1、温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版版，请按住请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴，调节合适的观看调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课时素养评价 二十六二十六函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 (15 分钟35 分) 1.已知函数 y=f(x)为奇函数,且当 x0 时,f(x)=x 2-2x+3,则当 x0 时,f(x)的解 析式是() A.f(x)=-x 2+2x-3 B.f(x)=-x 2-2x-3 C.f(x)=x 2-2x+3 D.f(x)=-x 2-2x+3 【解
2、析】 选 B.若 x0,因为当 x0 时,f(x)=x 2-2x+3,所以 f(-x)=x2+2x+3, 因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=x 2+2x+3=-f(x),所以 f(x)=-x2-2x-3,所以 x0 时,f(x)=-x 2-2x-3. 2.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=x 2+3x+1,则 f(x) 等于() A.x 2 B.2x 2 C.2x 2+2 D.x 2+1 【解析】选 D.因为 f(x)+g(x)=x 2+3x+1, 所以 f(-x)+g(-x)=x 2-3x+1. 又 f(x)是偶函数,且 g(x)是奇函
3、数, 所以 f(x)-g(x)=x 2-3x+1. 由联立,得 f(x)=x 2+1. 3.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+)上是减函数,若 x10,则 () A.f(-x1)f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)-x10,f(x)在(0,+)上单调递减,所以 f(x2)f(-x1). 又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(-x2)=f(x2), 所以 f(-x2)f(-x1). 4.函数 f(x)是定义在实数集上的偶函数,且在0,+)上是增函数,f(3)1B.a1 或 a-2D.-1a2 【解析】选 C.因为函数 f(x)在实数集上是偶函数,且 f(3
4、)f(2a+1),所以 f(3)f(|2a+1|),又函数 f(x)在0,+)上是增函数, 所以 31 或 a0 时,f(x)=+1,则当 x0 时,f(x)=+1, 所以当 x0,f(x)=f(-x)=+1,即 x0 时,-x0, 所以 f(-x)=-x(1-x).又 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)=x(1-x)=-x 2+x =-+ , 所以 f(x)有最大值 . 方法二(奇函数的图象特征):当 x0 时,f(x)有最大值 . 2.(2020 泰安高一检测)设 F(x)=f(x)+f(-x),xR,若是函数 F(x)的增 区间,则一定是 F(x)的减区间的是 () A.B. C.
5、D. 【解析】 选 B.因为 F(-x)=F(x),所以 F(x)是偶函数,因而在上 F(x)是减函 数. 3.若 f(x)是偶函数,其定义域为(-,+),且在0,+)上是减函数,则 f 与 f的大小关系是() A.ff B.ff的实数 x 的取值范围是 () A.B. C.D. 【解析】 选A.因为偶函数f(x)在区间0,+)上是减函数,且满足f(2x-1)f, 所以不等式等价为 f(|2x-1|)f,即|2x-1| ,所以- 2x-1 ,计算得出 x , 故 x 的取值范围是. 【误区警示】利用偶函数的单调性解不等式,别忘了转化为绝对值不等式求解. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分
6、,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选 错的得 0 分) 5.若函数 y=f(x)是偶函数,定义域为 R,且该函数图象与 x 轴的交点有 3 个,则下 列说法正确的是 () A.3 个交点的横坐标之和为 0 B.3 个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关 C.f(0)=0 D.f(0)的值不能确定 【解析】选 AC.由于偶函数图象关于 y 轴对称,若(x0,0)是函数与 x 轴的交点,则 (-x0,0)一定也是函数与 x 轴的交点,当交点个数为 3 个时,有一个交点一定是原 点,从而 AC 正确. 6.设 y=f(x)为偶函数,且在区间(-,0)内单调递增,f(-2)=0,则
