1、1 2.5.2椭圆的几何性质椭圆的几何性质 课后篇巩固提升 基础达标练 1.过椭圆? 2 4 ? ?2 3 =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为() A.8,6B.4,3C.2, 3D.4,2 3 解析由题意知 a=2,b= 3,c=1,最长弦过两个焦点,长为 2a=4,最短弦垂直于 x 轴,长度为当 x=c=1 时, 纵坐标的绝对值的 2 倍为 3. 答案 B 2.(多选)已知椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1 与椭圆 ?2 25 ? ?2 16=1 有相同的长轴,椭圆 ?2 ?2 ? ?2 ?2=1 的短轴长与椭圆 ?2 21 ? ?2 9 =1 的短轴长相等,则下列结论不正确的有()
2、 A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25 C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9 解析椭圆? 2 25 ? ?2 16=1 的长轴长为 10,椭圆 ?2 21 ? ?2 9 =1 的短轴长为 6,由题意可知椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1 的焦点在 x 轴上,即有 a=5,b=3. 答案 ABC 3.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为() A.1 2 B.1 4 C.2D.4 2 解析椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,半短轴长为 1,长轴长是短轴长的 2 倍,故 1 ?=2,解得
3、 m= 1 4. 答案 B 4. (多选)如图,椭圆与有公共的左顶点和左焦点,且椭圆的右顶点为椭圆的中心.设椭圆与 的半长轴长分别为 a1和 a2,半焦距分别为 c1和 c2,离心率分别为 e1,e2,则下列结论正确的是() A.a1+c12(a2+c2)B.a1-c1=a2-c2 C.a1c2a2c1D.e1=?2?1 2 解析由题图知,a1=2a2,c12c2, a1+c12(a2+c2),2a1c22a2c1,即 a1c29 时,a2=k+8,b2=9,e2=? 2 ?2 ? ?2-?2 ?2 ? ?-1 ?8 ? 1 4,解得 k=4. (2)若焦点在 y 轴上, 即 0k+8b0),
4、 椭圆 C的面积为 S=ab=20, 又 e= 1- ?2 ?2 ? 4 5,解得 a 2=100 3 ,b2=12, 所以椭圆 C的方程为 ?2 100 3 ? ?2 12=1. 答案 ?2 100 3 ? ?2 12=1 4 8.已知椭圆 C:4x2+9y2=36.求椭圆的长轴长,焦点坐标和离心率. 解椭圆 C:4x2+9y2=36 的标准方程为? 2 9 ? ?2 4 =1, 所以 a=3,b=2,c= ?2-?2?9-4 ?5, 所以椭圆的长轴长 2a=6,焦点坐标(- 5,0),( 5,0),离心率 e=? ? ? 5 3 . 9.(1)求与椭圆? 2 9 ? ?2 4 =1 有相同
5、的焦点,且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程; (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为 8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在 x轴上的椭圆的标准 方程. 解(1)c= 9-4 ?5, 所求椭圆的焦点为(- 5,0),( 5,0). 设所求椭圆的方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0). e=? ? ? 5 5 ,c= 5,a=5,b2=a2-c2=20, 所求椭圆的方程为? 2 25 ? ?2 20=1. (2)椭圆的焦点在 x 轴上, 设它的标准方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0), 2c=8,c=4,又 a=6,b2=a2-c2=20. 椭圆的方程为?
