1、巩固层知识整合 (教师用书独具) 提升层题型探究 直线方程及其应用 【例 1】过点 A(5，4)作一直线 l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围 成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程 思路探究已知直线过定点 A，且与两坐标轴都相交，围成的直角三角形 的面积已知求直线方程时可采用待定系数法，设出直线方程的点斜式，再由面 积为 5 列方程，求直线的斜率 解由题意知，直线 l 的斜率存在设直线为 y4k(x5)，交 x 轴于点 4 k5，0，交 y 轴于点(0，5k4)， S1 2| 4 k5|5k4|5， 得 25k230k160(无实根)，或 25k250k160， 解得 k2 5或 k 8
2、5， 所以所求直线 l 的方程为 2x5y100，或 8x5y200 1求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用 条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要 另行讨论条件不满足的情况 2运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单 跟进训练 1过点 P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距 之差的绝对值为 1，求这两条直线的方程 解(1)当两条直线的斜率不存在时， 两条直线的方程分别为 x1， x0， 它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，满足题意； (2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k， 则两条直线的方程分
3、别为 yk(x1)，ykx2 令 y0，分别得 x1，x2 k 由题意得|1 2 k|1，即 k1 则直线的方程为 yx1，yx2， 即 xy10，xy20 综上可知，所求的直线方程为 x1，x0，或 xy10，xy20 直线的位置关系 【例 2】已知两条直线 l1:(3m)x4y53m，l2 :2x(5m)y8当 m 分别为何值时，l1与 l2： (1)平行？ (2)垂直？ 思路探究已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的 取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解 解(1)由 (3m)(5m)80，解得 m1 或 m7 经过验证：m1 时两条直线重合，舍去 m7 时，两条直
4、线平行 (2)m5 时，两条直线不垂直 m5 时，由两条直线相互垂直可得：3m 4 2 5m 1，解得 m 13 3 m13 3 时两条直线相互垂直 利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题 型求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂 直关系，求参数的值时也可用如下方法： 直线 l1：A1xB1yC10， l2：A2xB2yC20 (1)l1l2时，可令 A1B2A2B10，解得参数的值后，再代入方程验证，排除 重合的情况； (2)l1l2时，可利用 A1A2B1B20 直接求参数的值 跟进训练 2已知点 A(2,2)和直线 l：3x4y200
5、 (1)求过点 A，且和直线 l 平行的直线方程； (2)求过点 A，且和直线 l 垂直的直线方程 解(1)因为所求直线与 l：3x4y200 平行， 所以设所求直线方程为 3x4ym0 又因为所求直线过点 A(2,2)，所以 3242m0， 所以 m14，所以所求直线方程为 3x4y140 (2)因为所求直线与直线 l：3x4y200 垂直， 所以设所求直线方程为 4x3yn0 又因为所求直线过点 A(2,2)，所以 4232n0， 所以 n2，所以所求直线方程为 4x3y20 距离问题 【例 3】已知两条直线 l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别 满足下列条件的 a、b 的值
6、 (1)直线 l1过点(3，1)，并且直线 l1与直线 l2垂直； (2)直线 l1与直线 l2平行，并且坐标原点到 l1、l2的距离相等 解(1)l1l2， a(a1)(b)10 即 a2ab0 又点(3，1)在 l1上， 3ab40 由解得 a2，b2 (2)l1l2且 l2的斜率为 1a， l1的斜率也存在，a b1a， 即 b a 1a 故 l1和 l2的方程可分别表示为 l1：(a1)xy4a1 a 0， l2：(a1)xy a 1a0 原点到 l1与 l2的距离相等， 4| a1 a | a 1a|，解得 a2 或 a2 3 因此 a2， b2， 或 a2 3， b2. 距离公式的
7、运用 (1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离 (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算 与几何图形的直观分析相结合 跟进训练 3已知正方形中心为点 M(1,0)，一条边所在直线的方程是 x3y50， 求其他三边所在直线的方程 解正方形中心到直线 x3y50 的距离 d|11305| 1232 6 10 设与直线 x3y50 平行的直线方程为 x3yC10由正方形的性质， 得|1C 1| 1232 6 10， 解得 C15(舍去)或 C17 所以与直线 x3y50 相对的边所在的直线方程为 x3y70 设与直线 x3y50 垂直的边所在的直
