1、7.2.2同角三角函数关系 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.已知一个角的正弦值已知一个角的正弦值, ,能求出它的余弦值、正切值吗能求出它的余弦值、正切值吗? ? 2.2.同一个角的三角函数间有什么关系同一个角的三角函数间有什么关系? ? 同角三角函数关系同角三角函数关系 (1)(1)基本关系式基本关系式 平方关系平方关系商数关系商数关系 公式公式 表示表示 _ =_=_ ( +k,kZ)( +k,kZ) 语言语言 叙述叙述 同一个角同一个角的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1.1. 同一个角同一个角的正弦、余弦的商等于角的正弦、余弦的商等于角的的 _._. s
2、insin2 2+cos+cos2 2=1=1 sin cos 2 tan tan 正切正切 (2)(2)本质本质: :同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系. . (3)(3)应用应用: :正弦、余弦、正切的知一求二正弦、余弦、正切的知一求二, ,三角函数的证明、化简三角函数的证明、化简. . 【思考】【思考】 “同角同角”一词的含义是什么一词的含义是什么? ? 提示提示: :一是一是“角相同角相同”, ,如如sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1就不一定成立就不一定成立. .二是对任意一个角二是对任意一个角( (在在 使得函数有意义的前提
3、下使得函数有意义的前提下),),关系式都成立关系式都成立, ,即与角的表达式形式无关即与角的表达式形式无关, ,如如 sinsin2 2 15 15+cos+cos2 2 15 15=1,sin=1,sin2 2 +cos +cos2 2 =1 =1等等. . 19 19 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1) (1) 对任意角对任意角,sin,sin2 2 +cos +cos2 2 =1 =1都成立都成立. .( () ) (2)(2)对任意的角对任意的角,都有都有 成立成立. .( () ) (3)(3)存在角存在角,有
4、有sinsin2 2 +cos +cos2 2 =1. =1. ( () ) 2 2 sin cos 提示提示: :(1).(1).在在sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1中中, ,令令= = 可得可得sinsin2 2 +cos +cos2 2 =1. =1. (2)(2). .当当= +k,kZ= +k,kZ时就不成立时就不成立. . (3).(3).因为因为sinsin2 2 +cos +cos2 2 =1, =1,所以存在所以存在,使得使得sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1成立成立. . 2 2 2 2 9 44 2.2.化简化简 的结果是的结果是( () )
5、 A.cos A.cos B.-cos B.-cos C.sin C.sin D.-sin D.-sin 【解析解析】选选A. A. 2 1sin 5 5 5 5 5 22 1sincos 55 coscos. 55 | 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )已知已知是第二象限角是第二象限角,sin = ,sin = ,则则cos =cos =( ( ) ) 【解析】【解析】选选A.A.利用同角三角函数关系式中的平方关系计算利用同角三角函数关系式中的平方关系计算. .因为因为为第二象为第二象 限角限角, , 所以所以cos = cos = 2 3 13 1sin. 1
6、3 2 13 13 3 132 132 133 13 A. B. C. D. 13131313 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一利用同角三角函数的关系求特殊值类型一利用同角三角函数的关系求特殊值( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020通州高一检测通州高一检测) )已知已知cos = ,cos = ,且且(0,),(0,),则则tan =tan =( () ) 2.(20202.(2020东莞高一检测东莞高一检测) )已知已知sin = ,cos = ,sin = ,cos = ,若若是第二象限角是第二象限角, , 则则tan tan 的值为的
7、值为( () ) 5 13 125125 A. B. C. D. 512512 a1 1a a 1a 134 A. B.2 C. D. 243 3.3.在在ABCABC中中,sin A,sin Acos A= ,cos A= ,则则cos A-sin Acos A-sin A的值为的值为( () ) 1 8 3553 A. B. C. D. 2222 【解析】【解析】1.1.选选A.A.因为因为cos = ,cos = ,且且(0,),(0,), 所以所以sin = sin = 所以所以tan = tan = 2.2.选选C.C.因为因为sin = ,cos = ,sin = ,cos = ,