7、下列区间中使 得 xf(x)0 的有 () A.(-1,1)B.(0,2) C.(-2,0)D.(2,4) 【解析】 选 CD.根据题意,偶函数 f(x)在(-,0)上是增函数,又 f(-2)=0,则函数 f(x)在(0,+)上是减函数,且 f(-2)=f(2)=0,函数 f(x)的草图如图, 又由 xf(x)0或, 由图可得-2x2, 即不等式的解集为(-2,0)(2,+). 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.如果函数 F(x)=是奇函数,则 f(x)=_. 【解题指南】 根据求谁设谁的原则,设 x0,根据函数的奇偶性求出 x0 时的解析 式. 【解析】当 x0,F(-x)=-
8、2x-3, 又 F(x)为奇函数,故 F(-x)=-F(x), 所以 F(x)=2x+3,即 f(x)=2x+3. 答案:2x+3 【补偿训练】 设函数 y=f(x)是偶函数,它在0,1上的图象如图.则它在-1,0上的解析 式为_. 【解析】 由题意知 f(x)在-1,0上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设 f(x)=kx+b, 代入解得 k=1,b=2.所以 f(x)=x+2. 答案:f(x)=x+2 8.(2020南京高一检测)已知 y=f(x)是 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=x 2-5x, 则 f(x-1)f(x)的解集为_. 【解析】根据题意,设 x0, 所以 f
9、(-x)=x 2+5x, 又由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(x)=-f(-x)=-x 2-5x, 则有 f(x)=其图象如图: 则 f(x)在上是减函数, 当 xf(x),则有-3x-1- x 或- x-1x 或 x-1 x3, 解得:-2x3,即不等式的解集为(-2,3). 答案:(-2,3) 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数,且当 x0 时,f(x)=-x 2+2x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式. (2)画出函数 f(x)的图象. (3)根据图象,写出函数 f(x)的减区间及值域. 【解析】(
10、1)因为函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,所以 f(x)=f(-x). 当 x0, 所以 f(x)=f(-x)=-x 2-2x. 综上,f(x)= (2)函数 f(x)的图象如图所示: (3)由(2)中图象可知,f(x)的减区间为-1,0,1,+), 函数 f(x)的值域为(-,1. 10.函数 f(x)=, (1)判断函数是否具有奇偶性. (2)判断函数在(-,0)上的单调性,并证明. 【解析】(1)f(x)=的定义域为x|x0, 因为对于任意 xx|x0,都有-xx|x0,且 f(-x)=f(x), 所以函数 f(x)为偶函数. (2)函数 f(x)在(-,0)上是增函数, 证明如下
11、:任取(-,0)上的任意两个值 x1,x2,且 x1x2, 所以 f(x1)-f(x2)=-= =, 因为 x1,x2(-,0),且 x10,x2+x10, 所以0, 即 f(x1)f(x2), 则函数 f(x)在(-,0)上是增函数. 1.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x0 时,f(x)=x 2-4x,那么,不等式 f(x+2)5 的解集是_. 【解析】因为 f(x)为偶函数,所以 f(|x+2|)=f(x+2),则 f(x+2)5 可化为 f(|x+2|)5,则|x+2| 2-4|x+2|5, 即(|x+2|+1)(|x+2|-5)0, 所以|x+2|5,解得-7x3, 所以
12、不等式 f(x+2)5 的解集是(-7,3). 答案:(-7,3) 2.(2020南京高一检测)已知偶函数 f(x)=的定义域为 E,值域为 F. (1)求实数 b 的值; (2)若 E=1,2,a,F=,求实数 a 的值. (3)若 E=,F=2-3m,2-3n,求 m,n 的值. 【解析】(1)因为 f(x)为偶函数, 所以 f(-x)=f(x), 即=, 所以 b=-1; (2)因为 f(2)= ,f(1)=0, 所以令 f(a)=0,即=0,a=1,a=1 不满足集合的互异性,故 a=-1; 令 f(a)= ,即= ,a=2,a=2 不满足集合的互异性,故 a=-2, 综上,a=-1 或-2; (3)因为 f(x)=是偶函数,且 f(x)=1-,所以函数 f(x)在(-,0)上是减函 数, 在(0,+)上是增函数. 因为 x0, 所以由题意可知: 0 或 0 . 若 0,则有 即 此时方程组无负解; 若 0 ,则有 即 所以 m,n 为方程 x 2-3x+1=0 的两个根. 因为 0 n0, 所以 m=,n=. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
