1、7.1.2弧度制 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.弧度制弧度制 (1)(1)弧度制弧度制 1 1弧度的角弧度的角: :长度等于长度等于_的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角. . 表示方法表示方法:1:1弧度记作弧度记作1 rad.1 rad. 角的弧度数由角的大小唯一确定角的弧度数由角的大小唯一确定, ,而与其为圆心角所在圆的大小而与其为圆心角所在圆的大小( (半径半径) )无关无关. . 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制. . 导思导思 1.1.物体质量可以用千克、磅等不同的单位制物体质量可以用千克
2、、磅等不同的单位制, ,那么角除了角度制外还那么角除了角度制外还 有没有别的度量方法有没有别的度量方法? ? 2.2.角度制与弧度制怎样互化角度制与弧度制怎样互化? ? 半径长半径长 (2)(2)角的弧度数的计算角的弧度数的计算 在半径为在半径为r r的圆中的圆中, ,弧长为弧长为l l的弧所对的圆心角为的弧所对的圆心角为 rad, rad,那么那么,|=,|=_. . (3)(3)本质本质: :角的两种不同的度量模式角的两种不同的度量模式, ,适用情况不同适用情况不同, ,而且弧度是表示角的默认单而且弧度是表示角的默认单 位位. . (4)(4)应用应用: :角度制更容易理解和运算角度制更容
3、易理解和运算, ,与小学、初中知识更容易衔接与小学、初中知识更容易衔接; ;弧度制表示弧度制表示 角应用更广泛角应用更广泛, ,与实数一一对应与实数一一对应. . l r 【思考】【思考】 初中学习的角度制是怎样定义的初中学习的角度制是怎样定义的?1?1角是多少角是多少? ? 提示提示: :定义定义: :用度为单位来度量角的单位制用度为单位来度量角的单位制; ; 1 1度的角度的角: :周角的周角的 为为1 1度角度角, ,记作记作1 1. . 1 360 2.2.角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算 角度化弧度角度化弧度弧度化角度弧度化角度 360360=_ rad=_ rad2 rad
4、=_2 rad=_ 180180=_ rad=_ rad rad= _ rad= _ 1 1= rad= rad 0.017 45 rad0.017 45 rad 1 rad= 57.301 rad= 57.30 度数度数 = =弧度数弧度数弧度数弧度数 = =度数度数 180 () 180 180 () 180 22360360 180180 【思考】【思考】 角度制、弧度制都是角的度量制角度制、弧度制都是角的度量制, ,那么它们之间换算的关键是什么那么它们之间换算的关键是什么? ? 提示提示: :计算时计算时, ,我们要特别注意我们要特别注意 rad=180 rad=180, ,用这个公式
5、进行互化即可用这个公式进行互化即可. . 3.3.扇形的弧长和面积公式扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为设扇形的半径为R,R,弧长为弧长为l,l,为其圆心角为其圆心角, ,则则 (1)(1)弧长公式弧长公式:l=_.:l=_. (2)(2)扇形面积公式扇形面积公式:S=_=_.:S=_=_. 1 2 1 2 lRlRRR2 2 RR 【思考】【思考】 初中学过的半径为初中学过的半径为r,r,圆心角为圆心角为n n的扇形弧长、面积公式分别是什么的扇形弧长、面积公式分别是什么? ? 提示提示: :半径为半径为r,r,圆心角为圆心角为n n的扇形弧长公式为的扇形弧长公式为l= ,l= ,扇形面积公
6、式为扇形面积公式为S S扇 扇= . = . n r 180 2 n r 360 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)1(1)1弧度就是弧度就是1 1的圆心角所对的弧的圆心角所对的弧. .( () ) (2)“1(2)“1弧度的角弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关的大小和所在圆的半径大小有关. .( () ) (3) 1(3) 1弧度的角是周角的弧度的角是周角的 . .( () ) 1 360 提示提示: :(1)(1).1.1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角. . (2)(2)
7、.“1.“1弧度的角弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角, ,当半径变大时当半径变大时, , 弧也变大弧也变大, ,弧长与半径比值是一个定值弧长与半径比值是一个定值, ,所以与所在圆的半径大小无关所以与所在圆的半径大小无关. . (3)(3).1.1弧度的角是周角的弧度的角是周角的 . . 1 2 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )将角将角1 0801 080化为弧度制等于化为弧度制等于( () ) A.1 080A.1 080B. B. C. C. D.6D.6 【解析】【解析】选选D.1 080D.1 080=180=