8、 所以所以sinsin2 2+cos+cos2 2 = = =1,=1,解得解得:a=0:a=0或或a=4,a=4, 因为因为为第二象限角为第二象限角, ,所以所以sin 0,cos 0,cos 0.所以所以a=4,a=4, 所以可得所以可得:sin = ,cos = ,tan = .:sin = ,cos = ,tan = . 5 13 22 512 1 cos1 (). 1313 12 sin12 13 . 5 cos5 13 a1 1a a 1a 22 a1a () 1a1a （） 3 5 4 5 3 4 3.3.选选B.B.因为在因为在ABCABC中中,sin A,sin Acos A
9、= ,cos A= ,所以所以A A为钝角为钝角, ,所以所以cos A-sin A0,cos A-sin A0, 所以所以cos A-sin A= cos A-sin A= 1 8 2 cos Asin A（） 22 15 cos Asin A2sin Acos A12 (). 82 【解题策略】【解题策略】 利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点 (1)(1)定符号定符号: :根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号. . (2)(2)定值定值: :根据三角函数的基本关系确定函数值根据三角函数的基
10、本关系确定函数值. . 【补偿训练】【补偿训练】(2020(2020杭州高一检测杭州高一检测) )已知已知tan=2,tan=2,为第三象限角为第三象限角, ,则则sin =sin = ( () ) 【解析】【解析】选选B.B.因为因为tan =2,tan =2,为第三象限角为第三象限角, , 所以所以 解得解得 2 52 555 A. B. C. D. 5555 22 sin 2 cos sincos1, sin0 cos0 ， ， ， 2 5 sin 5 5 cos. 5 ， 类型二利用同角三角函数的关系求值类型二利用同角三角函数的关系求值 【典例】【典例】1.1.已知已知tan =2,t
11、an =2,求下列各式的值求下列各式的值: : (3)2sin(3)2sin2 2-sin cos +cos-sin cos +cos2 2. 22 22 cos5sin 1. 3cossin 2sincos 2. 2sin3cos （ ） （ ） 四步四步内容内容 理解理解 题意题意 条件条件: tan =2: tan =2 结论结论: :求三个齐次式的值求三个齐次式的值. . 思路思路 探求探求 把齐次式的分子、分母分别除以把齐次式的分子、分母分别除以cos (cos (或或coscos2 2) 2.2.已知已知sin +cos = ,0.sin +cos = ,0. (1)(1)求求si
12、n cos sin cos 的值的值.(2).(2)求求sin -cos sin -cos 的值的值. . 【思路导引】【思路导引】已知已知sin +cos = ,sin +cos = ,两边平方再利用两边平方再利用sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,即可即可 求出求出sin cos ,sin cos ,再把再把sin -cos sin -cos 两边平方即可两边平方即可, ,注意角注意角的范围的范围. . 1 3 1 3 【解析】【解析】(1)(1)由由sin +cos = sin +cos = 得得(sin +cos )(sin +cos )2 2= ,= , sinsin
13、2 2+2sin cos +cos+2sin cos +cos2 2= ,sin cos =- .= ,sin cos =- . (2)(2)因为因为0,sin cos 0,0,sin cos 0,cos 0,cos 0.sin -cos 0. (sin -cos )(sin -cos )2 2=1-2sin cos = ,=1-2sin cos = , 所以所以sin -cos = .sin -cos = . 1 3 4 9 1 9 17 9 17 3 1 9 【解题策略】【解题策略】 1.1.已知角已知角的正切求关于的正切求关于sin ,cos sin ,cos 的齐次式的方法的齐次式的方
14、法 (1)(1)关于关于sin ,cos sin ,cos 的齐次式就是分式中的每一项都是关于的齐次式就是分式中的每一项都是关于sin ,cos sin ,cos 的式子且它们的次数之和相同的式子且它们的次数之和相同, ,设为设为n n次次, ,将分子、分母同除以将分子、分母同除以cos cos 的的n n次幂次幂, , 其式子可化为关于其式子可化为关于tan tan 的式子的式子, ,再代入求值再代入求值. . (2)(2)若无分母时若无分母时, ,把分母看作把分母看作1,1,并将并将1 1用用sinsin2 2+cos+cos2 2来代换来代换, ,将分子、分母同除将分子、分母同除 以以c
15、oscos2 2,可化为关于可化为关于tan tan 的式子的式子, ,再代入求值再代入求值. . 2.2.求三角函数值的方法求三角函数值的方法 (1)(1)已知已知sin (sin (或或cos )cos )求求tan tan 常用以下方法求解常用以下方法求解 (2)(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题, ,我们可利用平方关我们可利用平方关 系或商数关系求解系或商数关系求解, ,其关键在于运用方程的思想及其关键在于运用方程的思想及(sin (sin cos )cos )2 2=1=12sin 2sin cos cos 的等价转
