1、第2课时指数函数及其性质的 应用 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一指数函数的图象及应用类型一指数函数的图象及应用( (直观想象直观想象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数y=2y=2-|x| -|x|的大致图象是 的大致图象是( () ) 2.2.函数函数f(x)=af(x)=ax-2 018 x-2 018+2 019(a0 +2 019(a0且且a1)a1)所过的定点坐标为所过的定点坐标为_._. 3.3.若直线若直线y=2ay=2a与函数与函数y=ay=ax x-1|+1(a0,-1|+1(a0,且且a1)a1)的图象有两个公共点的图象有两个公共点, ,则则a a的
2、取值的取值 范围是范围是_._. 【解析】【解析】1.1.选选C.C.函数函数y= y= 因为因为y=2y=2-|x| -|x|是偶函数 是偶函数, ,所以图象关于所以图象关于y y轴对称轴对称, , 所以函数图象在所以函数图象在y y轴右侧为减函数轴右侧为减函数,0y1,0y1, 左侧为增函数左侧为增函数,0y1.,01a1时时, ,通过平移变换和翻折变换可得如图通过平移变换和翻折变换可得如图(1)(1)所示的图象所示的图象, ,则由图知则由图知12a2,12a2, 即即 a1,a1a1矛盾矛盾. .当当0a10a1时时, ,同样通过平移变换和翻折变换可得如图同样通过平移变换和翻折变换可得如
3、图(2)(2) 所示的图象所示的图象, ,则由图可知则由图可知12a2,12a2,即即 a1,a0,(a0,且且a1)a1)的图象过定点的图象过定点(0,1),(0,1),据此据此, ,可解决形如可解决形如y=ky=ka ax+c x+c +b(k0,a0,+b(k0,a0,且且a1)a1)的函数图象过定点的问题的函数图象过定点的问题, ,即令即令x=-c,x=-c,得得y=k+b,y=k+b,函数图象函数图象 过定点过定点(-c,k+b).(-c,k+b). 2.2.画指数型函数图象的基本方法画指数型函数图象的基本方法 画指数型函数的图象的基本方法是描点法和图象变换法画指数型函数的图象的基本
4、方法是描点法和图象变换法. .对于不熟悉的函数对于不熟悉的函数, ,常常 采用取图象上的几个特殊点采用取图象上的几个特殊点, ,描点、连线、作图描点、连线、作图; ;而图象变换法适用于相关函数而图象变换法适用于相关函数 图象已知或容易画出的情况图象已知或容易画出的情况, ,要求熟悉要求熟悉y=2y=2x x,y= y=10,y= y=10 x x,y= ,y= 的图象的图象. .画画 函数图象时函数图象时, ,若解析式不是最简形式若解析式不是最简形式, ,需先化简解析式需先化简解析式; ;若是分段函数若是分段函数, ,则分别画则分别画 出各部分的图象出各部分的图象, ,最后得到所求函数的整体图
5、象最后得到所求函数的整体图象. . x 1 ( ) , 2 x 1 () 10 【补偿训练】【补偿训练】 若函数若函数y=ay=ax x-(b+1)(a0,a1)-(b+1)(a0,a1)的图象过第一、三、四象限的图象过第一、三、四象限, ,则必有则必有( () ) A.0a0A.0a0B.0a1,b0B.0a1,b1,b1,b1,b0D.a1,b0 【解析解析】选选D.D.由指数函数由指数函数y=ay=ax x图象的性质知函数图象的性质知函数y=ay=ax x的图象过第一、二象限的图象过第一、二象限, ,且且 恒过恒过(0,1),(0,1),而函数而函数y=ay=ax x-(b+1)(a0,
6、a1)-(b+1)(a0,a1)的图象是由的图象是由y=ay=ax x的图象向下平移的图象向下平移(b+1)(b+1) 个单位长度得到的个单位长度得到的, ,如图所示如图所示, ,故若函数故若函数y=ay=ax x-(b+1)(a0,a1)-(b+1)(a0,a1)的图象过第一、的图象过第一、 三、四象限三、四象限, ,则则a1,b+11,a1,b+11,即即a1,b0.a1,b0. 类型二指数型函数的单调性及值域问题类型二指数型函数的单调性及值域问题( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【典例】【典例】求函数求函数y= y= 的单调递增区间、值域的单调递增区间、值域. . 2 x