8、线方程为 3xyC20由题意，得 |1301C2| 3212 6 10， 解得 C29 或 C23 所以另两边所在直线的方程为 3xy90 和 3xy30 求圆的方程 【例 4】求圆心在直线 3x4y10 上，且经过两圆 x2y2xy20 与 x2y25 的交点的圆的方程 思路探究解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点 坐标，再利用待定系数法求解 解法一：设所求圆为 x2y2xy2(x2y25)0， 化为一般式，得 x2y2 1 1x 1 1y 25 1 0 故圆心坐标为 1 21， 1 21 ， 代入直线 3x4y10，得3 2 再把代入所设方程，得 x2y22x2y110，
9、 故所求圆的方程为 x2y22x2y110 法二：解方程组 x2y2xy20， x2y25， 得两圆的交点为 A(1，2)和 B(2，1) 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0 A，B 在圆上，且圆心 D 2 ，E 2 在直线 3x4y10 上， 5D2EF0， 52DEF0， 3 D 2 4 E 2 10. 解得 D2， E2， F11. 所求圆的方程是 x2y22x2y110 求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数 法解题一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结 合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直 线与
10、圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答 过两个已知圆 x2y2D1xE1yF10 和 x2y2D2xE2yF20 的交点 的圆系方程为 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1) 跟进训练 4圆心在直线 5x3y8 上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程 解设所求圆的标准方程为(xx0)2(yy0)2r2(r0)因为圆与两坐标 轴均相切，故圆心坐标满足 x0y00 或 x0y00 又圆心在直线 5x3y8 上，所以 5x03y08 由 x0y00， 5x03y08， 得 x04， y04， 由 x0y00， 5x03y08， 得 x01， y01， 所以圆心坐标为(4,
11、4)或(1，1)，相应的半径为 r4 或 r1，故所求圆的标 准方程为(x4)2(y4)216 或(x1)2(y1)21 直线与圆、圆与圆的位置关系 【例 5】已知圆 M：(x1)2(y1)24，直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交于 A，B 两点，且|AB|2 3，求直线 l 的方程 思路探究分斜率存在与不存在两种情况： (1) 斜率存在 设直线 l 的方程 利用勾股定理 求 k 直线方程 (2) 斜率不存在 验证 解(1)当直线 l 存在斜率时，设直线 l 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy32k0 示意图如图，作 MCAB 于 C 在 RtMBC 中，|BC|1 2|AB| 3
12、，|MB|2， 故|MC| |MB|2|BC|21， 由点到直线的距离公式得|k132k| k21 1， 解得 k3 4 故直线 l 的方程为 3x4y60 (2)当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x2， 且|AB|2 3，所以符合题意 综上所述，直线 l 的方程为 3x4y60 或 x2 1直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断 直线与圆的位置关系以几何法为主， 解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题 过程 2解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与 两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几 何图形的形象直观性来
13、分析问题 跟进训练 5求圆 O：x2y236 与圆 M：x2y210y160 的公切线的方程 解如图，易知两圆相交，公切线有两条 由圆 M 的方程易得 M(0,5)，r3 设两圆的公切线与圆 O 相切于点 B(x0，y0)， 则公切线方程为 x0 xy0y36 点 M 到公切线的距离等于 3， |x 005y036| x20y20 3 x20y2036，点 M 在公切线的下方， (5y036)18，即 y018 5 从而 x0 36y2024 5 故公切线方程为 24 5 x18 5 y360 或24 5 x18 5 y360， 即 4x3y300 或 4x3y300 轨迹问题 【例 6】如图
14、，圆 O1与圆 O2的半径都是 1，|O1O2|4，过动点 P 分别作 圆 O1、圆 O2的切线 PM，PN，(M，N 分别为切点)，使得|PM| 2|PN|，试建立 适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程 思路探究由PMO1与PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与 |PN|，建立坐标系后，设出 P 点坐标即可由等式|PM| 2|PN|求出 P 点的轨迹方 程 解如图，以 O1O2所在直线为 x 轴，线段|O1O2|的垂直平分线为 y 轴，建 立直角坐标系，则 O1(2，0)，O2(2,0)，设动点 P 的坐标为(x，y) 在 RtPMO1中，|PM|2|PO1|21， 在 RtPNO2