16、化的等价转化, ,分析解决问题的突破口分析解决问题的突破口. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.(1)1.(1)已知已知sin +cos = ,(0,),sin +cos = ,(0,),则则tan =_.tan =_. (2)(2)已知已知tan = ,tan = ,且且是第三象限角是第三象限角, ,求求sin ,cos sin ,cos 的值的值. . 7 13 4 3 【解析】【解析】(1)(1)因为因为sin +cos = ,sin +cos = ,所以所以(sin +cos )(sin +cos )2 2= ,= , 即即2sin cos =- 0,2sin cos =- 0,cos
17、 0,cos 0,所以所以 , , 故故sin -cos = sin -cos = 所以所以 答案答案: :- - 7 13 49 169 120 169 () 2 ， 2 17 sincos4sin cos 13 （）， 12512 sincostan. 13135 ， 12 5 (2)(2)由由tan = tan = 得得sin = cos sin = cos , , 又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1, ,由由得得 coscos2 2+cos+cos2 2=1,=1, 即即coscos2 2= .= . 又又是第三象限角是第三象限角, , 故故 sin4 cos3 4
18、3 16 9 9 25 344 cossincos. 535 ， 2.2.已知已知 =2,=2,计算下列各式的值计算下列各式的值. . (1) (1) (2)sin(2)sin2 2-2sin cos +1.-2sin cos +1. sincos sincos 3sincos . 2sin3cos 【解析解析】由由 =2, =2,化简化简, ,得得sin =3cos ,sin =3cos , 所以所以tan =3.tan =3. (1)(1)方法一方法一: :原式原式= = 方法二方法二: :原式原式= = (2)(2)原式原式= = sincos sincos 3 3coscos8cos8
19、 . 2 3cos3cos9cos9 3tan13 3 18 . 2tan32 339 22 222 sin2sin costan2tan 11 sincostan1 2 2 32 313 1. 3110 类型三利用同角三角函数的关系化简证明类型三利用同角三角函数的关系化简证明 角度角度1 1应用同角三角函数关系化简应用同角三角函数关系化简 【典例】【典例】已知已知是第三象限角是第三象限角, ,化简化简 【思路导引】【思路导引】首先将首先将tan tan 化为化为 , ,然后化简根式然后化简根式, ,最后约分最后约分. . sintansin . 1costansin sin cos 【解析】
20、【解析】原式原式= = 又因为又因为是第三象限角是第三象限角, ,所以所以sin 0.sin 0. 所以原式所以原式= =-1.= =-1. sin sin sin cos sin 1cos sin cos 2 2 sin1cos 1cos1cos sin(1cos )sin1cos . 1cos1cos1cos|sin| sin1cos 1cossin 【变式探究】【变式探究】 如果本例条件不变如果本例条件不变, ,结果改为化简结果改为化简: : 【解析】【解析】原式原式= = 因为因为是第三象限角是第三象限角, ,所以所以cos 0.cos 0. 所以原式所以原式= =-2tan .= =
21、-2tan . 1 sin1sin . 1sin1 sin 22 22 (1 sin )(1 sin )(1sin )(1sin ) (1 sin )(1sin )(1 sin )(1sin ) 1 sin(1sin )1 sin1sin . 1sin1sin|cos|cos| （） 1 sin1sin coscos 角度角度2 2利用同角三角函数关系证明利用同角三角函数关系证明 【典例】【典例】求证求证: : 【思路导引】【思路导引】思路思路1:1:把左边分子分母同乘以把左边分子分母同乘以cos x,cos x,再利用公式变形再利用公式变形; ;思路思路2:2:把把 左边分子、分母同乘以左边
22、分子、分母同乘以(1+sin x)(1+sin x)先满足右式分子的要求先满足右式分子的要求; ;思路思路3:3:用作差法用作差法, ,化化 简等式为简等式为0.0. cos x1 sin x . 1 sin xcos x 【证明】【证明】方法一方法一: :左边左边= = = =右边右边, ,所以原等式成立所以原等式成立. . 方法二方法二: :左边左边= = = =右边右边. . cos x cos x (1sin x)cos x 2 1sin x1 sin x (1sin x)cos xcos x 1 sin x cos x (1 sin x) 1 sin x （） （） 22 1 sin
23、 x cos x1 sin x cos x1 sin x 1 sin xcos xcos x （）（） 方法三方法三: :因为因为 =0,=0, 所以所以 cos x1 sin x 1sin xcos x 2222 cos x(1sin x)cos xcos x (1sin x)cos x(1sin x)cos x cos x1 sin x . 1 sin xcos x 【解题策略】【解题策略】 证明三角恒等式的常用方法证明三角恒等式的常用方法 (1)(1)从一边开始从一边开始, ,证得它等于另一边证得它等于另一边, ,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一一般是由比较复杂的一边开始化简到另一