6、2 36 ? ?2 20=1. 能力提升练 5 1.已知椭圆? 2 4 +y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 1 |?1| ? 1 |?2|的取值范 围为() A.1,2B. 2, 3 C. 2,4D.1,4 解析根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4, 设 m=|PF1|,n=|PF2|, 则 m+n=4,m,na-c,a+c, 即 m,n2- 3,2+ 3,则 1 |?1| ? 1 |?2| ? 1 ? ? 1 ? ? 4 ?(4-?) ? 4 -(?-2)2?41,4. 答案 D 2.已知椭圆 E:? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0)
7、的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于4 5,则椭圆 E的离心率的取值范围是( ) A. 0, 3 2 B. 0, 3 4 C. 3 2 ,1D. 3 4,1 解析设左焦点为 F0,连接 F0A,F0B,则四边形 AFBF0为平行四边形. |AF|+|BF|=4,|AF|+|AF0|=4,a=2. 设 M(0,b),则4? 5 4 5,1bb0),A1,A2,B1,B2 为顶点,F1,F2为焦点,P 为椭圆上一点,满足下列条件能使椭圆 C 为“黄金椭圆”的有() A.|A1F1|,
8、|F1F2|,|F2A2|为等比数列 B.F1B1A2=90 C.PF1x 轴,且 POA2B1 D.四边形 A1B2A2B1的内切圆过焦点 F1,F2 解析 A 中若成等比数列,则(2c)2=(a-c)(a-c), 即 2c=a-c 或 2c=c-a(舍), 解得? ? ? 1 3 5-1 2 ,所以 A 不正确; B 项,若F1B1A2=90, 则由射影定理可得|OB1|2=|F1O|OA2|, 即 b2=ca,所以 c2+ac-a2=0, 即 e2+e-1=0,e(0,1),解得 e= 5-1 2 , 所以 B正确; C 项,若 PF1x 轴,所以 P -?, ?2 ? ,又 POA2B
9、1,则斜率相等,所以 ?2 ? -? ? ? -?,即 b=c,所以 e= ? ? ? ? ?2?2 ? 2 2 ,所以 C 不正确; D项,因为四边形为菱形,则其内切圆的圆心为原点,由圆的对称性可知,圆心到直线 A2B2的距离 等于 c,因为直线 A2B2的方程为? ? ? ? ?=1,即 bx-ay-ab=0,所以原点到直线的距离 d= ? ?2?2, 7 由题意知 ? ?2?2=c,又 b 2=a2-c2, 整理得 a2(a2-c2)=c2(2a2-c2),e4-3e2+1=0,e2(0,1),解得 e2=3- 5 2 , 所以 e= 3- 5 2 ? 5-1 2 ,所以 D 正确. 答
10、案 BD 4.若椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2被点 ? 2,0 分成 53 的两段,则此椭 圆的离心率为() A.16 17 B.4 17 17 C.4 5 D.2 5 5 解析依题意得 ? 2 ?-? 2 ? 5 3,即 c=2b. a2-b2=c2,a= ?2? ?2?5b. e=? ? ? 2 5 5 . 答案 D 5.已知 F 是椭圆 C:? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0)的一个焦点,P 是 C 上的任意一点,则|FP|称为椭圆 C的焦半径. 设 C 的左顶点与上顶点分别为 A,B,若存在以 A 为圆心,|FP| 为
11、半径的圆经过点 B,则椭圆 C 的离心率 的最小值为. 解析如图,|AB|= ?2? ?2,a-c|PF|a+c, 8 由题意可得,a-c ?2? ?2a+c, 不等式左边恒成立,则 ?2? ?2a+c, 两边平方整理得 2e2+2e-10, 解得 e-1- 3 2 (舍)或 e 3-1 2 . 椭圆 C 的离心率的最小值为 3-1 2 . 答案 3-1 2 6.(1)计算: 若 A1,A2是椭圆? 2 9 ? ?2 4 =1 长轴的两个端点,P(0,2),则?1?2=; 若 A1,A2是椭圆? 2 9 ? ?2 4 =1 长轴的两个端点,P - 5, 4 3 ,则?1?2=; 若 A1,A2
12、是椭圆? 2 9 ? ?2 4 =1 长轴的两个端点,P 1,- 4 2 3 ,则?1?2=. (2)观察,由此可得到:若 A1,A2是椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0)长轴的两个端点,P 为椭圆上任意一点, 则?1?2=?并证明你的结论. 解(1)由椭圆方程可得 A1(-3,0),A2(3,0),又 P(0,2),?1?2? 2-0 0?3 ? 2-0 0-3=- 4 9. 由椭圆方程可得 A1(-3,0),A2(3,0), 又 P - 5, 4 3 , ?1?2? 4 3-0 3- 5 ? 4 3-0 -3- 5=- 4 9. 由椭圆方程可得 A1(-3,0),A2(3,0),
13、 9 又 P 1,- 4 2 3 , ?1?2? -4 2 3 -0 1?3 ? -4 2 3 1-3 =-4 9. (2)若 A1,A2是椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0)长轴的两个端点,P 为椭圆上任意一点,则?1?2=- ?2 ?2. 证明如下:设 P(x0,y0). 由题意?1? ?0-0 ?0?,?2 ? ?0-0 ?0-?, 则?1?2? ?0-0 ?0? ?0-0 ?0-? ? ?0 2 ?0 2-?2. 又 P 为椭圆上任意一点,满足 ?0 2 ?2 ? ?0 2 ?2=1,得?0 2=b2 1- ?0 2 ?2 , 代入可得?1?2? ?21- ?0 2 ?2 ?
