1、4.2对数 4.2.1对数的概念 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.对数的概念对数的概念 (1)(1)定义定义: :一般地一般地, ,如果如果a ab b=N(a0,a1),=N(a0,a1),那么就称那么就称b b是以是以a a为底为底N N的对数的对数, ,记作记作 _,_,其中其中,a,a叫作对数的底数叫作对数的底数,N,N叫作真数叫作真数. . (2)(2)特殊对数特殊对数: : 常用对数常用对数: :以以1010为底为底, ,记作记作_;_; 自然对数自然对数: :以以e e为底为底, ,记作记作_._. (3)(3)指数与对数的关系指数与对数的关系: : 当当a0,a1a0
2、,a1时时,a,ab b=N=N_._. 导思导思 1.1.在指数运算在指数运算1.111.11x x=2=2中中, ,怎样计算指数怎样计算指数x?x? 2.2.对数有哪些性质对数有哪些性质? ? logloga aN=bN=b lg Nlg N ln Nln N b=logb=loga aN N 【思考】【思考】 对数式对数式logloga aN N是不是是不是logloga a与与N N的乘积的乘积? ? 提示提示: :不是不是,log,loga aN N是一个整体是一个整体, ,其运算结果是一个实数其运算结果是一个实数. . 2.2.对数的性质对数的性质 (1)(1)负数和负数和0 0没
3、有对数没有对数; ; (2)log(2)loga a1=_;1=_; (3)log(3)loga aa=_.a=_. 0 0 1 1 【思考】【思考】 你能否推导出对数的性质你能否推导出对数的性质(2)(3)?(2)(3)? 提示提示: :因为因为a a0 0=1,=1,所以所以logloga a1=0;1=0; 因为因为a a1 1=a,=a,所以所以logloga aa=1.a=1. 3.3.对数恒等式对数恒等式 =_.=_. a log N a N N 【思考】【思考】 对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系? ? 提示提示: :指数的底
4、数与对数的底数相等指数的底数与对数的底数相等. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)因为因为(-4)(-4)2 2=16,=16,所以所以loglog(-4) (-4)16=2. 16=2.( () ) (2)(2)因为因为3 3x x=81,=81,所以所以loglog81 813=x. 3=x.( () ) (3)log(3)log2 23=log3=log3 32.2.( () ) 提示提示: :(1)(1). .对数的底数不能为负值对数的底数不能为负值. . (2)(2). .应为应为loglog3 38
5、1=x.81=x. (3)(3).log.log2 23log3log3 32,2,两个是不同的对数值两个是不同的对数值. . 2.2.把对数式把对数式x=logx=log2 23232改写为指数式改写为指数式_._. 【解析】【解析】对数式对数式x=logx=log2 23232改写为指数式为改写为指数式为2 2x x=32.=32. 答案答案: :2 2x x=32=32 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) ) 若若ln eln e-2 -2=-x, =-x,则则x=_.x=_. 【解析】【解析】因为因为ln eln e-2 -2=-x, =-x,所以所以e e-
6、x -x=e =e-2 -2, ,所以 所以x=2.x=2. 答案答案: :2 2 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一对数的概念及应用类型一对数的概念及应用( (数学抽象数学抽象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.若若a a2 020 2 020=b(a0 =b(a0且且a1),a1),则则( () ) A.logA.loga ab=2 020b=2 020B.logB.logb ba a=2 020=2 020 C.logC.log2 020 2 020a=b a=bD.logD.log2 020 2 020b=a b=a 2.2.在在M=logM=log(x-3) (x-3)(
7、x+1) (x+1)中中, ,要使式子有意义要使式子有意义,x,x的取值范围为的取值范围为 ( () ) A.(-,3A.(-,3B.(3,4)(4,+)B.(3,4)(4,+) C.(4,+)C.(4,+)D.(3,4)D.(3,4) 3.(3.(多选题多选题) )下列指数式与对数式的互化中下列指数式与对数式的互化中, ,正确的是正确的是( () ) A.10A.100 0=1=1与与lg 10=1lg 10=1 B.27 = B.27 = 与与loglog27 27 =- =- C.logC.log3 39=29=2与与 =3=3 D.logD.log5 55=15=1与与5 51 1=5
