1、第3课时正切函数的图象与性质 必备知识必备知识自主学习自主学习 正切函数的图象与性质正切函数的图象与性质 (1)(1)图象与性质图象与性质 解析式解析式y=tan xy=tan x 图象图象 定义域定义域 x|xRxkkZ 2 ，且， 解析式解析式y=tan xy=tan x 值域值域R R 周期周期 奇偶性奇偶性_函数函数 对称对称 中心中心 _,kZ_,kZ 单调性单调性 在每一个区间在每一个区间_ _ 上都单调递增上都单调递增 奇奇 k (0) 2 ， kk )kZ 22 ( ， (2)(2)本质本质: :根据正切函数的解析式、图象根据正切函数的解析式、图象, ,总结正切函数的性质总结正
2、切函数的性质. . (3)(3)应用应用: :画正切函数的图象画正切函数的图象, ,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问 题题. . 【思考】【思考】 正切函数在整个定义域上都是增函数吗正切函数在整个定义域上都是增函数吗? ? 提示提示: :不是不是. .正切函数在每一个区间正切函数在每一个区间 (k(kZ)Z)上是单调递增的上是单调递增的. . 但在整个定义域上不是增函数但在整个定义域上不是增函数. . (kk) 22 ， 【基础小测】【基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)正切函数的
3、定义域和值域都是正切函数的定义域和值域都是R.R.( () ) (2)(2)正切函数是中心对称图形正切函数是中心对称图形, ,对称中心是原点对称中心是原点. . ( () ) (3)(3)存在某个区间存在某个区间, ,使正切函数在该区间上是单调递减的使正切函数在该区间上是单调递减的. .( () ) 提示提示: :(1)(1). .正切函数的值域为正切函数的值域为R,R,而定义域是而定义域是 (2)(2). .正切函数的对称中心是正切函数的对称中心是 (kZ).(kZ). (3)(3). .正切函数在每一个区间正切函数在每一个区间 (kZ)(kZ)上都是单调递增的上都是单调递增的. . x|x
4、RxkkZ 2 ，且， 1 (k0) 2 ， (kk ) 22 ， 2.(20202.(2020扬州高一检测扬州高一检测) )若若f(x)=tan x(0)f(x)=tan x(0)的周期为的周期为1,1,则则f f 的值为的值为( () ) A.- A.- B.- B.- C. C. D. D. 【解析】【解析】选选D.D.因为因为f(x)=tan f(x)=tan x(x(0)0)的周期为的周期为 =1,=1, 所以所以= =, ,即即f(x)=tan f(x)=tan x,x,则则f =tan = .f =tan = . 1 ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 ( ) 33 3 3.
5、(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )函数函数y=tan y=tan 的定义域为的定义域为_._. 【解析】【解析】因为因为2x- k2x- k+ ,kZ,+ ,kZ,所以所以x kZ,x kZ, 所以函数所以函数y=tan y=tan 的定义域为的定义域为 答案答案: : (2x) 6 6 2 k 23 ， (2x) 6 k x|xkZ. 23 ， k x|xkZ 23 ， 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一正切函数的定义域、周期性、奇偶性类型一正切函数的定义域、周期性、奇偶性( (数学抽象数学抽象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数y=tan y=
6、tan 的最小正周期是的最小正周期是( () ) A.4A.4B.4B.4C.2C.2D.2D.2 (x3) 2 2.2.函数函数f(x)=cos +tan xf(x)=cos +tan x为为( () ) A.A.奇函数奇函数B.B.偶函数偶函数 C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数D.D.既奇又偶函数既奇又偶函数 3.3.函数函数y= y= 的定义域为的定义域为_._. (x) 2 tan x 1 tan(x) 6 【解析】【解析】1.1.选选D.T= =2.D.T= =2. 2.2.选选A.f(x)=cos +tan x=sin x+tan x,A.f(x)=cos +tan x=sin x
