1、7.2.3三角函数的诱导公式(二) 必备知识必备知识自主学习自主学习 诱导公式五、六诱导公式五、六 (1)(1)诱导公式五、六诱导公式五、六 导思导思怎样化简含有怎样化简含有 的三角函数的三角函数? ? 公式五公式五公式六公式六 终边终边 关系关系 角角 -与角与角的终边关于直线的终边关于直线y=xy=x对称对称. .角角 +与角与角的终边垂直的终边垂直. . 2 2 2 公式五公式五公式六公式六 图形图形 公式公式 sinsin( -( -) )=_,=_, coscos( -( -) )=_.=_. sinsin( +( +) )=_,=_, coscos( +( +) )=_.=_. 2
2、 2 2 2 cos cos sin sin cos cos -sin -sin (2)(2)本质本质: :单位圆中单位圆中, ,终边关于终边关于y=xy=x对称对称, ,互相垂直的角的三角函数之间的关系互相垂直的角的三角函数之间的关系. . (3)(3)应用应用: :与诱导公式一四结合用于三角函数式求值、化简、证明与诱导公式一四结合用于三角函数式求值、化简、证明. . 【思考】【思考】 从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六, ,有什么变化规律有什么变化规律? ? 提示提示: :函数名称改变函数名称改变, ,符号随象限变化而变化符号随象限变化而变
3、化, ,即即: :函数名改变函数名改变, ,符号看象限符号看象限. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)诱导公式五、六中的角诱导公式五、六中的角只能是锐角只能是锐角. .( () ) (2)(2)在在ABCABC中中, ., .( () ) (3)sin =(3)sin =cos (kZ).cos (kZ).( () ) 提示提示: :(1)(1). .诱导公式五、六中的角诱导公式五、六中的角是任意角是任意角. . (2).(2).因为因为 , ,由公式五可知由公式五可知 (3)(3). .当当k=2k=2时时,
4、sin =sin(-)=sin .,sin =sin(-)=sin . ABC sincos 22 k () 2 ABC 222 ABC sincos. 22 k () 2 2.2.下列与下列与sin sin 的值相等的是的值相等的是( () ) A.sin(+)A.sin(+)B.sin B.sin C.cos C.cos D.cos D.cos 【解析】【解析】选选C.sin(+)=-sin ,sin =cos ;C.sin(+)=-sin ,sin =cos ; cos =sin ,cos =-sin .cos =sin ,cos =-sin . () 2 () 2 () 2 () 2
5、() 2 () 2 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )已知已知sin(+A)=- ,sin(+A)=- ,则则cos cos 的值是的值是 _._. 【解析】【解析】sin(+A)=-sin A=- ,cos =sin(+A)=-sin A=- ,cos = 答案答案: :- - 1 2 3 (A) 2 1 2 cos(A)cos(A)sin A. 22 1 2 1 2 3 (A) 2 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一利用诱导公式求值类型一利用诱导公式求值( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.已知已知sin = ,sin = ,则
6、则cos(450cos(450+)+)的值是的值是( () ) A. A. B.- B.- C.- C.- D.D. 1 5 2 6 5 2 6 5 1 5 1 5 2.(20202.(2020扬州高一检测扬州高一检测) )若若sin =- ,sin =- ,则则cos =(cos =() ) A.- A.- B.- B.- C. C. D. D. 3.3.若若 ,sin = , ,sin = ,则则cos =cos =( () ) A.- A.- B. B. C.- C.- D. D. () 3 1 3 () 6 2 2 9 2 2 9 1 3 1 3 (0,) 2 () 2 1 2 1 2
7、 1 2 3 2 3 2 3 () 2 【解析】【解析】1.1.选选B.cos(450B.cos(450+)=cos(90+)=cos(90+)=-sin =- .+)=-sin =- . 2.2.选选B.B.因为因为sin =- ,sin =- ,所以所以cos =cos = 3.3.选选D.D.因为因为sin =cos = , ,sin =cos = , , 所以所以sin = ,sin = ,所以所以cos =sin = .cos =sin = . 1 5 () 3 1 3 () 6 1 cos()sin(). 2333 () 2 1 2 (0,) 2 3 2 3 () 2 3 2 【解
8、题策略】【解题策略】 解决化简求值问题的策略解决化简求值问题的策略 (1)(1)能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值. . (2)(2)不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系, ,观察时要将角看成整体观察时要将角看成整体, ,观察观察 它们的和、差关系它们的和、差关系, ,是否具有互补、互余等特殊关系是否具有互补、互余等特殊关系, ,再利用诱导公式转化求值再利用诱导公式转化求值. . 【补偿训练】【补偿训练】 已知已知cos 31cos 31=m,=m,则则sin 239sin 239tan 149tan 1