8、=5 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 9 【解析】【解析】1.1.选选A.A.若若a a2 020 2 020=b(a0 =b(a0且且a1),a1), 则则2 020=log2 020=loga ab.b. 2.2.选选B.B.由函数的解析式可得由函数的解析式可得 解得解得3x43x4.x4. x10 x30 x31 ， 3.3.选选BD.BD.在在A A中中,10,100 0=1=1lg 1=0,lg 1=0,故故A A错误错误; ; 在在B B中中,27 = ,27 = loglog27 27 =- , =- ,故故B B正确正确; ; 在在C C中中,log,log3 39=2
9、9=23 32 2=9,=9,故故C C错误错误; ; 在在D D中中,log,log5 55=15=15 51 1=5,=5,故故D D正确正确. . 1 3 1 3 1 3 1 3 【解题策略】【解题策略】 关于指数式的范围关于指数式的范围 利用式子利用式子logloga ab b 求字母的范围求字母的范围. . b0 a0 a1 ， ， 【变式探究】【变式探究】 【补偿训练】【补偿训练】在在b=logb=loga a(5-a)(5-a)中中, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是( () ) A.a5A.a5或或a0a0B.0a1B.0a1或或1a51a5 C.0a1C.0a1D.1
10、a5D.1a5 【解析解析】选选B.B.由对数的定义可知由对数的定义可知 解得解得0a50a0,x0, 所以所以x= ,x= ,所以所以正确正确; ; 由由loglog10 10100=x 100=x得得,10,10 x x=100.=100.所以所以x=2,x=2,所以所以错误错误; ; 由由-ln e-ln e2 2=x=x得得,x=-2,x=-2,所以所以正确正确; ; 所以正确的题号是所以正确的题号是. . 2 3 1 16 2 3 64 2 角度角度2 2对数性质的应用对数性质的应用 【典例】【典例】已知已知loglog2 2loglog4 4(log(log3 3x)=logx)=
11、log3 3loglog4 4(log(log2 2y)=0,y)=0,则则x+y=_.x+y=_. 【思路导引】【思路导引】由外向内求出由外向内求出x,yx,y后求和后求和. . 【解析】【解析】由题意可得由题意可得loglog4 4(log(log3 3x)=1,x)=1,所以所以loglog3 3x=4,x=4,所以所以x=3x=34 4=81;=81; 同理可得同理可得loglog4 4(log(log2 2y)=1,y)=1,所以所以loglog2 2y=4,y=4, 所以所以y=2y=24 4=16,=16,所以所以x+y=97.x+y=97. 答案答案: :9797 【变式探究】
12、【变式探究】 将等式变为将等式变为loglog2 2loglog4 4(log(log3 3x)=logx)=log3 3loglog4 4(log(log2 2y)=1,y)=1,试求试求x+y.x+y. 【解析】【解析】由题意由题意,log,log4 4(log(log3 3x)=2,x)=2,得得loglog3 3x=16,x=16,得得x=3x=316 16;log ;log4 4(log(log2 2y)=3,y)=3,得得 loglog2 2y=64,y=64,得得y=2y=264 64. . 所以所以x+y=3x+y=316 16+2 +264 64. . 【解题策略】【解题策略
13、】 1.1.关于指数式与对数式的互化关于指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化关系指数式与对数式的互化关系: : 2.2.对数性质在求值中的应用对数性质在求值中的应用 此类题目一般都有多层此类题目一般都有多层, ,解题方法是利用对数的性质解题方法是利用对数的性质, ,从外向里逐层求值从外向里逐层求值. . 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020乌鲁木齐高一检测乌鲁木齐高一检测) )设设m=logm=loga a3,log3,loga a=n,=n,则则a a2m-n 2m-n=( =() ) 【解析】【解析】选选C.C.因为因为m=logm=loga a3,log3,log
14、a a=n.=n. 所以所以a am m=3,a=3,an n=.=.所以所以a a2m-n 2m-n= = 39 A. B. C. D. 39 2m n a9 . a 2.2.计算计算loglog3 3loglog3 3(log(log2 28)8)等于等于( () ) A.1A.1B.16B.16C.4C.4D.0D.0 【解析解析】选选D.D.令令loglog2 28=x,8=x,则则2 2x x=8,=8,所以所以x=3.x=3. 所以所以loglog3 3loglog3 3(log(log2 28)=log8)=log3 3(log(log3 33)=log3)=log3 31=0.