7、+tan x, 定义域为定义域为 , ,关于原点对称关于原点对称, , 因为因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),所以它是奇函数所以它是奇函数. . 2 2 (x) 2 x|xkkZ 2 ， 3.3.根据题意根据题意, ,得得 所以函数的定义域为所以函数的定义域为 答案答案: : tan x1 tan(x)0 6 xk 62 ， ， ， kxkkZ 42 xkkZ 6 xkkZ . 3 （）， 解得 （）， （） kk )(kk )(kZ). 4332 ， kk )
8、(kk )(kZ) 4332 ， 【解题策略】【解题策略】 1.1.判断函数定义域的方法判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时求与正切函数有关的函数的定义域时, ,除了求函数定义域的一般要求外除了求函数定义域的一般要求外, , 还要保证正切函数还要保证正切函数y=tan xy=tan x有意义即有意义即x +k,kZ.x +k,kZ. 2.2.怎样求正切类函数的奇偶性怎样求正切类函数的奇偶性 判断正切类函数的奇偶性要先求函数的定义域判断正切类函数的奇偶性要先求函数的定义域, ,判断其是否关于原点对称判断其是否关于原点对称. . 若不对称若不对称, ,则该函数无奇偶性则该函数无奇
9、偶性, ,若对称若对称, ,再判断再判断f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系的关系. . 2 【补偿训练】【补偿训练】 求函数求函数y= +lg(1-tan x)y= +lg(1-tan x)的定义域的定义域. . tan x1 【解析】【解析】由题意得由题意得 即即-1tan x1.-1tan x1. 在在 内内, ,满足上述不等式的满足上述不等式的x x的取值范围是的取值范围是 , ,又又y=tan xy=tan x的周期为的周期为, , 所以函数的定义域是所以函数的定义域是 (kZ).(kZ). tan x10 1tan x0 ， ， () 2 2 ，) 4 4 ， kk) 4
10、4 ， 类型二正切函数的单调性及应用类型二正切函数的单调性及应用( (数学运算数学运算) ) 角度角度1 1正切函数的单调区间正切函数的单调区间 【典例】【典例】函数函数f(x)=tan f(x)=tan 的单调区间为的单调区间为_._. 【思路导引】【思路导引】把把 看作一个整体看作一个整体, ,根据正切函数的单调性求出根据正切函数的单调性求出f(x)f(x)的的 单调区间单调区间. . 1 (x) 24 x 24 【解析】【解析】由题意知由题意知, kZ, kZ, 即即 kZ,kZ, 所以所以 故单调递增区间为故单调递增区间为 (kZ).(kZ). 答案答案: : (kZ) (kZ) 1
11、kxk 2242 ， 31 kxk 424 ， 3 2kx2kkZ 22 ， 3 (2k2k) 22 ， 3 (2k2k) 22 ， 【变式探究】【变式探究】 如果将本例中函数变为如果将本例中函数变为y=tan ,y=tan ,求该函数的单调区间求该函数的单调区间. . 【解析】【解析】y= 由由 得得2k- x2k+ ,kZ, 所以函数所以函数y=tan 的单调递减区间是的单调递减区间是 ,kZ. 1 x) 24 ( 11 tan(xtan(x 2424 )， 1 kxkkZ 2242 ， 2 3 2 1 x) 24 ( 3 (2k2k) 22 ， 角度角度2 2利用正切函数比较大小利用正切
12、函数比较大小 【典例】【典例】1.1.比较大小比较大小: : tan 32tan 32_tan 215_tan 215; tan _tan .tan _tan . 2.tan 1,tan 2,tan 3,tan 42.tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为从小到大的排列顺序为_._. 【思路导引】【思路导引】运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内; ;再运用再运用 单调性比较大小关系单调性比较大小关系. . 18 5 28 ). 9 ( 【解析】【解析】1.1.tan 215tan 215=tan(180=t
