1、关键能力合作学习 课堂检测素养达标 第2课时函数奇偶性的应用 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一利用奇偶性求函数的解析式类型一利用奇偶性求函数的解析式( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】1.1.若函数若函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-2x-1,-2x-1,求函数求函数 f(x)f(x)的解析式的解析式. . 2.2.设设f(x)f(x)是偶函数是偶函数,g(x),g(x)是奇函数是奇函数, ,且且f(x)+g(x)=xf(x)+g(x)=x2 2+2x,+2x,求函数求函数f(x),g(x
2、)f(x),g(x)的解的解 析式析式. . 【思路导引】【思路导引】1.1.已知已知x0 x0时的解析式时的解析式, ,用奇偶性求用奇偶性求x0 x0时的解析式时的解析式, ,应通过应通过(-x)(-x)进进 行过渡行过渡, ,但别忽视但别忽视x=0 x=0的情况的情况. . 2.2.根据函数的奇偶性根据函数的奇偶性, ,用用-x-x代替原式中的代替原式中的x,x,再利用方程思想分别求出再利用方程思想分别求出f(x),g(x)f(x),g(x) 的解析式的解析式. . 【解析】【解析】1.1.当当x0 x0,-x0, f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-2(-x)-1=x-2(-
3、x)-1=x2 2+2x-1,+2x-1, 因为函数因为函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以f(x)=-f(-x),f(x)=-f(-x), 所以所以x0 x0 x0时时,f(x)=-x+1,f(x)=-x+1,求求f(x)f(x)的解析式的解析式. . 【解析】【解析】设设x0,x0,-x0, 所以所以f(-x)=-(-x)+1=x+1,f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又因为函数又因为函数f(x)f(x)是定义域为是定义域为R R的奇函数的奇函数, , 所以所以f(-x)=-f(x)=x+1f(-x)=-f(x)=x+1 所以当所以当x0 xf(-3)f(-2)A.f()
4、f(-3)f(-2) B.f()f(-2)f(-3)B.f()f(-2)f(-3) C.f()f(-3)f(-2)C.f()f(-3)f(-2) D.f()f(-2)f(-3)D.f()f(-2)32,32, 所以所以f()f(3)f(2),f()f(3)f(2),故故f()f(-3)f(-2).f()f(-3)f(-2). 【变式探究】【变式探究】 将典例改为将典例改为: :函数函数y=f(x)y=f(x)在在0,20,2上是增函数上是增函数, ,且函数且函数f(x+2)f(x+2)是偶函数是偶函数, ,则下列结则下列结 论成立的是论成立的是( () ) 5775 A.f(1)f( )f(
5、) B.f( )f(1)f() 2222 7557 C.f( )f( )f(1) D.f( )f(1)f() 2222 【解析】【解析】选选B.B.因为函数因为函数f(x+2)f(x+2)是偶函数是偶函数, , 所以函数所以函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=2x=2对称对称, , 所以所以 又又f(x)f(x)在在0,20,2上是增函数上是增函数, , 所以所以 5371 f( )f( )f( )f( ) 2222 ， 1375 f( )f(1)f( )f( )f(1)f( ). 2222 ，即 角度角度2 2解不等式问题解不等式问题 【典例】【典例】已知定义在已知定义在-2
6、,2-2,2上的奇函数上的奇函数f(x)f(x)在区间在区间0,20,2上是减函数上是减函数, ,若若f(1-f(1- m)f(m),m)f(m),求实数求实数m m的取值范围的取值范围. . 【思路导引】【思路导引】根据函数的单调性根据函数的单调性, ,判断判断1-m1-m与与m m的大小关系的大小关系, ,注意函数的定义域注意函数的定义域, , 保证保证1-m1-m与与m m都在定义域内都在定义域内. . 【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)在区间在区间-2,2-2,2上为奇函数上为奇函数, ,且在区间且在区间0,20,2上是减函数上是减函数, ,所以所以 f(x)f(x)在在-2,2
7、-2,2上是减函数上是减函数. . 又又f(1-m)f(m),f(1-m)f(m), 所以所以 即即 解得解得-1m .-1m . 故实数故实数m m的取值范围是的取值范围是-1m .-1m . 21m2 2m2 1mm ， ， ， 1m3 2m2 1 m. 2 ， ， 1 2 1 2 【解题策略】【解题策略】 比较大小的求解策略比较大小的求解策略, ,看自变量是否在同一单调区间上看自变量是否在同一单调区间上 (1)(1)在同一单调区间上在同一单调区间上, ,直接利用函数的单调性比较大小直接利用函数的单调性比较大小; ; (2)(2)不在同一单调区间上不在同一单调区间上, ,需利用函数的奇偶性
8、把自变量转化到同一单调区间上需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上, , 然后利用单调性比较大小然后利用单调性比较大小. . 【拓展延伸】【拓展延伸】 利用函数的奇偶性比较大小时利用函数的奇偶性比较大小时, ,根据奇偶性的对称性质根据奇偶性的对称性质, ,常需要比较自常需要比较自 变量的绝对值的大小变量的绝对值的大小, ,即自变量距离原点的距离即自变量距离原点的距离. . 【拓展训练】【拓展训练】 定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)f(x)在在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,若若f(a)f(b),f(a)f(b),则一定可得则一定可得 ( () ) A.abA.a