15、1=0. 【补偿训练】【补偿训练】若若loglog2 2loglog2 2(log(log2 2x)=0,x)=0,则则x=x=( () ) A.2A.2B.4B.4C.1C.1D. D. 【解析解析】选选B.B.若若loglog2 2loglog2 2(log(log2 2x)=0,x)=0, 则则loglog2 2(log(log2 2x)=1,x)=1,则则loglog2 2x=2,x=2,解得解得:x=4.:x=4. 1 4 类型三对数恒等式的应用类型三对数恒等式的应用( (数学运算数学运算) ) 【典例】【典例】1. =(1. =() ) 2.2.若若x=logx=log4 43,3
16、,则则2 24 4x x+4+4-x -x=_. =_. 【思路导引】【思路导引】1.1.先利用指数运算性质拆分先利用指数运算性质拆分, ,再利用对数恒等式求值再利用对数恒等式求值. . 2.2.直接将直接将x x代入所求式代入所求式, ,再利用对数恒等式求值再利用对数恒等式求值. . 2 1 log2 2 21 A. B. 2 C.2 D.2 2 22 【解析】【解析】1.1.选选A. =2A. =2-1 -1 = = = . = . 2.2.由由x=logx=log4 43,3,则则2 24 4x x+4+4-x -x=2 =2 + = + = 2 23+ =6+ = .3+ =6+ =
17、. 答案答案: : 2 1 log2 2 2 log2 2 1 2 2 2 2 4 log 3 4 4 -log 3 4 4 log 3 1 4 1 3 19 3 19 3 【解题策略】【解题策略】 关于对数恒等式的应用关于对数恒等式的应用 首先利用指数运算性质变形首先利用指数运算性质变形, ,变形为变形为 的形式的形式, ,再利用对数恒等式计算求值再利用对数恒等式计算求值. . a log b a 【跟踪训练】【跟踪训练】 (2020(2020绍兴高一检测绍兴高一检测) )若若a=loga=log2 23,3,则则2 2a a+2+2-a -a=_. =_. 【解析】【解析】因为因为a=lo
18、ga=log2 23,3,所以所以2 2a a+2+2-a -a= = 答案答案: : 22 2 log 3log 3 log 3 1110 2233. 233 （） 10 3 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1. +log1. +log2 22 2等于等于( () ) A. A. B.3B.3C.4C.4D.5D.5 【解析】【解析】选选D.D.原式原式=4+1=5.=4+1=5. 2 1 ( ) 2 5 4 2.(20202.(2020杭州高一检测杭州高一检测) )已知已知loglogx x8=3,8=3,则则x x的值为的值为( () ) A. A. B.2B.2C.3C.3D.4D.
19、4 【解析】【解析】选选B.B.因为因为loglogx x8=3,8=3,所以所以x x3 3=8,=8,解得解得x=2.x=2. 1 2 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) ) 若若1010m m= ,= ,则则m=_.m=_. 【解析】【解析】因为因为1010m m= ,= ,则则m=lg .m=lg . 答案答案: :lglg 3 33 3 4.ln(lg 10)=_.4.ln(lg 10)=_. 【解析】【解析】ln(lg 10)=ln 1=0.ln(lg 10)=ln 1=0. 答案答案: :0 0 5.5.若对数若对数ln(xln(x2 2-5x+6)-5x+6)存在存在, ,则则x x的取值范围为的取值范围为_._. 【解析】【解析】因为对数因为对数ln(xln(x2 2-5x+6)-5x+6)存在存在, , 所以所以x x2 2-5x+60,-5x+60,所以解得所以解得x3x3或或x2,x2, 即即x x的取值范围为的取值范围为:(-,2)(3,+).:(-,2)(3,+). 答案答案: :(-,2)(3,+)(-,2)(3,+)