7、x 2 1 ( 2 ) 【解题策略】【解题策略】复合函数的单调性、值域复合函数的单调性、值域 (1)(1)分层分层: :一般分为外层一般分为外层y=ay=at t, ,内层内层t=f(x).t=f(x). (2)(2)单调性复合单调性复合: :复合法则复合法则“同增异减同增异减”, ,即内外层的单调性相同则为增函数即内外层的单调性相同则为增函数, ,单单 调性相反则为减函数调性相反则为减函数. . (3)(3)值域复合值域复合: :先求内层先求内层t t的值域的值域, ,再利用单调性求再利用单调性求y=ay=at t的值域的值域. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 函数函数f(x)= f(x)=
8、的单调递减区间是的单调递减区间是_,_,值域是值域是_._. 【解析】【解析】令令t=xt=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1,-1,则则f(x)= f(x)= 利用二次函数的性质可得函数利用二次函数的性质可得函数t t的的 增区间为增区间为1,+),1,+),所以函数所以函数f(x)= f(x)= 的减区间是的减区间是1,+);1,+); 因为因为t-1,t-1,所以所以 所以函数所以函数f(x)= f(x)= 的值域为的值域为 答案答案: :1,+)1,+) 2 x2x 2 ( ) 3 t 2 ( ) 3 ， 2 x2x 2 ( ) 3 3 f(x) 2 ， 2 x2x
9、 2 ( ) 3 3 (. 2 ， 3 (. 2 ， 【拓展延伸】【拓展延伸】与指数函数有关的抽象函数问题与指数函数有关的抽象函数问题 抽象函数有时也称隐函数抽象函数有时也称隐函数, ,解决这类问题可以类比与之具有相同性质的具体函解决这类问题可以类比与之具有相同性质的具体函 数数( (如二次函数、反比例函数、指数函数等如二次函数、反比例函数、指数函数等),),联想它的变形方法、求解方法联想它的变形方法、求解方法, ,并并 尝试运用到抽象函数中尝试运用到抽象函数中. . 【拓展训练】【拓展训练】 (2020(2020天津高一检测天津高一检测) )已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域
10、为R,R,且对任意的且对任意的x,yRx,yR有有 f(x+y)=f(x)+f(y).f(x+y)=f(x)+f(y).当当x0 x0时时,f(x)0,f(1)=2.,f(x)0,f(1)=2. (1)(1)求求f(0)f(0)并证明并证明f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性; ; (2)(2)判断判断f(x)f(x)的单调性并证明的单调性并证明; ; (3)(3)求求f(3),f(3),若若f(4f(4x x-a)+f(6+2-a)+f(6+2x+1 x+1)6 )6对任意对任意xRxR恒成立恒成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】(1)f(0)=f(0+0)=
11、f(0)+f(0),(1)f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0), 所以所以f(0)=0,f(0)=0, 又因为又因为f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R关于原点对称关于原点对称, , f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), 所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . (2)(2)任取任取x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1xx2 2, ,则则x x1 1-x-x2 20,0, f(xf(x1 1-x-x2 2)=f(x)=f(x1 1)+f(-x)+f(-
12、x2 2)=f(x)=f(x1 1)-f(x)-f(x2 2),), 因为因为x x1 1-x-x2 20,0,所以所以f(xf(x1 1-x-x2 2)0,)0, 所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,f(x)0,f(x)单调递增单调递增. . (3)(3)因为因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6,f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6,因为因为f(4f(4x x-a)+f(6+2-a)+f(6+2x+1 x+1)6=f(3), )6=f(3), 所以所以f(4f(4x x-a+6+2-a+6+2x+1 x+1)f(3