9、49的值是的值是( () ) A. A. B. B. C.- C.- D.- D.- 【解析】【解析】选选B.sin 239B.sin 239tan 149tan 149 =sin(270=sin(270-31-31) )tan(180tan(180-31-31) ) =-cos 31=-cos 31(-tan 31(-tan 31)=sin 31)=sin 31 = = 2 1 m m 2 1 m m 2 1 m 2 1 m 22 1cos 311m . 类型二利用诱导公式证明恒等式类型二利用诱导公式证明恒等式( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】求证求证: : 【思路导引】【思路导
10、引】等式左边比较复杂等式左边比较复杂, ,可以利用诱导公式直接对等式左边进行化简可以利用诱导公式直接对等式左边进行化简, , 从而推得等式右边从而推得等式右边. . tan2sin2cos6 tan . 33 sin()cos() 22 （ ）（ ）（ ） 【证明】【证明】左边左边= = = =右边右边. . 所以原等式成立所以原等式成立. . 22 tansincostansincos sin2() cos 2()sin()cos () 2222 sinsin cossin sin()cos() 22 sin tan cos （ ）（ ）（ ）（）（） 【解题策略】【解题策略】 三角恒等式的
11、证明的策略三角恒等式的证明的策略 (1)(1)遵循的原则遵循的原则: :在证明时一般从左边到右边在证明时一般从左边到右边, ,或从右边到左边或从右边到左边, ,或左右归一或左右归一, ,应应 遵循化繁为简的原则遵循化繁为简的原则. . (2)(2)常用的方法常用的方法: :定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”1”的代换法的代换法. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 证明证明:f()= :f()= 【证明】【证明】f()=f()= tan(cos(2sin() 2 sin . cos( ） ） ） tan(cos(2sin() 2 cos( tanc
12、oscos sin . cos ） ） ） 类型三诱导公式的综合应用类型三诱导公式的综合应用( (数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理) ) 角度角度1 1诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应用 【典例】【典例】在在ABCABC中中,sin =sin ,sin =sin ,试判断试判断ABCABC的形状的形状. . 【思路导引】【思路导引】根据三角形的内角和根据三角形的内角和A+B+C=,A+B+C=,利用诱导公式利用诱导公式, ,推导推导ABCABC的角的的角的 关系关系, ,进而判断出三角形的形状进而判断出三角形的形状. . ABC 2 ABC 2 【解析】【解析】因为因为A+B
13、+C=,A+B+C=, 所以所以A+B-C=-2C,A-B+C=-2B.A+B-C=-2C,A-B+C=-2B. 又因为又因为sin =sin ,sin =sin , 所以所以sin =sin ,sin =sin , 所以所以sin =sin ,sin =sin ,所以所以cos C=cos B.cos C=cos B. 又又B,CB,C为为ABCABC的内角的内角, ,所以所以C=B,C=B, 所以所以ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. . ABC 2 ABC 2 2C 2 2B 2 C 2 （） B 2 （） 【变式探究】【变式探究】 在涉及三角形问题时在涉及三角形问题时, ,一定要注
14、意根据三角形的内角和一定要注意根据三角形的内角和A+B+C=A+B+C=以及题目的具以及题目的具 体条件进行适当变形体条件进行适当变形, ,再化简求解再化简求解. .典例中题目改为典例中题目改为: :在在ABCABC中中, ,下列各表达式下列各表达式 为常数的是为常数的是( () ) A.sin(A+B)+sin CA.sin(A+B)+sin CB.cos(B+C)-cos AB.cos(B+C)-cos A C.sinC.sin2 2 +sin +sin2 2 D.sin sin D.sin sin AB 2 C 2 AB 2 C 2 【解析】【解析】选选C.AC.A中中sin(A+B)+
15、sin C=sin(-C)+sin C=2sin Csin(A+B)+sin C=sin(-C)+sin C=2sin C不是常数不是常数. . B B中中cos(B+C)-cos A=cos(-A)-cos A=-2cos Acos(B+C)-cos A=cos(-A)-cos A=-2cos A不是常数不是常数. . C C中中sinsin2 2 +sin +sin2 2 =sin =sin2 2 +sin +sin2 2 =cos =cos2 2 +sin +sin2 2 =1 =1是常数是常数. . D D中中sin sin =sin sin =sin cos sin sin =sin
16、 sin =sin cos 不是常数不是常数. . AB 2 AB 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 角度角度2 2利用诱导公式化简、求值利用诱导公式化简、求值 【典例典例】(2020(2020靖远高一检测靖远高一检测) )已知已知f()=f()= (1)(1)化简化简f();f(); (2)(2)若若sin = ,sin = ,且且 , ,求求f()f()的值的值. . 【思路导引】【思路导引】(1)(1)利用三角函数的诱导公式化简即可利用三角函数的诱导公式化简即可; ; (2)(2)由已知条件可求出由已知条件可求出cos ,cos ,则则f