9、bB.ab C.|a|b|C.|a|b|D.0abD.0ab 【解析】【解析】选选C.C.因为因为f(x)f(x)是是R R上的偶函数上的偶函数, ,且在且在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,所以由所以由 f(a)f(b)f(a)f(b)可得可得|a|b|.|a|b|. 【题组训练】【题组训练】 1.1.定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)f(x)满足满足: :对任意对任意x x1 1,x,x2 20,+)(x0,+)(x1 1xx2 2),), 有有 0,0,则则( () ) A.f(3)f(-2)f(1)A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)B.f(
10、1)f(-2)f(3) C.f(-2)f(1)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2)D.f(3)f(1)f(-2) 12 12 f(x )f(x ) xx 【解析】【解析】选选A.A.根据题意根据题意, ,函数函数f(x)f(x)为偶函数为偶函数, , 则则f(-2)=f(2),f(-2)=f(2),函数函数f(x)f(x)满足满足: :对任意对任意x x1 1,x,x2 20,+)(x0,+)(x1 1xx2 2),),有有 0,0, 则函数则函数f(x)f(x)在在0,+)0,+)上是减函数上是减函数, , 则则f(3)f(2)f(1),f(3)f(2)f(1
11、), 又由又由f(-2)=f(2),f(-2)=f(2),则则f(3)f(-2)f(1).f(3)f(-2)f(x+1),f(2x)f(x+1),则则x x的取值范围为的取值范围为_._. 【解析】【解析】根据题意根据题意, ,函数函数y=f(x)y=f(x)为偶函数且在为偶函数且在0,+)0,+)上是减函数上是减函数, ,则则 f(2x)f(x+1)f(2x)f(x+1)f(|2x|)f(|x+1|)f(|2x|)f(|x+1|)|2x|x+1|,|2x|x+1|,变形可得变形可得:3x:3x2 2-2x-10,-2x-10, 解得解得:- x1,:- x1,即即x x的取值范围为的取值范围
12、为 . . 答案答案: : 1 3 1 (,1) 3 1 (,1) 3 类型三奇偶性、单调性的综合应用类型三奇偶性、单调性的综合应用( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】已知函数已知函数f(x)= f(x)= 是定义在是定义在(-1,1)(-1,1)上的奇函数上的奇函数, ,且且 (1)(1)确定函数确定函数f(x)f(x)的解析式的解析式. . (2)(2)用定义证明用定义证明f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上是增函数上是增函数. . (3)(3)解不等式解不等式:f(t-1)+f(t)0.:f(t-1)+f(t)0. 2 axb 1x 12 f( ). 25 【思路导引
13、】【思路导引】(1)(1)利用函数奇偶性的性质和利用函数奇偶性的性质和 求出函数解析式求出函数解析式. . (2)(2)利用函数单调性的定义证明利用函数单调性的定义证明. . (3)(3)利用奇偶性转化不等式利用奇偶性转化不等式, ,再利用单调性证明不等式再利用单调性证明不等式, ,证明时注意函数的定义证明时注意函数的定义 域域. . 12 f( ). 25 【解析】【解析】(1)(1)由题意得由题意得 所以所以 故故f(x)= f(x)= (2)(2)设设x x1 1,x,x2 2是是(-1,1)(-1,1)上任意两个值且上任意两个值且x x1 1xx2 2, , 因为因为f(xf(x1 1
14、)-f(x)-f(x2 2)= )= 因为因为-1x-1x1 1xx2 21,1, 所以所以x x1 1-x-x2 20,1+ 0,0,1+ 0, -1x-1x1 1x x2 21,0.0. f(0) 0 12 f( ) 25 ， ， a 1 b0 ， ， 2 x . 1x 121212 2222 1212 xx(xx )(1x x ) . 1x1x(1x )(1x ) 2 1 x 2 2 x 所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0, 所以所以f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上是增函数上是增函数. . (3)f(t-1)-f(t)=f(-t).(3)f(t-
15、1)-f(t)=f(-t). 因为因为f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上是增函数上是增函数, , 所以所以-1t-1-t1,-1t-1-t1,解得解得0t .0t . 所以不等式的解集为所以不等式的解集为 1 2 1 t|0t. 2 【解题策略】【解题策略】 奇偶性、单调性的综合应用奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化利用函数的奇偶性将函数式转化, ,利用单调性解决常见不等式问题利用单调性解决常见不等式问题, ,在综合性题在综合性题 目中目中, ,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形, ,适当应用解题技巧适当应用解题技巧, ,化