13、), )f(3),由由(2)(2)知知f(x)f(x)单调递增单调递增, ,所以所以4 4x x-a+6+2-a+6+2x+1 x+13, 3,所以所以 a(2a00成立成立, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () ) A. (4,8)A. (4,8)B. 4,8)B. 4,8)C. (1,+)C. (1,+)D. (1,8)D. (1,8) 【思路导引】【思路导引】根据函数的单调性根据函数的单调性, ,分别从每一段、分界点处函数值的关系列出分别从每一段、分界点处函数值的关系列出 不等式求范围不等式求范围. . x a ,x1 a (4)x2,x1 2 ， ， 12 12 fx
14、fx xx （ ） （） 【解析】【解析】选选B.B.因为分段函数为增函数因为分段函数为增函数, , 所以需满足所以需满足 解得解得4a8.4a8. a1 a 40 2 a a6, 2 ， ， 【变式探究】【变式探究】 若将本例中的函数改为若将本例中的函数改为f(x)= f(x)= 其他条件不变其他条件不变, ,试求试求a a的范围的范围. . 【解析】【解析】因为函数因为函数f(x)f(x)满足对任意满足对任意x x1 1xx2 2, , 都有都有f(xf(x1 1)f(x)0ff(x)+f(3-m)0恒成立恒成立, ,求求m m的取值范围的取值范围. . 【思路导引】【思路导引】先求出先求
15、出a a的值的值, ,再根据定义判断、证明单调性再根据定义判断、证明单调性; ;利用函数的性质转利用函数的性质转 化不等式化不等式, ,分离出分离出m m后求范围后求范围. . x x a 21 12 【解析】【解析】(1)(1)因为因为f(x)f(x)为为R R上的奇函数上的奇函数, , 所以所以f(0)=0,f(0)=0,即即 =0,=0,由此得由此得a=1,a=1, 所以所以f(x)= f(x)= 所以所以f(x)f(x)为为R R上的增函数上的增函数. . 证明证明: :设设x x1 1xx2 2, ,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)= 因为因为x x1 1xx2
16、 2, ,所以所以 0,0, 所以所以f(xf(x1 1)f(x)-f(3-m),ff(x)-f(3-m), 即即ff(x)f(m-3),ff(x)f(m-3), 又因为又因为f(x)f(x)为为R R上的增函数上的增函数, ,所以所以f(x)m-3,f(x)m-3, 由此可得不等式由此可得不等式mf(x)+3=4- m002 2x x+11+110 0 2 2-2- 0-2- 024- 4,24- 4,所以所以m2.m2. x 2 21 x 2 21 x 2 21 x 2 21 【解题策略】【解题策略】 1.1.关于分段函数关于分段函数y= y= 的单调性的单调性 (1)(1)增函数增函数:
17、 : 均为增函数均为增函数, ,且且 (2)(2)减函数减函数: : 均为减函数均为减函数, ,且且 2.2.含参数恒成立问题的一种处理方法含参数恒成立问题的一种处理方法 将参数分离到左侧将参数分离到左侧, ,根据不等号恒成立的方向根据不等号恒成立的方向, ,求出右侧函数的最大值或最小求出右侧函数的最大值或最小 值值, ,即可得到参数的范围即可得到参数的范围. . 0 0 f(x),xx g(x),xx ， f(x),g(x) f(x),g(x) 0 f(x ) 0 g(x ). 0 f(x )0 g(x ). 特别提醒特别提醒: :已知分段函数的单调性求参数的范围时已知分段函数的单调性求参数
18、的范围时, ,容易忽视判断分界点处取值容易忽视判断分界点处取值 的大小的大小. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数f(x)= f(x)= 在区间在区间(-,1)(-,1)内递增内递增, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 【解析】【解析】由函数由函数f(x)= f(x)= 在区间在区间(-,1)(-,1)内递增内递增, ,可得函数可得函数y=-xy=-x2 2+2ax+2ax在区在区 间间(-,1)(-,1)内递增内递增, ,故有故有a1.a1. 答案答案: :1,+)1,+) 2 x2ax 3 2 x2ax 3 2.2.若函数若函数f(x)= f(x)= 为为R R上的
19、增函数上的增函数, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是 ( () ) A.3a4A.3a4B.1a4B.1a4 C.1a4C.1a4D.3a4D.3a4 【解析解析】选选A.A.因为函数因为函数f(x)f(x)在在R R上为增函数上为增函数, , 所以所以 解得解得3a4.3a4. 所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是3a4.3a4. x a1,x1, 4axa,x1 （ ） 1 a1, 4a0 a14a1 a ， （）， 类型四指数函数模型的实际应用类型四指数函数模型的实际应用( (数学建模数学建模) ) 【典例】【典例】某地下车库在排气扇发生故障的情况下某地下车库在排气