13、an(180+35+35)=tan 35)=tan 35, , 因为因为y=tan xy=tan x在在(0(0,90,90) )上单调递增上单调递增,32,323535, , 所以所以tan 32tan 32tan 35tan 35=tan 215=tan 215. . 1822 tantan(4tan( 555 )， 28 tan(tan(3tan( 999 )， 因为因为y=tan xy=tan x在在 上单调递增上单调递增, , 答案答案: : ) 2 2 ( ， 22 tan()tan( 5959 且 ，所以)， 1828 tan()tan(). 59 即 2.2.因为因为y=tan
14、 xy=tan x在区间在区间 上单调递增上单调递增, , 且且tan 1=tan(tan 1=tan(+1),+1),又又 234234+1 ,+1 , 所以所以tan 2tan 3tan 4tan 1.tan 2tan 3tan 4tan 1. 答案答案: :tan 2tan 3tan 4tan 1tan 2tan 3tan 4tan 1 3 () 22 ， 2 3 2 角度角度3 3求正切函数的值域、最值求正切函数的值域、最值 【典例】【典例】1.1.函数函数y= y= 的值域是的值域是 ( () ) A.(-1,1)A.(-1,1) B.(-,-1)(1,+)B.(-,-1)(1,+)
15、 C.(-,1)C.(-,1) D.(-1,+)D.(-1,+) 2.2.函数函数y=tany=tan2 2x+4tan x-1x+4tan x-1的值域是的值域是_._. 1 xx0 tan x44 （ ，且） 【思路导引】【思路导引】1.1.根据正切函数的图象与性质根据正切函数的图象与性质, ,求出求出y= y= 的值域即可的值域即可. . 2.2.换元换元, ,把函数变为二次函数把函数变为二次函数, ,根据二次函数的性质求函数的值域根据二次函数的性质求函数的值域; ;注意注意, , 换元时一定要求出新元的取值范围换元时一定要求出新元的取值范围. . 1 tan x 【解析】【解析】1.1
16、.选选B.B.当当- x0- x0时时,-1tan x0,-1tan x0, 所以所以 -1;-1; 当当0 x 0 x 时时,0tan x1,0tan x1.1. 即当即当x x 时时, , 函数函数y= y= 的值域是的值域是(-(-,-1)(1,+,-1)(1,+).). 2.2.令令t=tan x,t=tan x,则则tR,tR,故故y=ty=t2 2+4t-1=(t+2)+4t-1=(t+2)2 2-5-5,-5-5,所求的值域为所求的值域为-5,+-5,+).). 答案答案: :-5,+-5,+) ) 4 1 tan x 4 1 tan x 00 44 （ ，）（ ， ） 1 ta
17、n x 【解题策略】【解题策略】 1.1.求函数求函数y=Atan(x+y=Atan(x+)(A,)(A,都是常数都是常数) )的单调区间的方法的单调区间的方法 (1)(1)若若0,0,由于由于y=tan xy=tan x在每一个单调区间上都是增函数在每一个单调区间上都是增函数, ,故可用故可用“整体代换整体代换”的的 思想思想, ,令令k- x+k- x+k+ (kZ),k+ (kZ),求得求得x x的范围即可的范围即可. . (2)(2)若若0,0,可利用诱导公式先把可利用诱导公式先把y=Atan(x+y=Atan(x+) )转化为转化为y=Atan-(-x-y=Atan-(-x-)=)=
18、 -Atan(-x-Atan(-x-),),即把即把x x的系数化为正值的系数化为正值, ,再利用再利用“整体代换整体代换”的思想的思想, ,求得求得x x的范的范 围即可围即可. . 2 2 2.2.比较正切值的大小比较正切值的大小 第一步第一步: :运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上; ; 第二步第二步: :运用正切函数的单调性比较大小运用正切函数的单调性比较大小. . 3.3.求与正切函数相关的值域的方法求与正切函数相关的值域的方法 (1)(1)对于对于y=tan xy=tan x在不同区间上的值域在不同区间上
19、的值域, ,可以结合图象可以结合图象, ,利用单调性求值域利用单调性求值域. . (2)(2)对于对于y=A tan(x+y=A tan(x+) )的值域的值域, ,可以把可以把x+x+看成整体看成整体, ,结合图象结合图象, ,利用单调利用单调 性求值域性求值域. . (3)(3)对于与对于与y=tan xy=tan x相关的二次函数相关的二次函数, ,可以把可以把tan xtan x看成整体看成整体, ,利用配方法求值域利用配方法求值域. . 【补偿训练】【补偿训练】 已知已知f(x)=tanf(x)=tan2 2x-2tan x x-2tan x 求求f(x)f(x)的值域的值域. .
