展训练】已知全集已知全集U=x|-3x5,U=x|-3x5,集合集合A=x|-3x-2,B=x|-2x1.A=x|-3x-2,B=x|-2x1. (1)(1)求求AB,AB;AB,AB; (2)(2)求求( ( U UA )( A )( U UB ),( B ),( U UA )( A )( U UB ). B ). 【解析】【解析】因为因为A=x|-3x-2,A=x|-3x-2, B=x|-2x1,B=x|-2x1, 所以所以(1)AB=(1)AB= ,AB=x|-3x1;,AB=x|-3x1; (2)(2)
21、( U UA )( A )( U UB )= B )= U U(AB)=x|1x5, (AB)=x|1x5, ( ( U UA )( A )( U UB )= B )= U U(AB)=x|-3x5. (AB)=x|-3x5. 【补偿训练】【补偿训练】 1.1.已知全集已知全集U=U=不大于不大于2020的素数的素数,M,N,M,N为为U U的两个子集的两个子集, ,且满足且满足M(M( U UN) N) =3,5,(=3,5,( U UM)N=7,19,( M)N=7,19,( U UM)( M)( U UN)=2,17, N)=2,17,求求M,N.M,N. 【解析】【解析】方法一方法一:
22、U=2,3,5,7,11,13,17,19,:U=2,3,5,7,11,13,17,19, 如图如图, , 所以所以M=3,5,11,13,N=7,11,13,19.M=3,5,11,13,N=7,11,13,19. 方法二方法二: :因为因为M(M( U UN)=3,5, N)=3,5, 所以所以3M,5M3M,5M且且3 3 N,5N,5 N.N. 又因为又因为( ( U UM)N=7,19, M)N=7,19, 所以所以7N,19N7N,19N且且7 7 M,19M,19 M.M. 又因为又因为( ( U UM)( M)( U UN)=2,17, N)=2,17, 所以所以 U U(MN
23、)=2,17, (MN)=2,17, 所以所以M=3,5,11,13,N=7,11,13,19.M=3,5,11,13,N=7,11,13,19. 2.2.已知集合已知集合U=x|x4,U=x|x4,集合集合A=x|-2x3,B=x|-3x2,A=x|-2x3,B=x|-3x2,求求AB, AB, ( ( U UA)B,A( A)B,A( U UB). B). 【解析】【解析】如图所示如图所示. . 因为因为A=x|-2x3,B=x|-3x2,A=x|-2x3,B=x|-3x2, 所以所以 U UA=x|x-2 A=x|x-2或或3x4,3x4, U UB=x|x-3 B=x|x-3或或2x4
24、. 2x4. AB=x|-2x2, AB=x|-2x2, 所以所以( ( U UA)B=x|x2 A)B=x|x2或或3x4,3x4, A(A( U UB)=x|2x3. B)=x|2x3. 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.已知集合已知集合A=-2,0,2,B=x|xA=-2,0,2,B=x|x2 2-x-2=0,-x-2=0,则则AB=AB=( () ) A.A. B. B. C. C. D.-2D.-2 【解析】【解析】选选B.B.因为因为B=x|xB=x|x2 2-x-2=0-x-2=0 =-1,2,A=-2,0,2,=-1,2,A=-2,0,2,所以所以AB= .AB= .
25、2 0 2 2.2.已知集合已知集合 , ,则则( () ) A.AB= A.AB= B.AB=RB.AB=R C.AB= C.AB= D.AB=D.AB= 【解析】【解析】选选A.A.因为因为 , , 则则AB= ,AB= .AB= ,AB= . A(,1)B(,0) ， A(,1)B(,0) ， (,0) (,1) (,0) (1,) 3.3.设集合设集合A=1,2,B=1,2,3,C=2,3,4,A=1,2,B=1,2,3,C=2,3,4,则则(AB)C=_.(AB)C=_. 【解析】解析】因为因为A=1,2,B=1,2,3,A=1,2,B=1,2,3, 所以所以AB=1,2.AB=1,
26、2.又又C=2,3,4,C=2,3,4, 所以所以(AB)C=1,22,3,4=1,2,3,4.(AB)C=1,22,3,4=1,2,3,4. 答案答案: :1,2,3,41,2,3,4 4.4.已知集合已知集合A=1,2, 4 ,B=a,a+1,A=1,2, 4 ,B=a,a+1,若若AB=2,AB=2,则实数则实数a a的值为的值为_._. 【解析】【解析】因为集合因为集合A=1,2, 4 , B=a,a+1,AB=2A=1,2, 4 , B=a,a+1,AB=2 所以所以a=2a=2或或a+1=2,a+1=2, 当当a=2a=2时时,B=2, 3,AB=2,B=2, 3,AB=2,成立成立; ; 当当a+1=2a+1=2时时,a=1,B=1,2,AB=1, 2 ,a=1,B=1,2,AB=1, 2 ,不成立不成立; ; 综上综上, ,实数实数a a的值为的值为2.2. 答案答案: :2 2 5.(5.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )已知全集已知全集U=R,A=x|-3x5,B=x|-5x-2U=R,A=x|-3x5,B=x|-5x5,x5,分别求分别求AB,AB,AAB,AB,A U UB. B. 【解析】【解析】借助数轴可知借助数轴可知 AB=x|-3x-5,AB=x|-3x-5, AA U UB=x|x-5 B=x|x-5或或-3x5.-3x5.