14、0 2-?2 =-? 2 ?2,得证. 7.如图,已知椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2交椭 圆于另一点 B. (1)若F1AB=90,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦距为 2,且?2 ?=2?2?,求椭圆的方程. 解(1)由F1AB=90及椭圆的对称性知 b=c, 则 e=? ? ? ?2 ?2 ? ?2 ?2?2 ? 2 2 . (2)由已知 a2-b2=1,F2(1,0),A(0,b), 10 设 B(x,y), 则?2 ?=(1,-b),?2?=(x-1,y), 由?2 ?=2?2?,即(1,-b)=2(
15、x-1,y), 解得 x=3 2,y=- ? 2,则 9 4?2 ? ?2 4?2=1, 得 a2=3,因此 b2=2,椭圆的方程为? 2 3 ? ?2 2 =1. 8.已知 F1,F2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,F1PF2=60. (1)求椭圆的离心率的取值范围; (2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. (1)解不妨设椭圆方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0), 由余弦定理得 cos 60=|?1| 2?|?2|2-|?1?2|2 2|?1|?2| = (|?1|?|?2|)2-2|?1|?2|-|?1?2|2 2|?1|?2| , 所以|PF1|PF2|=4a
16、2-2|PF1|PF2|-4c2, 所以 3|PF1|PF2|=4b2, 所以|PF1|PF2|=4? 2 3 . 又因为|PF1|PF2| |?1|?|?2| 2 2 =a2, 所以 3a24(a2-c2),所以? ? 1 2,所以 e 1 2. 又因为椭圆中 0e1, 11 所以所求椭圆的离心率的取值范围是 1 2,1 . (2)证明由(1)可知|PF1|PF2|=4 3b 2, ?1?2? 1 2|PF1|PF2|sin 60 =1 2 ? 4 3b 2 3 2 = 3 3 b2. 所以F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 素养培优练 1.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中
17、心 F 为一个焦为的椭圆,如图所示,已知它的近地 点 A(离地面最近的点)距地面 m千米,远地点 B(离地面最远的点)距地面 n 千米,并且 F,A,B 三点在同 一直线上,地球半径约为 R 千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c,则() A.a-c=m+RB.a+c=n+R C.2a=m+nD.b= (? ? ?)(? ? ?) 解析椭圆的半长轴长为 a,半短轴长为 b,半焦距为 c,则由题意可知 a-c-R=m,a+c-R=n,可得 a-c=m+R, 所以 A正确;a+c=R+n,所以 B 正确;可得 a=? 2 +R,c=?-? 2 ,所以 C 不正确;b2=a2-
18、c2= ? 2 ? ? 2 ? ?-? 2 2=(m+R)(n+R),则 b= (? ? ?)(? ? ?),所以 D 正确. 答案 ABD 12 2.已知椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1 的坐标原点为点 O,有长轴上一端点坐标为(2,0),离心率 e= 3 2 ,过椭圆右焦点倾斜 角为 30的直线交椭圆于 A,B 两点. (1)求椭圆的方程; (2)求三角形 OAB 的面积. 解(1)由题意可知焦点在 x 轴上,则 a=2, e=? ? ? 3 2 ,c= 3,由 a2=b2+c2,解得 b2=1, 椭圆方程为? 2 4 +y2=1. (2)由题意可知右焦点( 3,0),则直线方程为 y= 3 3 (x- 3),即 y= 3 3 x-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程代入椭圆方程整理得 7x2-8 3x=0, 由根与系数的关系 x1+x2=8 3 7 ,x1x2=0, 由弦长公式|AB|= 1 ? 1 3 ? 8 3 7 2 ? 16 7 , 原点 O到直线的距离为 d= |1| 1? 3 3 2 ? 3 2 , OAB 的面积 S=1 2d|AB|= 1 2 ? 3 2 ? 16 7 ? 4 3 7 .OAB 的面积 S=4 3 7 .