20、【解析】【解析】令令u=tan x,u=tan x,因为因为|x| ,|x| , 所以所以u u 所以函数化为所以函数化为y=uy=u2 2-2u.-2u.对称轴为对称轴为u=1 u=1 所以当所以当u=1u=1时时,y,ymin min=1 =12 2-2-21=-1.1=-1. 当当u=- u=- 时时,y,ymax max=3+2 . =3+2 . 所以所以f(x)f(x)的值域为的值域为-1,3+2 .-1,3+2 . x x 3 （）， 3 33， , 33， 33 3 类型三正切函数图象、性质的综合应用类型三正切函数图象、性质的综合应用( (数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理)
21、) 【典例】【典例】设函数设函数f(x)=tan .f(x)=tan . (1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心的定义域、周期、单调区间及对称中心; ; (2)(2)求不等式求不等式-1f(x) -1f(x) 的解集的解集; ; (3)(3)作出函数作出函数y=f(x)y=f(x)在一个周期内的简图在一个周期内的简图. . x 23 （ ） 3 【思路导引】【思路导引】(1)(1)根据正切函数根据正切函数y=tan xy=tan x的性质的性质, ,结合函数图象找出结合函数图象找出f(x)f(x)的定义的定义 域、周期、单调区间及对称中心域、周期、单调区间及
22、对称中心. . (2)(2)根据正切函数的单调性解不等式根据正切函数的单调性解不等式. . (3)(3)利用三点两线法作出正切型函数的图象利用三点两线法作出正切型函数的图象. . 【解析】【解析】(1)(1)由由 +k +k(kZ)(kZ) 得得x +2kx +2k(kZ),(kZ), 所以所以f(x)f(x)的定义域是的定义域是 因为因为= ,= ,所以周期所以周期T= =2T= =2. . 由由- +k- +k +k +k(kZ),(kZ), 得得- +2k- +2kx +2kx +2k(kZ).(kZ).所以函数所以函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是 由由 (kZ)(k
23、Z)得得x=kx=k+ + , , 故函数故函数f(x)f(x)的对称中心是的对称中心是 (kZ).(kZ). x 23 2 5 3 5 x|x2kkZ. 3 ， 1 2 1 2 2 x 23 2 3 5 3 5 2k2k(kZ) 33 （ ， ） xk 232 2 3 2 k0 3 （，） (2)(2)由由-1tan ,-1tan , 得得 解得解得 +2k+2kx +2kx +2k(kZ).(kZ). 所以不等式所以不等式-1f(x) -1f(x) 的解集是的解集是 x 23 （ ）3 x kk (kZ) 4233 6 4 3 3 4 x|2kx2kkZ. 63 ， (3)(3) 所以函数
24、所以函数y=tan y=tan 的图象与的图象与x x轴的一个交点坐标是轴的一个交点坐标是 在这个交点左、在这个交点左、 右两侧相邻的两条渐近线方程分别是右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 从而得函数从而得函数y=f(x)y=f(x)在一个在一个 周期周期 内的简图内的简图( (如图如图).). x2x5x 0 x.x.x. 23323232323 令 ，则 令 ，则 令 ，则 x 23 （ ） 2 0 3 （，）， 5 xx. 33 ， 5 33 （ ， ） 【解题策略】【解题策略】正切函数型综合题解题方法正切函数型综合题解题方法 对于形如对于形如y=tan(x+y=tan(x+)()(、为非
25、零常数为非零常数) )的函数性质和图象的研究的函数性质和图象的研究, ,应以正应以正 切函数的性质与图象为基础切函数的性质与图象为基础, ,运用整体思想和换元法求解运用整体思想和换元法求解. .如果如果0,1tan x1成立的成立的x x的取值范围为的取值范围为( () ) A. A. B. B. C. C. D. D. 【解析】【解析】选选D.D.因为因为x(0,2),x(0,2),由正切函数的图象由正切函数的图象, ,可得使可得使tan x1tan x1成立的成立的x x的取的取 值范围为值范围为 . . () 4 2 ， 53 () 42 ， 53 ()() 4 242 ， 53 ()(
26、) 4 242 ， 53 ()() 4 242 ， 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )函数函数f(x)=|tan 2x|f(x)=|tan 2x|是是( () ) A.A.周期为周期为的偶函数的偶函数B.B.周期为周期为的奇函数的奇函数 C.C.周期为周期为 的偶函数的偶函数D.D.周期为周期为 的奇函数的奇函数 【解析】【解析】选选C.f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)C.f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数为偶函数,T= .,T= . 2 2 2 4.4.比较大小比较大小:tan _tan .:tan
27、_tan . 【解析】【解析】因为因为tan =tan ,tan =tan ,tan =tan ,tan =tan ,又又0 ,0 , y=tan xy=tan x在在 内单调递增内单调递增, , 所以所以tan tan ,tan tan ,即即tan tan .tan tan . 答案答案: : tan ;tan tan ; tan tan ;tan tan ; tan tan ;tan tan .tan tan . 4 7 3 7 2 5 3 5 13 () 7 15 () 8 13 () 4 12 () 5 【解析】【解析】 因为因为tan tan ,tan tan , 所以所以tan ;tan ; 433 tantan()tan 777 ； 322 tantan()tan 555 ； 1315 tan()tantan()tan 7788 ， ， 7 8 13 () 7 15 tan() 8 所以所以tan tan .tan tan . 答案答案: : 13 tan()tan(3)tan()tan 4444 ， 1222 tan()tan(2)tan() 555 22 tantantan 554 ，又， 12 () 5 13 () 4