15、中，|PN|2|PO2|21 又因为|PM| 2|PN|， 所以|PM|22|PN|2，即 |PO1|212(|PO2|21)，即|PO1|212|PO2|2， 所以(x2)2y212(x2)2y2， 整理得 x2y212x30， 即为所求点 P 的轨迹方程 1求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法 有：直接法、定义法、消元法、代数法等 2求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨 迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验在检验中要排除不符合要求的点，或者 补充上漏掉的部分 跟进训练 6等腰三角形的顶点是 A(4,2)，底边一个端点是 B
16、(3,5)，求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么 解设另一端点 C 的坐标为(x，y) 依题意，得|AC|AB| 由两点间距离公式， 得 x42y22 432252， 整理得(x4)2(y2)210 这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因为 A、B、C 为 三角形的三个顶点，所以 A、B、C 三点不共线即点 B、C 不能重合且 B、C 不 能为圆 A 的一直径的两个端点 因为点 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5) 又因为点 B、C 不能为一直径的两个端点，所以x3 2 4，且y5 2 2，即点 C 不能为(5，1) 故端点 C 的轨迹方程是(
17、x4)2(y2)210(除去点(3,5)和(5，1) 综上，它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆，但除去(3,5)和(5， 1)两点 圆锥曲线定义的应用 【例 7】(1)已知 F 是双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点，点 A(1,4)，P 是双曲线 右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为() A9B5C8D4 (2)若点 M(1,2)， 点 C 是椭圆x 2 16 y2 7 1 的右焦点， 点 A 是椭圆的动点， 则|AM| |AC|的最小值是 (1)A(2)82 5(1)设右焦点为 F， 则 F(4,0)， 依题意， 有|PF|PF| 4，所以|PF|PA|PF|PA
18、|4|AF|4549 (2)设点 B 为椭圆的左焦点， 则 B(3,0)， 点 M(1,2)在椭圆内， 那么|BM|AM| |AC|AB|AC|2a， 所以|AM|AC|2a|BM|， 而 a4，|BM| 132222 5， 所以(|AM|AC|)min82 5 研究有关点间的距离的最值问题时， 常用定义把曲线上的点到焦点的距离转 化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的 距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题. 提醒：应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后 得到相应的结论. 跟进训练 7以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于
19、A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为() A2B4 C6D8 B设抛物线的方程为 y22px(p0)， 圆的方程为 x2y2r2 |AB|4 2， |DE|2 5， 抛物线的准线方程为 xp 2， 不妨设 A 4 p，2 2，D p 2， 5 点 A 4 p，2 2，D p 2， 5在圆 x2y2r2上， 16 p28r 2， p2 4 5r2， 16 p28 p2 4 5，p4(负值舍去) C 的焦点到准线的距离为 4 8在平面直角坐标系中，两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L距离”定义为 |P1P2|x
20、1x2|y1y2|， 则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1， F2的“L距离” 之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是图中的() AB CD A设 F1(c,0)， F2(c,0)， P(x， y)， 则点 P 满足： |PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)， 代入坐标， 得|xc|xc|2|y|2a 当 y0 时， y xa，xc， ac，cxc， xa，xc； 当 y0 时，y xa，xc， ca，cxc， xa，xc. 结合选项可知 A 正确，故选 A 圆锥曲线性质的应用 【例 8】(1)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦
21、点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离 心率为() A1 3 B1 2 C2 3 D3 4 (2)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率 e 5 2 ，点 A(0,1)与双曲线上 的点的最小距离是2 30 5 ，求双曲线方程 (1)A如图所示，由题意得 A(a,0)，B(a,0)，F(c,0) 由 PFx 轴得 P c，b 2 a 设 E(0，m)， 又 PFOE，得|MF| |OE| |AF| |AO|， 则|MF|mac a