24、边边, ,其依据是相等关系的传递性其依据是相等关系的传递性. . (2)(2)左右归一法左右归一法: :即证明左右两边都等于同一个式子即证明左右两边都等于同一个式子, ,其依据是等于同一个量的其依据是等于同一个量的 两个量相等两个量相等. . (3)(3)作差法作差法: :两式作差两式作差, ,对差式变形化简对差式变形化简, ,差式为零即得证差式为零即得证. . 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020杭州高一检测杭州高一检测) )若若 =4,=4,则则tan =(tan =() ) A. A. B. B. C.3C.3D.7D.7 【解析】【解析】选选D.D.因为因为 =4,=
25、4, 所以解得所以解得tan =7.tan =7. sincos sin5cos 1 7 1 3 sincostan1 sin5costan5 2.2.化简化简: : 【解析】【解析】原式原式 = = =1. =1. 22 1 (1tan )cos(1) sin. tan 22 cossinsincos cossin cossin 22 cossincossinsincos 22 cossin 3.3.求证求证: : 【证明】【证明】方法一方法一: :左边左边= = = =右边右边, ,所以原等式成立所以原等式成立. . 方法二方法二: :右边右边= = 所以原等式成立所以原等式成立. . 2
26、2 12sin xcos x1tan x . cos xsin x1tan x 222 22 cos xsin x2sin xcos xcos xsin x cos xsin x(cos xsin x)(cos xsin x) （） sin x 1 cos xsin x1tan x cos x sin x cos xsin x1tan x 1 cos x 2 sin x 1 cos xsin xcos xsin x cos x sin x cos xsin x(cos xsin x)(cos xsin x) 1 cos x （） 22 22 cos xsin x2sin xcos x , co
27、s xsin x 左边 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.如果如果是第二象限的角是第二象限的角, ,下列各式中成立的是下列各式中成立的是 ( () ) A.tan = A.tan = B.cos = B.cos = C.sin = C.sin = D.tan = D.tan = 【解析】【解析】选选B.B.由商数关系可知由商数关系可知A,DA,D项均不正确项均不正确, ,当当为第二象限角时为第二象限角时, , cos 0,cos 0,故故B B项正确项正确. . sin cos 2 1sin 2 1cos cos sin 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编)(2
28、020)(2020桂林高一检测桂林高一检测) )已知已知是第一象限的角是第一象限的角, ,且且 tan = ,tan = ,则则cos =cos = ( () ) 【解析】解析】选选D.D.根据题意根据题意,tan = ,tan = ,则则 , , 又由又由sinsin2 2+cos+cos2 2 =1, =1, 解得解得:cos =:cos = , , 又又是第一象限的角是第一象限的角, ,则则cos = .cos = . 1 2 1122 5 A. B. C. D. 3235 sin1 cos2 1 2 2 5 5 2 5 5 3.3.若若tan =2,tan =2,则则 的值为的值为(
29、() ) A.0A.0B. B. C.1C.1D. D. 【解析】【解析】选选B. B. 2sincos sin2cos 3 4 5 4 2sincos2tan13 . sin2costan24 4.4.已知已知为钝角为钝角, ,且且sin = ,sin = ,则则tan =_.tan =_. 【解题指南】【解题指南】根据同角的三角函数关系以及根据同角的三角函数关系以及的取值范围求出的取值范围求出tan tan 的值的值. . 3 2 【解析】【解析】为钝角为钝角, ,当当sin = sin = 时时, , cos = cos = 所以所以tan = tan = 答案答案: : 3 2 2 1
30、 1 sin 2 ， sin 3. cos 3 5.5.求证求证: : 【证明】【证明】方法一方法一:(:(切化弦切化弦) ) 左边左边= = 右边右边= = 因为因为sinsin2 2 =1-cos =1-cos2 2 =(1+cos )(1-cos ), =(1+cos )(1-cos ), 所以所以 , ,所以左边所以左边= =右边右边. . 所以原等式成立所以原等式成立. . tan sintansin . tansintan sin 2 sinsin sinsin cos1cos ， 2 sinsin cos1cos . sinsin sin1cos 1cossin 方法二方法二:(:(由右至左由右至左) ) 因为右边因为右边= = = =左边左边, , 所以原等式成立所以原等式成立. . 22 tansin tansintan sin （） 2222222 tantancostan1costansin tansintan sintansintan sintansintan sin tan sin tansin （ ） （）（）（）