8、1806,6,所以所以1 0801 080化为弧度制是化为弧度制是6.6. 10 3 10 3.3.半径为半径为2,2,圆心角为圆心角为 的扇形的面积是的扇形的面积是_._. 【解析】【解析】由已知得由已知得S S扇 扇= = 答案答案: : 6 2 1 2. 263 3 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一弧度与角度的互化类型一弧度与角度的互化( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.角角 化为角度是化为角度是_._. 2.2.已知已知=15=15,= ,=1,=105,= ,=1,=105, ,= ,= ,试比较试比较,的大小的大小. . 7 5 7 12 10
9、【解析】【解析】 1. .1. . 答案答案: :252252 77180 ()252 55 2.2.方法一方法一( (化为弧度化为弧度):): =15=15=15=15 = ,=105 = ,=105=105=105 = . = . 显然显然 1 , 1 ,故故=.=. 方法二方法二( (化为角度化为角度):): = = = = =18 =18,=157.30,=157.30, , = = =105 =105. . 显然显然,15,15181857.3057.30105105, , 故故=.=. 180 12 180 7 12 12 10 7 12 10 10 o () 180 7 12 o
10、 () 180 【解题策略】【解题策略】 角度制与弧度制互化的关键与方法角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)(1)关键关键: :抓住互化公式抓住互化公式 rad=180 rad=180. . (2)(2)方法方法: :度数度数 = =弧度数弧度数; ;弧度数弧度数 = =度数度数. . (3)(3)角度化弧度时角度化弧度时, ,应先将分、秒化成度应先将分、秒化成度, ,再化成弧度再化成弧度. . 180 o 180 () 【补偿训练】【补偿训练】将下列角度与弧度进行互化将下列角度与弧度进行互化: : (1) =_;(2)- =_;(1) =_;(2)- =_; (3)10(3)10=_;(4
11、)-855=_;(4)-855= _.= _. 511 6 7 12 【解析】【解析】(1) = (1) = 180180=15 330=15 330. . (2)- =- (2)- =- 180180=-105=-105. . (3)10(3)10=10=10 = . = . (4)-855(4)-855=-855=-855 =- . =- . 答案答案: :(1)15 330(1)15 330(2)-105(2)-105(3) (3) (4)- (4)- 511 6 511 6 7 12 12 180 18 180 19 4 19 4 18 类型二利用弧度制表示角类型二利用弧度制表示角(
12、(数学运算数学运算) ) 【典例】【典例】1.1.在在0 0到到22范围内范围内, ,与角与角- - 终边相同的角是终边相同的角是( () ) A. A. B. B. C. C. D. D. 2.2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内( (包括边界包括边界) )的角的角的集合的集合. . 4 3 6 3 2 6 4 3 【思路导引】【思路导引】1.1.先根据终边相同的角的关系写出集合先根据终边相同的角的关系写出集合, ,再在再在0 0到到22上找到符合上找到符合 题意的角即可题意的角即可. . 2.2.先在先在0 0内找到边界表示的角内找到边界表示的角,
13、,加上加上kk即可即可, ,注意边界的实虚线的不同表示注意边界的实虚线的不同表示 方法方法. . 【解析】【解析】1.1.选选C.C.与角与角- - 终边相同的角是终边相同的角是2k+ ,kZ,2k+ ,kZ,令令k=1,k=1,可得与角可得与角 - - 终边相同的角是终边相同的角是 . . 2.2.因为因为3030= rad,210= rad,210= rad,= rad, 这两个角的终边所在的直线相同这两个角的终边所在的直线相同, ,因为终边在直线因为终边在直线ABAB上的角为上的角为=k+ ,kZ,=k+ ,kZ, 而终边在而终边在y y轴上的角为轴上的角为=k+ ,kZ,=k+ ,kZ
14、,从而终边落在阴影部分内的角的集合从而终边落在阴影部分内的角的集合 为为 4 3 4 () 3 4 3 2 3 6 7 6 6 2 |kk,kZ 62 【解题策略】【解题策略】 1.1.弧度制下与角弧度制下与角终边相同的角的表示终边相同的角的表示 在弧度制下在弧度制下, ,与角与角的终边相同的角可以表示为的终边相同的角可以表示为|=2k+,kZ,|=2k+,kZ,即与角即与角 终边相同的角可以表示成终边相同的角可以表示成加上加上22的整数倍的整数倍. . 2.2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)(1)仔细观察图形仔细观察图形. . (2)(2)写出区