16、简求值化简求值. . 解题时解题时, ,一定要特别注意函数的定义域一定要特别注意函数的定义域. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 (2020(2020南京高一检测南京高一检测) )已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且当且当x0 x0时有时有 f(x)= ,(mf(x)= ,(m为常数为常数).). (1)(1)求求m m的值的值, ,并求并求f(x)f(x)的解析式的解析式; ; (2)(2)求求f(x)f(x)的值域的值域; ; (3)(3)若若f(3a+1)+f(af(3a+1)+f(a2 2-4a-13)0.-4a-13)0.求实数求实数a a的
17、取值范围的取值范围. . 3xm x2 【解析】【解析】(1)f(x)(1)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且当且当x0 x0时有时有f(x)= ,f(x)= , 由奇函数的性质可得由奇函数的性质可得,f(0)= m=0,f(0)= m=0, 所以所以m=0,m=0,当当x0 x0时时,f(x)= ,f(x)= , 当当x0 x0,-x0,则则f(-x)=-f(x)= ,f(-x)=-f(x)= , 所以所以f(x)= ,f(x)= ,故故f(x)= f(x)= (2)(2)当当x0 x0时时,f(x)= 0,3),f(x)= 0,3), 根据奇函数的对称性可知根据奇函
18、数的对称性可知, ,当当x0 x0时时,f(x)(-3,0),f(x)(-3,0), 根据分段函数的性质可知根据分段函数的性质可知, ,函数的值域为函数的值域为(-3,3);(-3,3); 3xm x2 1 2 3x x2 3x x2 3x x2 3x x0, x2 3x ,x0. x2 ， 3x6 3 x2x2 (3)(3)因为因为f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且在且在R R上是增函数上是增函数, , 若若f(3a+1)+f(af(3a+1)+f(a2 2-4a-13)0,-4a-13)0, 则有则有f(af(a2 2-4a-13)-f(3a+1),-4a-
19、13)-f(3a+1), 即即f(af(a2 2-4a-13)f(-1-3a),-4a-13)f(-1-3a), 则有则有a a2 2-4a-13-1-3a,-4a-13-1-3a, 变形可得变形可得a a2 2-a-120,-a-120,解可得解可得-3a4,-3a0 x0时时,y=x+1,y=x+1,所以在所以在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数; ;另外函数另外函数y=xy=x3 3不是偶函数不是偶函数; ; y=-xy=-x2 2+1+1在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数;y= ;y= 不是偶函数不是偶函数. . 2 x 2 x 3.(3.(教材二次开发教材二次开发:
20、:练习改编练习改编) )一个偶函数定义在区间一个偶函数定义在区间-7,7-7,7上上, ,它在它在0,70,7上的上的 图象如图图象如图, ,下列说法正确的是下列说法正确的是( () ) A.A.这个函数仅有一个增区间这个函数仅有一个增区间 B.B.这个函数有两个减区间这个函数有两个减区间 C.C.这个函数在其定义域内有最大值是这个函数在其定义域内有最大值是7 7 D.D.这个函数在其定义域内有最小值是这个函数在其定义域内有最小值是-7-7 【解析】【解析】选选C.C.根据偶函数在根据偶函数在0,70,7上的图象及其对称性上的图象及其对称性, ,作出函数在作出函数在-7,0-7,0上的上的 图
21、象图象, ,如图所示如图所示, ,可知这个函数有三个增区间可知这个函数有三个增区间; ;有三个减区间有三个减区间; ;在其定义域内有最在其定义域内有最 大值是大值是7;7;在其定义域内最小值不是在其定义域内最小值不是-7.-7. 4.4.如果奇函数如果奇函数f(x)f(x)在区间在区间1,51,5上是减函数上是减函数, ,且最小值为且最小值为3,3,那么那么f(x)f(x)在区间在区间 -5,-1-5,-1上上( () ) A.A.是增函数且最小值为是增函数且最小值为3 3 B.B.是增函数且最大值为是增函数且最大值为3 3 C.C.是减函数且最小值为是减函数且最小值为-3-3 D.D.是减函
22、数且最大值为是减函数且最大值为-3-3 【解析】【解析】选选D.D.当当-5x-1-5x-1时时,1-x5,1-x5,所以所以f(-x)3,f(-x)3,即即-f(x)3.-f(x)3.从而从而 f(x)-3,f(x)-3,又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同, ,故故f(x)f(x)在在-5,-1-5,-1上上 是减函数是减函数. . 5.5.偶函数偶函数f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)内的最小值为内的最小值为2 020,2 020,则则f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上的最小值为上的最小值为 _._. 【解析】【解析】由于偶函数的图象关于由于偶函数的图象关于y y轴对称轴对称, , 所以所以f(x)f(x)在对称区间内的最值相等在对称区间内的最值相等. . 又当又当x(0,+)x(0,+)时时,f(x),f(x)min min=2 020, =2 020, 故当故当x(-,0)x(-,0)时时,f(x),f(x)min min=2 020. =2 020. 答案答案: :2 0202 020 本课结束本课结束