17、()f()的值可求的值可求. . 53 sin()cos()cos3 22 . 3 cos()sin() 22 （） 3 5 2 ， 【解析】【解析】(1)f()= (1)f()= (2)(2)由由sin = ,sin = ,且且 , , 得得cos = cos = 所以所以f()=-cos = .f()=-cos = . cossincoscossincos cos . 3 sincos cos() sin() 22 （）（）（）（） （） 53 sin() cos()cos3 22 3 cos()sin() 22 （） 3 5 2 ， 22 34 1 sin1 ( ) 55 4 5 【解题
18、策略】【解题策略】 诱导公式综合应用要诱导公式综合应用要“三看三看” 一看角一看角: :化大为小化大为小; ;看角与角间的联系看角与角间的联系, ,可通过相加、相减分析两角的关系可通过相加、相减分析两角的关系. . 二看函数名称二看函数名称: :一般是弦切互化一般是弦切互化. . 三看式子结构三看式子结构: :通过分析式子通过分析式子, ,选择合适的方法选择合适的方法, ,如分式可对分子分母同乘一个如分式可对分子分母同乘一个 式子变形式子变形. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.已知角已知角的顶点在原点的顶点在原点, ,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合, ,终边经过点终边
19、经过点P(-1,2),P(-1,2),则则 A. A. B.1B.1C. C. D.- D.- 2.2.计算计算:sin:sin2 21111+sin+sin2 27979=_.=_. 3.3.若若f(cos x)=cos 2x,f(cos x)=cos 2x,则则f(sin 15f(sin 15) )的值为的值为_._. 3 sin()2cos() 22 ( ) sin3cos （）（） 5 3 1 3 5 3 【解析】【解析】1.1.选选A.A.因为角因为角的终边经过点的终边经过点P(-1,2),P(-1,2), 所以所以r=|OP|= = ,r=|OP|= = , 所以所以sin = ,
20、cos =- ,sin = ,cos =- , 原式原式= = 2.2.因为因为1111+79+79=90=90, ,所以所以sin 79sin 79=cos 11=cos 11, , 所以原式所以原式=sin=sin2 21111+cos+cos2 21111=1.=1. 答案答案: :1 1 2 2 12 5 2 5 1 5 21 2() 2sincos5 55 21 sincos3 55 （） 3.3.因为因为sin 15sin 15=cos 75=cos 75, ,所以所以f(sin 15f(sin 15)=f(cos 75)=f(cos 75)=cos 150)=cos 150=-
21、.=- . 答案答案: :- - 3 2 3 2 【补偿训练】【补偿训练】 已知已知 =2,=2,则则tan =tan =( () ) A. A. B.- B.- C. C. D.-5D.-5 【解析】【解析】选选D.D.由由 =2,=2, 得得 解得解得:tan:tan =-5. =-5. cos() 3cos() 2 sin()cos(2 021) 1 5 2 3 1 2 cos() 3cos() 2 sin()cos(2 021) sin3costan3 2 sincostan1 ， 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.下列与下列与sin sin 的值相等的式子为的值相等的式子为
22、( () ) A.sin A.sin B.cos B.cos C.cos C.cos D.sin D.sin () 2 () 2 3 () 2 3 () 2 () 2 【解析】【解析】选选D.D.因为因为sin =-sin =-cos ,sin =-sin =-cos , 对于对于A,sin =cos ;A,sin =cos ; 对于对于B,cos =-sin ;B,cos =-sin ; 对于对于C,cos =cos C,cos =cos =-cos =-sin ;=-cos =-sin ; 对于对于D,sin =sin D,sin =sin =-sin =-cos .=-sin =-cos
23、 . () 2 () 2 () 2 3 () 2 3 () 2 () 2 () 2 () 2 () 2 () 2 2.2.已知已知sin 40sin 40=a,=a,则则cos 130cos 130= =( () ) A.aA.aB.-aB.-a C. C. D.- D.- 【解析】【解析】选选B.cos 130B.cos 130=cos(90=cos(90+40+40)=-sin 40)=-sin 40=-a.=-a. 2 1 a 2 1 a 3.3.若若sin sin 0,0,cos 0,则则是是( () ) A.A.第一象限角第一象限角B.B.第二象限角第二象限角 C.C.第三象限角第三
24、象限角D.D.第四象限角第四象限角 【解析】解析】选选B.B.由于由于sin =cos 0,sin =cos 0,cos =sin 0,所以角所以角的终边落在第二象限的终边落在第二象限. . () 2 () 2 () 2 () 2 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )已知已知tan =2,tan =2,则则 = =( () ) A.2A.2B.0B.0C.-2C.-2D. D. 【解析】【解析】选选C. C. sin()cos 2 sin()sin 2 （ ） （ ） 2 3 sincos coscos22 2 2. cossin1tan12 sinsin 2 （ ）（ ） （ ）（ ） 5.5.化简化简: : A.-sin A.-sin B.sin B.sin C.cos C.cos D.-cos D.-cos 【解析】【解析】选选A.A.原式原式= = = =-sin .= =-sin . sin(5 )coscos(8) 2 3 sinsin(4 ) 2 （ ） （ ） （ ） sin()coscos 2 cos sin() （ ） (sin )(sin )cos cos (sin )