20、扇发生故障的情况下, ,测得空气中一氧化碳的含量测得空气中一氧化碳的含量 达到了危险状态达到了危险状态, ,经抢修后恢复正常经抢修后恢复正常. .排气排气4 4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度分钟后测得车库内的一氧化碳浓度 为为64 ppm(ppm64 ppm(ppm为浓度单位为浓度单位,1 ppm,1 ppm表示百万分之一表示百万分之一),),再过再过4 4分钟又测得浓度为分钟又测得浓度为 32 ppm.32 ppm.经检验知经检验知, ,该地下车库一氧化碳浓度该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)y(ppm)与排气时间与排气时间t(t(分钟分钟) )存在函存在函 数关系数关系y=c (c,my=
21、c (c,m为常数为常数).). (1)(1)求求c,mc,m的值的值; ; (2)(2)若空气中一氧化碳浓度不高于若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm0.5 ppm为正常为正常, ,问至少排气多少分钟才能使问至少排气多少分钟才能使 这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态? ? mt 1 ( ) 2 【解析】【解析】(1)(1)由题意可得由题意可得 故故c,mc,m的值分别为的值分别为128, .128, . (2)(2)由由(1)(1)知知y=128y=128 令令128128 , ,即即 解得解得t32,t32,即即 至少排气至少排气3232分钟才
22、能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态. . 4m 8m 1 c128c()64 2 1 1m. c()32 4 2 ， 解得 ， 1 4 1 t 4 1 ( ) 2 ， 1 t 4 1 ( ) 2 1 4 1 t 4 1 ( ) 2 8 1 ( ) 2 ， 【解题策略】【解题策略】 应用指数型函数解决实际问题时需注意的事项应用指数型函数解决实际问题时需注意的事项 (1)(1)在利用指数增长在利用指数增长( (减少减少) )模型解决实际问题时模型解决实际问题时, ,要注意自变量要注意自变量x x的取值要准确的取值要准确. . 在实际问题中在实
23、际问题中, ,经常会遇到类似的指数增长模型经常会遇到类似的指数增长模型: :设原来的产量为设原来的产量为N,N,平均增长率平均增长率 为为p,p,经过经过x x次增长达到次增长达到y,y,则有则有y=N(1+p)y=N(1+p)x x,xN,xN,这是非常有用的函数模型这是非常有用的函数模型. . (2)(2)对于指数型函数对于指数型函数y=kay=kax x, ,不仅要注意不仅要注意a a的取值的取值, ,还要注意还要注意k k的符号对函数性质的的符号对函数性质的 影响影响. . 【补偿训练】【补偿训练】 已知镭经过已知镭经过100100年剩余量为原来的年剩余量为原来的95.76%.95.7
24、6%.设重量为设重量为1 1的镭经过的镭经过x x年后年后, ,剩余量为剩余量为y,y, 则则x x与与y y之间的关系式为之间的关系式为 ( () ) A.y=0.957 6A.y=0.957 6100 x 100 x B.y= B.y= C.y=1- C.y=1- D.y= D.y= 【解析】【解析】选选B.B.设每年的减少量为设每年的减少量为m,m,则有则有(1-m)(1-m)100 100=0.957 6 =0.957 6m=1- m=1- 将将m m 的值代入的值代入y=(1-m)y=(1-m)x x得得y=y= x 100 0.957 6 x 100 0.957 6 x 0.957
25、 6 () 100 1 100 0.957 6， x 100 0.957 6. 备选类型函数图象的识别备选类型函数图象的识别( (直观想象直观想象) ) 【典例】【典例】二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+bx与指数函数与指数函数y= y= 的图象可能是的图象可能是( () ) 【思路导引】【思路导引】解决这类问题要对每个选项逐一判断解决这类问题要对每个选项逐一判断, ,根据两图象反映出来的信根据两图象反映出来的信 息息, ,判断是否有矛盾判断是否有矛盾, ,若无矛盾若无矛盾, ,则正确则正确. . x b ( ) a 【解析】【解析】选选A.A.抛物线的方程是抛物线的方程是y= y