22、又由 OEMF，得 1 2 |OE| |MF| |BO| |BF|， 则|MF|mac 2a 由得 ac1 2(ac)，即 a3c， ec a 1 3 故选 A (2)解ec a 5 2 ，a 2b2 a2 5 4，a 24b2，设双曲线x2 4b2 y2 b21 上一点 B(x，y)，则|AB|2x2(y1)24b24y2(y1)25y22y4b215 y1 5 2 4b24 5当 y 1 5时，|AB|取得最小值，为 4b24 5，即 4b24 5 2 30 5 ，b2 1，双曲线方程为x 2 4 y21 圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到 解题中去. 跟进
23、训练 9设 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点，若|PQ|OF|，则 C 的离心率为 () A 2B 3 C2D 5 A如图：以 OF 为直径的圆的方程为 xc 2 2y2c2 4 ， 又 x2y2a2， 得交线 PQ 的直线方程为：xa 2 c ， 代入，得 yab c ， 又|PQ|OF|， 则 2ab c c，ab，e 2， 故选 A 直线与圆锥曲线的位置关系问题 【例 9】已知直线 l：xmy1(m0)恒过椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的 右焦点 F，且交椭圆 C
24、于 A、B 两点 (1)若抛物线 x24 3y 的焦点为椭圆 C 的上顶点，求椭圆 C 的方程； (2)对于(1)中的椭圆 C，若直线 l 交 y 轴于点 M，且MA 1AF ，MB 2BF ， 当 m 变化时，求12的值 解 (1)根据题意，直线 l：xmy1(m0)过椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右 焦点 F， F(1,0)，c1， 又抛物线 x24 3y 的焦点为椭圆 C 的上顶点， b 3，b23 a2b2c24， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1 (2)直线 l 与 y 轴交于 M 0，1 m ， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 xmy1，
25、3x24y2120， 得(3m24)y26my90，144(m21)0， y1y2 6m 3m24，y 1y2 9 3m24， 1 y1 1 y2 2m 3 (*)， 又由MA 1AF ， x1，y11 m 1(1x1，y1)， 11 1 my1， 同理21 1 my2， 1221 m 1 y1 1 y222 3 8 3， 128 3 直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求 弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用， 涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥曲线的位置 关系主要有： 1有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题
26、， 应注意数形结合； 2有 关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；3有关垂直问题，要注 意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算. 跟进训练 10如图所示，在直角坐标系 xOy 中，点 P 1，1 2 到抛物线 C：y22px(p0) 的准线的距离为5 4点 M(t,1)是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 的中点 Q(m，n)在直线 OM 上 (1)求曲线 C 的方程及 t 的值； (2)记 d |AB| 14m2，求 d 的最大值 解(1)y22px(p0)的准线为 xp 2， 1 p 2 5 4，p 1 2， 抛物线 C 的方程为 y2x 又点
27、M(t,1)在曲线 C 上，t1 (2)由(1)知，点 M(1,1)，从而 nm，即点 Q(m，m)， 依题意，直线 AB 的斜率存在，且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k(k0)， 且 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y21x1， y22x2， 得(y1y2)(y1y2)x1x2， 故 k2m1， 直线 AB 的方程为 ym 1 2m(xm)， 即 x2my2m2m0 由 x2my2m2m0， y2x， 消去 x， 整理得 y22my2m2m0， 4m4m20，y1y22m，y1y22m2m 从而|AB|1 1 k2|y 1y2| 14m2 4m4m2 2 14m2mm2 d |
28、AB| 14m22 m1mm(1m)1， 当且仅当 m1m，即 m1 2时，上式等号成立， 又 m1 2满足4m4m 20 d 的最大值为 1 数学思想在圆锥曲线中的应用 【例 10】已知定点 F(0,1)和直线 l1：y1，过定点 F 与直线 l1相切的动 圆的圆心为点 C (1)求动点 C 的轨迹方程； (2)过点 F 的直线 l2交轨迹于两点 P，Q，交直线 l1于点 R，求RP RQ 的最小 值 解(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离， 点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1为准线的抛物线， 动点 C 的轨迹方程为 x24y (2)由题意知，直线 l2的方程可设为