15、域边界作为终边时角的表示写出区域边界作为终边时角的表示. . (3)(3)用不等式表示区域范围内的角用不等式表示区域范围内的角. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.下列与下列与 的终边相同的角的表达式中的终边相同的角的表达式中, ,正确的是正确的是( () ) A.2k+45A.2k+45(kZ)(kZ)B.kB.k360360+ (kZ)+ (kZ) C.kC.k360360-315-315(kZ)(kZ)D.k+ (kZ)D.k+ (kZ) 2.2.用弧度表示终边落在阴影部分内用弧度表示终边落在阴影部分内( (不包括边界不包括边界) )的角的集合的角的集合. . 9 4 5 4 9 4
16、 【解析】【解析】1.1.选选C.A,BC.A,B中弧度与角度混用中弧度与角度混用, ,不正确不正确; =2+ ,; =2+ ,所以所以 与与 终终 边相同边相同.-315.-315=-360=-360+45+45, ,所以所以-315-315也与也与4545终边相同终边相同. . D D中中k+ (kZ),k+ (kZ),当当k=1k=1时时,k+ = ,k+ = ,但当但当k=0k=0时时,k+ = ,k+ = 与与 终边不同终边不同. . 2.3302.330角的终边与角的终边与-30-30角的终边相同角的终边相同, ,将将-30-30化为弧度化为弧度, ,即即- ,- ,而而 7575
17、=75=75 = , = ,所以终边落在阴影部分内所以终边落在阴影部分内( (不包括边界不包括边界) )的角的集合为的角的集合为 9 44 9 4 4 5 4 5 4 9 4 5 4 5 4 9 4 6 180 5 12 5 |2k2k,kZ 612 类型三扇形的弧长公式及面积公式类型三扇形的弧长公式及面积公式( (数学运算数学运算) ) 角度角度1 1利用公式求弧长和面积利用公式求弧长和面积 【典例】【典例】已知扇形圆心角为已知扇形圆心角为 , ,面积为面积为 , ,则扇形的弧长等于则扇形的弧长等于( () ) A. A. B. B. C. C. D. D. 【思路导引】【思路导引】利用扇形
18、面积计算公式求出扇形的半径利用扇形面积计算公式求出扇形的半径, ,再用弧长公式求弧长即再用弧长公式求弧长即 可可. . 6 4 3 2 6 3 【解析】【解析】选选C.C.设圆的半径为设圆的半径为r,r,则则 , ,解得解得r=2(r=2(负值舍去负值舍去).). 所以扇形的弧长所以扇形的弧长:l=2:l=2 . . 2 1 r 263 63 【变式探究】【变式探究】 一个扇形的弧长与面积的数值都是一个扇形的弧长与面积的数值都是6,6,则这个扇形的圆心角是则这个扇形的圆心角是( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 【解析】【解析】选选C.C.设扇形的圆心角的弧度数为设扇
19、形的圆心角的弧度数为,半径为半径为R,R,由题意由题意, ,得得 解得解得=3.=3. 2 R6, 1 R6, 2 角度角度2 2利用公式求扇形面积的最值利用公式求扇形面积的最值 【典例】【典例】已知扇形的周长是已知扇形的周长是40 cm,40 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时当它的半径和圆心角各取什么值时, ,才能使才能使 扇形的面积最大扇形的面积最大? ?最大面积是多少最大面积是多少? ? 【思路导引】【思路导引】设扇形的半径为设扇形的半径为r,r,弧长为弧长为l,l,根据扇形的周长为根据扇形的周长为40,40,用半径用半径r r表示弧表示弧 长长l,l,把面积把面积S S写成半径写成
20、半径r r的二次函数的二次函数, ,求最值即可求最值即可. . 【解析】【解析】设扇形的半径为设扇形的半径为r,r,面积为面积为S,S,弧长为弧长为l,l,圆心角为圆心角为(02),(02), 则则l+2r=40,l+2r=40,故故l=40-2r,l=40-2r, 又因为又因为S= lr= (40-2r)r=-rS= lr= (40-2r)r=-r2 2+20r+20r =-(r-10)=-(r-10)2 2+100(0r20).+100(0r20). 所以当所以当r=10 cmr=10 cm时时, ,扇形面积最大扇形面积最大, , 此时此时l=40-2l=40-210=20(cm),10=
21、20(cm), = =2,= =2,最大面积为最大面积为100 cm100 cm2 2. . 1 2 1 2 l r 【解题策略】【解题策略】 (1)(1)要根据已知量、未知量之间的关系要根据已知量、未知量之间的关系, ,合理选择公式合理选择公式, ,建立方程建立方程( (组组) )、不等、不等 式式( (组组) )或函数解决问题或函数解决问题. . (2)(2)弧长、面积的最值问题弧长、面积的最值问题: :利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积, ,利利 用函数知识求最值用函数知识求最值, ,一般多利用二次函数的最值求解一般多利用二次函数的最值求解.