26、= 其顶点坐标为其顶点坐标为 由由 指数函数的图象知指数函数的图象知0 1,0 1,所以所以- 0,- 1a1或或0a1;0a1; (2)(2)在在y y轴右侧轴右侧, ,指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大; ;在在y y轴左侧轴左侧, ,指数指数 函数的图象从下到上相应的底数由大到小函数的图象从下到上相应的底数由大到小; ; (3)(3)根据根据“左加右减左加右减, ,上加下减上加下减”的原则的原则, ,确定图象的平移变换确定图象的平移变换, ,从而确定指数型从而确定指数型 函数的图象与两坐标轴的交点位置函数的图象与两坐标轴的交点位置. . 【跟
27、踪训练】【跟踪训练】 如图是指数函数如图是指数函数y=ay=ax x, ,y=by=bx x, ,y=cy=cx x, ,y=dy=dx x的图象的图象, ,则则a,b,c,da,b,c,d与与1 1的大小关的大小关 系为系为( () ) A.ab1cdA.ab1cdB.ba1dcB.ba1dc C.1abcdC.1abcdD.ab1dcD.ab1dc 【解析】【解析】选选B.B.方法一方法一: :由图象可知由图象可知的底数必大于的底数必大于1,1,的底数必小于的底数必小于1.1.作作 直线直线x=1,x=1,在第一象限内直线在第一象限内直线x=1x=1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数
28、与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数, , 则则1dc,ba1,1dc,ba1,从而可知从而可知a,b,c,da,b,c,d与与1 1的大小关系为的大小关系为ba1dc.ba1d0a0且且a1a1时时, ,函数函数f(x)=af(x)=ax-1 x-1-3 -3的图象必经过定点的图象必经过定点 ( () ) A.(1,-2)A.(1,-2)B.(0,1)B.(0,1) C.(-1,2)C.(-1,2)D.(0,0)D.(0,0) 【解析】【解析】选选A.A.由函数解析式的特征结合指数函数的性质由函数解析式的特征结合指数函数的性质, ,令令x-1=0 x-1=0可得可得x=1,x=1, 此时
29、此时f(1)=af(1)=a0 0-3=-2,-3=-2,故函数恒过定点故函数恒过定点(1,-2).(1,-2). 2.2.已知函数已知函数g(x)=3g(x)=3x x+t+t的图象不经过第二象限的图象不经过第二象限, ,则则t t的取值范围为的取值范围为( () ) A.t-1A.t-1B.t-1B.t-1C.t-3C.t-3D.t-3D.t-3 【解析】【解析】选选A.A.由指数函数的性质由指数函数的性质, ,函数函数g(x)=3g(x)=3x x+t+t恒过点坐标为恒过点坐标为(0,1+t),(0,1+t),函数函数 g(x)g(x)是增函数是增函数, ,图象不经过第二象限图象不经过第
30、二象限, ,所以所以1+t0,1+t0,解得解得t-1.t-1. 3.3.设函数设函数 则满足则满足 的的x x的取值范围是的取值范围是 ( () ) x 2x0, f(x) 1x0, ， ， f(x1)f(2x) A.(1 B.(0) C.( 1 0) D.(0) ， ， 【解析】【解析】选选D.D.将函数将函数f(x)f(x)的图象画出来的图象画出来, , 观察图象可知会有观察图象可知会有 解得解得x0,x0,所以满足所以满足f(x+1)f(2x)f(x+1)f(2x)的的x x的取值范围的取值范围 是是(-,0).(-,0). 2x0 2xx1 ， ， 4.(4.(教材二次开发教材二次开
31、发: :练习改编练习改编) )不等式不等式3 3x+2 x+23 3的解集是的解集是_._. 【解析】【解析】不等式即不等式即3 3x+2 x+23 31 1, ,结合指数函数的单调性可得结合指数函数的单调性可得x+21,x+21,所以所以x-1,x-1,即不等即不等 式的解集为式的解集为x|x-1.x|x-1. 答案答案: :x|x-1x|x-1 5.5.函数函数y= y= 的值域为的值域为_._. 【解析】【解析】令令u=xu=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1-1,-1-1, 所以所以y=2y=2u u22-1 -1= , = ,所以所以y= y= 的值域为的值域为 答案答案: : 2 x2x 2 1 2 2 x2x 2 1 ,). 2 1 ,) 2
