1、课时分层作业(二十五)直线与圆锥曲 线的位置关系 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知双曲线x 2 4 y 2 5 1 的右焦点为 F，过点 F 作一条直线与其中一条渐近 线垂直，垂足为 A，O 为坐标原点，则 SOAF() A3B3 5 C2 5D 5 D双曲线x 2 4 y 2 5 1 的右焦点为 F(3,0)， F 到渐近线5x2y0 的距离 FA 3 5 54 5 则 AO OF2FA2 3252 则 SOAF1 2FAOA 1 2 52 5 2直线 yx3 与抛物线 y24x 交于 A、B 两点，过两点向抛物线的准线 作垂线，垂足分别为 P、Q，则梯形 APQB 的面积为()
2、 A48B56 C64D72 A由 y24x， yx3. 消去 y 得， x210 x90，x1 或 9， x1， y2. 或 x9， y6. |AP|10，|BQ|2 或|BQ|10，|AP|2， |PQ|8，梯形 APQB 的面积为 48，故选 A 3 过椭圆x22y24的左焦点F作倾斜角为 3的弦AB， 则弦AB的长为( ) A6 7 B16 7 C 7 16 D7 6 B椭圆的方程可化为x 2 4 y 2 2 1， F( 2，0) 又直线 AB 的斜率为 3， 直线 AB 的方程为 y 3x 6 由 y 3x 6， x22y24， 得 7x212 2x80 设 A(x1，y1)，B(x
3、2，y2)， 则 x1x212 2 7 ，x1x28 7， |AB| 1k2x1x224x1x216 7 4已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且|AK| 2|AF|，则AFK 的面积为() A4B8 C16D32 B因为抛物线 C：y28x 的焦点为 F(2,0)， 准线为 x2， 所以 K(2,0)， 设 A(x0，y0)，如图所示，过点 A 向准线作垂线，垂足为 B， 则 B(2，y0) 因为|AK| 2|AF|， 又|AF|AB|x0(2)x02， 所以由|BK|2|AK|2|AB|2， 得 y20(x02)2， 即 8x0(x02)2
4、， 解得 x02，y04， 所以 SAFK的面积为1 2|KF|y 0|1 2448 5如果 AB 是椭圆x 2 a2 y2 b21 的任意一条与 x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中 心，e 为椭圆的离心率，M 为 AB 的中点，则 kABkOM的值为() Ae1B1e Ce21D1e2 C设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 M(x0，y0)，由点差法，x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b2 1，作差得 x1x2x1x2 a2 y2y1y2y1 b2 ， 所以 kABkOMy2y1 x2x1 y1y2 x1x2 b2 a2 c 2a2 a2 e21 二、填空题
5、6直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k 0 或 1当 k0 时，直线与抛物线有唯一交点， 当 k0 时，联立方程消 y 得： k2x24(k2)x40， 由题意16(k2)216k20， k1 7若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y 2 3 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的 任意一点，则OP FP 的最大值为 6由x 2 4 y 2 3 1 可得 F(1,0) 设 P(x，y)，2x2，则OP FP x2xy2x2x31x 2 4 1 4x 2x3 1 4(x2) 22， 当且仅当 x2 时，OP FP 取得最大值 6 8设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的
6、一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲 线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 5+1 2 设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐 近线方程为 yb ax，而 k BFb c b a b c 1，整理得 b2ac c2a2ac0两边同除以 a2，得 e2e10， 解得 e1 5 2 或 e1 5 2 (舍去) 三、解答题 9已知抛物线 y2x 与直线 yk(x1)相交于 A，B 两点 (1)求证：OAOB； (2)当OAB 的面积等于 10时，求 k 的值 解(1)如图所示，由 y2x ykx1 消去 x 得，ky2yk0 设 A(x1，y1)，
7、B(x2，y2)，由根与系数的关系得 y1y21，y1y21 k A，B 在抛物线 y2x 上， y21x1，y22x2，y21y22x1x2 kOAkOBy1 x1 y2 x2 y1y2 x1x2 1 y1y21，OAOB (2)设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0 令 y0，得 x1，即 N(1,0) SOABSOANSOBN 1 2|ON|y 1|1 2|ON|y 2| 1 2|ON|y 1y2|， SOAB1 21 y 1y224y1y2 1 2 1 k 2 4 SOAB 10， 101 2 1 k24，解得 k 1 6 10已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，离心率
8、是 1 2，原点与 C 和直线 x1 的 交点围成的三角形面积是3 2若直线 l 过点 2 7，0，且与椭圆 C 相交于 A，B 两点 (A，B 不是顶点)，D 是椭圆 C 的右顶点，求证ADB 是定值 证明由题意可知：ec a 1b 2 a2 1 2，所以 a 24 3b 2，由直线 x1 与椭 圆相交，交点 P(1，y)(y0)，由题意可知： 1 212y 3 2，解得 y 3 2，将 P 1，3 2 代入椭圆方程： x2 4 3b 2 y2 b21，解得 b 23，a24，所以椭圆方程为x2 4 y 2 3 1，即 4y23x2120所以 D 点坐标为(2,0)， 当直线 l 的斜率不存