22、 . 1.1.如果如果2 2弧度的圆心角所对的弦长为弧度的圆心角所对的弦长为4,4,那么这个圆心角所对的弧长为那么这个圆心角所对的弧长为( () ) A.2A.2B. B. C.2sin 1C.2sin 1D. D. 【解析】【解析】选选D.D.连接圆心连接圆心B B与弦与弦ACAC的中点的中点F,F,则以弦心距则以弦心距BFBF、弦、弦ACAC的一半的一半AFAF、半径、半径 ABAB为长度的线段构成一个直角三角形为长度的线段构成一个直角三角形,AF,AF为为2,2,其所对的圆心角其所对的圆心角ABF=1,ABF=1,故半径故半径 |AB|= .|AB|= .这个圆心角所对的弧长为这个圆心角
23、所对的弧长为2 2 = . = . 2 sin 1 4 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 4 sin 1 2.2.已知扇形中已知扇形中6060的圆心角所对的弦长是的圆心角所对的弦长是2,2,则这个圆心角所对的弓形面积是则这个圆心角所对的弓形面积是 ( () ) A. A. B. B. C. C. D. D. 3 3 2 3 3 2 3 3 【解析】【解析】选选D.D.如图所示如图所示, , 扇形中扇形中6060的圆心角所对的弦长是的圆心角所对的弦长是2,2, 所以所以AOBAOB为等边三角形为等边三角形, , 其面积为其面积为 2 22 2sin 60sin 60= ;= ; 又扇形
24、的面积为又扇形的面积为 2 22 2= ,= , 所以弓形面积为所以弓形面积为 . . 1 2 2 3 3 2 3 1 6 3 3.3.若扇形若扇形OABOAB的面积是的面积是1 cm1 cm2 2, ,它的周长是它的周长是4 cm,4 cm,则该扇形圆心角的弧度数为则该扇形圆心角的弧度数为_._. 【解析】【解析】设该扇形圆心角的弧度数是设该扇形圆心角的弧度数是,半径为半径为r,r, 根据题意根据题意, ,有有 解得解得,=2,r=1.,=2,r=1. 答案答案: :2 2 2 2rr4, 1 r1, 2 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.下列说法中下列说法中, ,错误的是错误的是(
25、 () ) A.A.半圆弧所对的圆心角是半圆弧所对的圆心角是 rad rad B.B.周角的大小等于周角的大小等于22 C.1C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 1弧度弧度 【解析】【解析】选选D.D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,CA,B,C均正确均正确,D,D错误错误. . 2.1 9202.1 920的角化为弧度数为的角化为弧度数为( () ) A. radA. radB. radB. rad C. radC. ra
26、dD. radD. rad 【解析】【解析】选选D.D.因为因为1 1= rad,= rad,所以所以1 9201 920=1 920=1 920 = rad. = rad. 16 3 16 3 32 3 32 3 32 3180 180 3.3.时钟的分针在时钟的分针在1 1点到点到3 3点点2020分这段时间里转过的弧度为分这段时间里转过的弧度为 ( () ) A. A. B.- B.- C. C. D.- D.- 【解析】【解析】选选B.B.显然分针在显然分针在1 1点到点到3 3点点2020分这段时间里分这段时间里, ,顺时针转过了顺时针转过了 周周, ,转过的转过的 弧度为弧度为-
27、- 2=- .2=- . 14 3 14 3 7 18 7 18 14 3 7 3 7 3 4.4.若某扇形的弧长为若某扇形的弧长为 , ,圆心角为圆心角为 , ,则该扇形的半径是则该扇形的半径是( () ) A. A. B. B. C.1C.1D.2D.2 【解析】【解析】选选D.D.设扇形的半径为设扇形的半径为r,r,因为扇形的弧长为因为扇形的弧长为 , ,圆心角为圆心角为 , ,所以由扇所以由扇 形的弧长公式可得形的弧长公式可得: = : = r,r,解得解得r=2.r=2. 2 4 1 4 1 2 2 2 4 4 5.(5.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )在直径为在直径为20 cm20 cm的圆中的圆中,150,150的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长 为为_._. 【解析】【解析】150150=150=150 = , = ,半径半径R=10 cm,R=10 cm, 所以所以l=R= l=R= 10= (cm).10= (cm). 答案答案: : cm cm 180 5 6 5 6 25 3 25 3