29、ykx1(k0)， 与抛物线方程联立消去 y，得 x24kx40 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24 又易得点 R 的坐标为 2 k，1， RP RQ x12 k，y 11 x22 k，y 21 x12 k x22 k (kx12)(kx22) (1k2)x1x2 2 k2k(x1x2) 4 k24 4(1k2)4k 2 k2k 4 k24 4 k2 1 k28 k2 1 k22，当且仅当 k 21 时取等号， RP RQ 42816，即RP RQ 的最小值为 16 函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想在圆锥曲线 的综合问题中应用广泛，主要
30、涉及最值、范围、探索问题及曲线方程的求法等问 题. 跟进训练 11 设圆 x2y22x150 的圆心为 A， 直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E (1)求证|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的 直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 解(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC， 所以EBDACDADC， 所以|EB|ED|， 故|EA|EB|EA|ED|AD| 又圆
31、 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4 由题设得 A(1,0)，B(1,0)，|AB|2， 由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x 2 4 y 2 3 1(y0) (2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2， y2) 由 ykx1， x2 4 y 2 3 1， 得(4k23)x28k2x4k2120 则 x1x2 8k2 4k23，x 1x24k 212 4k23 所以|MN| 1k2|x1x2|12k 21 4k23 过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m 的方程为 y1 k(x1)， 点 A 到
32、直线 m 的距 离为 2 k21， 所以|PQ|242 2 k21 2 4 4k23 k21 ， 故四边形 MPNQ 的面积 S1 2|MN|PQ|12 1 1 4k23 可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 3) 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，四边形 MPNQ 的面 积为 12 综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8 3) 培优层素养升华 (教师用书独具) 【例题】已知抛物线 C1的方程为 x22y，其焦点为 F，AB 为过焦点 F 的抛物线 C1的弦，过 A，B 分别作抛物线的切线 l1，l2，设 l1，
33、l2相交于点 P (1)求PA PB 的值； (2)如果圆 C2的方程为 x2y28，且点 P 在圆 C2内部，设直线 AB 与 C2相 交于 C，D 两点，求|AB|CD|的最小值 解(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 F 0，1 2 ， 所以设 AB 的方程为 ykx1 2， 代入抛物线方程得 x22kx10，所以 x1，x2为方程的解，从而 x1x2 2k，x1x21， 又因为 kPA 1 2x 2| xx1x1，kPB 1 2x 2 |xx2x2， 因此 kPAkPBx1x21，即 PAPB， 所以PA PB 0 (2)由(1)知 x1x21，联立 C1在点 A、B 处
34、的切线方程分别为 yx1x1 2x 2 1， yx2x1 2x 2 2， 得到交点 P x1x2 2 ，1 2 由点 P 在圆 x2y28 内得 (x 1x2)231， 又因为|AB|y1y211 2 (x 2 1x22 2) ， |CD|2 8d2，其中 d 为 O 到直线 AB 的距离 所以|AB|CD|1 2 (x 2 1x22 2) 2 8d2 又 AB 的方程为1 2(x 1x2)xy1 20， 所以 d 1 2 1 4x 1x221 1 x21x222， 令 mx21x22，由(x1x2)231 得 m33 又由 mx21 1 x212，所以 m2,33)， 从而|AB|CD| m
35、28m15 所以，当 m2 时，(|AB|CD|)min2 31 该题以直线与抛物线的位置关系为载体，考查焦点弦的弦长，平面向量的数 量积，函数的最值等，将问题综合化.重点考查学生的数学运算，数据分析的核 心素养；同时也考查学生的转化与化归能力.通过该题的学习，学生能进一步发 展数学运算的能力，通过运算促进了数学思维的发展，形成规范化思考问题的品 质，养成严谨求实的科学精神. 跟进训练 已知圆 C 经过椭圆x 2 64 y2 161 的右顶点 A 2、下顶点 B1和上顶点 B2 (1)求圆 C 的标准方程； (2)直线 l 经过点 G(6,1)且与直线 xy10 垂直，P 是直线 l 上的动点， 过点 P 作圆 C 的切线，切点分别为 M，N，求四边形 PMCN 面积的最小值 解(1)圆 C 经过椭圆x 2 64 y2 161 的右顶点 A 2、下顶点 B1和上顶点 B2 设圆心为(a,0)，则半径为 8a，则(8a)2a242，解得 a3， 故所求圆 C 的标准方程为(x3)2y225 (2)易得 l：xy50，圆心 C(3,0)到 l 的距离为 d|35| 2 4 2，圆的半径 为 r5， 当 CPl 时， 四边形 PMCN 面积最小， 此时|PM| PC2r2 3225 7， 四边形 PMCN 面积的最小值为 S|PM|r5 7