9、在时，A 2 7， 12 7 ，B 2 7， 12 7 ， DA DB 0，ADB 2 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：xmy2 7， 由 xmy2 7， 4y23x2120 得(196147m2)y284my5760， l 与 C 有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 0，且 y1y2 576 196147m2，y 1y2 84m 196147m2， x1x2 84m2 196147m2 4 7，x 1x2 600m2 196147m2 4 49， DA (x12，y1)，DB (x22，y2)，DA DB x1x22(x1x2)y1y24， 432m 2576 19614
10、7m2 144 49 432m 2576432m2576 196147m2 0， ADB 2综上，ADB 2 11(多选题)已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物 线于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点 为 Q若抛物线 C 上存在一点 E(t,2)到焦点 F 的距离等于 3则下列说法正确的 是() A抛物线的方程是 x22y B抛物线的准线是 y1 CsinQMN 的最小值是1 2 D线段 AB 的最小值是 6 BC抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F 0，p 2 ， 得抛物线的准线方程为 yp 2，
11、 点 E(t,2)到焦点 F 的距离等于 3， 可得 2p 23，解得 p2， 则抛物线 C 的方程为 x24y，所以 A 不正确； 抛物线的准线方程：y1，所以 B 正确； 由题知直线 l 的斜率存在，F(0,1)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 l 的方程为 ykx1， 由 ykx1， x24y， 消去 y 得 x24kx40， 所以 x1x24k，x1x24， 所以 y1y2k(x1x2)24k22， 所以 AB 的中点 Q 的坐标为(2k,2k21)， |AB|y1y2p4k2224k24， 所以圆 Q 的半径为 r2k22， 在等腰QMN 中， sinQMN|yQ|
12、 r 2k 21 2k221 1 2k221 1 2 1 2， 当且仅当 k0 时取等号 所以 sinQMN 的最小值为1 2所以 C 正确； 线段 AB 的最小值是：y1y224k244 所以 D 不正确 12点 P 为抛物线 y22px 上任一点，F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴() A相交B相切 C相离D位置由 F 确定 B如图，抛物线的焦点为 F p 2，0，M 为 PF 的中点，准线是 l：xp 2作 PHl 于 H，交 y 轴于 Q，那么|PF|PH|，且|QH|OF|p 2，作 MNy 轴于 N， 则 MN 是梯形 PQOF 的中位线，即|MN|1 2(|OF|PQ|
13、) 1 2|PH| 1 2|PF|，故以 PF 为直径的圆与 y 轴相切 13(一题两空)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)第一象限上一点与中心、右焦点构成 一个正三角形，则此椭圆的离心率 e，当此三角形的面积是 4 3，则 b2 318 3如图，由OPF 为正三角形，可得 P c 2， 3 2 c ，代入椭圆方 程，可得 c2 4a2 3c2 4b21，又 b 2a2c2，得(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)， 解得 ec a 31，若 S OPF1 2c 3 2 c4 3，则 c4， a2 c2 312 16 42 3168 3，则 b 2a2c28 3 14已知 F 为抛
14、物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2， 直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小 值为 16因为 F 为 y24x 的焦点，所以 F(1,0) 由题意直线 l1，l2的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 1 k，故直线 l 1，l2的方程分别为 yk(x1)，y1 k(x1) 由 ykx1， y24x， 得 k2x2(2k24)xk20 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k 24 k2 ，x1x21， 所以|AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x
15、1x2 1k2 2k24 k2 2 441k 2 k2 同理可得|DE|4(1k2) 所以|AB|DE|41k 2 k2 4(1k2) 4 1 k211k 2 84 k2 1 k284216， 当且仅当 k2 1 k2，即 k1 时，取得等号 15已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A， B，与 x 轴的交点为 P (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若AP 3PB，求|AB| 解(1)设直线 l：y3 2xt，A(x 1，y1)，B(x2，y2) 由题设得 F 3 4，0，故|AF|BF|x1x23 2， 由题设可得 x1x25 2 由 y3 2xt， y23x， 可得 9x212(t1)x4t20， 则 x1x212t1 9 从而12t1 9 5 2，得 t 7 8 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8 (2)由AP 3 PB可得 y 13y2 由 y3 2xt， y23x 可得 y22y2t0 所以 y1y22 从而3y2y22， 故 y21，y13 代入 C 的方程得 x13，x21 3 故|AB|4 13 3
