（2021新人教B版）高中数学必修第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数 培优教程（讲义+课后课时精练+单元质量测评）.zip

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1下列式子中，正确的个数为() a；若 aR，则(a2a1)01； n an A0 B1 C2 D3 答案B 解析中，若 n 为偶数，则不一定成立，错误；中，因为 a2a1 2 0，所以(a2a1)01，正确；显然错误；左边为负数，而右 (a 1 2) 3 4 边为正数，错误，故选 B. 2计算： 44()( 3 6 a9) (6 3a9) Aa16 Ba8 Ca4 Da2 答案C 解析 32(2k1)2(2k1)22k等于() A22k B22k1 C2(2k1) D2 答案C 解析原式2122k222k22k 22k22k12(2k1)故选 C. 1 2 答案C 解析 5设 2a5bm，且 2，则 m 等于() 1 a 1 b A. B10 C20 D100 10 答案A 解析 二、填空题 答案4 解析 7已知 aR，nN，给出四个式子：； 6 22n 5 a2 ； ，其中没有意义的是_(只填式子的序号即可) 6 32n1 9 a4 答案 解析中，(2)2n0， 有意义； 6 22n 中，根指数为 5，有意义； 5 a2 中，(3)2n10， 没有意义； 6 32n1 中，根指数为 9， 有意义 9 a4 8已知 m(1)1，n(1)1，则(m1)1(n1)1_. 22 答案 2 解析m1，n1， 1 212 1 212 m1，n1. 22 (m1)1(n1)1()1()1. 222 三、解答题 解 10化简下列各式： 解 B 级：“四能”提升训练 解 t2t21 tt1t2tt1t2 tt1 1111121. 2 1 21222 2已知 pa3qb3rc3，且 1，求证： 1 a 1 b 1 c 证明令 pa3qb3rc3k， 则 pa2 ，qb2 ，rc2 ， k a k b k c 4.1.1实数指数幂及其运算 (教师独具内容) 课程标准：1.了解 n 次方根及根式的概念，会运用根式的运算性质进行根式 运算.2.理解分数指数幂的含义，会根据分数指数幂的含义进行根式与分数指数幂 的互化.3.掌握有理指数幂的运算性质.4.通过具体实例了解实数指数幂的意义. 教学重点：根式与分数指数幂的互化. 教学难点：运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值. 知识点一n 次方根的概念 一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xna，则 x 称为a 的 n 次方根 01 02 知识点二根式的意义和性质 1当有意义的时候，称为根式，n 称为根指数，a 称为被 n a 01 n a 02 03 开方数 2根式的性质 (1)()na. n a 04 (2)当 n 为奇数时，a；当 n 为偶数时，|a|. n an 05 n an 06 知识点三分数指数幂 1分数指数幂的意义 (2)当 s 是正分数，as有意义且 a0 时，规定as. 04 1 as 2有理数指数幂的运算法则 asatast(s，tQ)， (as)tast(s，tQ)， (ab)sasbs(sQ) 知识点四实数指数幂 一般地，当 a0 且 t 是无理数时，at都是一个确定的实数，且对任意实 01 数 s 和 t，有理数指数幂的运算法则仍然成立 1()n与的含义 n a n an (1)当 n 为大于 1 的奇数时，对任意 aR 都有意义，它表示 a 在实数范围 n a 内唯一的一个 n 次方根，()na，a. n a n an (2)当 n 为大于 1 的偶数时，只有当 a0 时有意义，当 a0 时无意义. n a (a0)表示 a 在实数范围内的一个 n 次方根，另一个是，()na； n a n a n a 对任意 aR 都有意义，|a|. n an n an 2分数指数幂的理解及应用 (1)a 不可理解为 个 a 相乘，一定要与 an(nN)的意义区分开 m n (2)a (nN，且 为既约分数)实现了根式与分数指数幂的相互转化， n am m n 其规律为 根指数 化为 分数指数的分母 被开方数式的指数 化为 分数指数的分子 (3)在计算与化简中，对于结果，不强调统一用什么形式来表示，若无特殊 要求，则一般用分数指数幂的形式；若有要求，则根据要求给出结果结果不能 同时含有分数指数和根号，也不能既有负指数又有分母 3对无理数指数幂的理解 无理数指数幂通常用近似逼近的方法转化为有理数指数幂，即用有理数指数 幂的不足近似值和过剩近似值不断逼近无理数指数幂的准确值 1判一判(正确的打“” ，错误的打“”) (1)因为 3481，所以 3 是 81 的四次平方根() (2)当 nN时，()n都有意义() n 16 (3) 3.() 32 答案(1)(2)(3) 2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)化简：_. 3 xy2 6 x54y3 (3)若 x35，则 x_. (4)若 n 为正偶数时， x1，则 x 的取值范围为_ n x1n 答案 题型一 根式的性质与运算 例 1化简下列各式： (1)； 3 a3 (2) ； 4 x44 (3)； a6 (4) ； 4a24a1(a 1 2) (5) . 32 2 3 1 23 4 1 24 解(1)a. 3 a3 (2) |x4|Error! 4 x44 (3)|a3|Error! a6a32 (4) |2a1|， 4a24a12a12 又 a ，2a10，|2a1|12a，即原式12a. 1 2 (5)因为 32()221(1)2， 2222 所以原式 1 22 3 1 23 4 1 24 |1|(1)|1| 222 111 222 1. 2 解决根式化简问题的关键 (1)利用根式的性质解题的关键是在理解的基础上熟记根式的意义与性质， 特别要注意在中，n 是偶数且 a0 的情况 n an (2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换及平方差、立方差和完全平方、 完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时需进行讨论 计算下列各式的值： (1) ；(2) ；(3) ； 3 43 4 92 8 x28 (4) ； 3 63 4 544 3 543 (5) . x22xyy2 7 yx7 解(1) 4. 3 43 (2) 3. 4 92 4 81 4 34 (3) |x2|Error! 8 x28 (4)原式6(4)46. 55 (5)原式yx|xy|yx. xy2 当 xy 时，原式xyyx0； 当 x0)， 1若()n10，a0，且 nN*，则() n an n1 a Aa0，且 n 为偶数 Ba0，且 n 为奇数 Da0，且 n 为奇数 答案B 解析由()n1a，得a，故 n 为偶数且 a Da 1 3 1 3 1 3 答案D 解析原方程化为，左边为非负值，故右边也应为非负 6 3a12 3 13a 值，所以 13a0，a . 1 3 答案23 解析 5计算(或化简)下列各式： (1) ； 61 4 3 33 8 3 0.125 解(1)原式 25 4 3 27 8 3 1 8 . 5 2 3 2 1 2 3 2 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1若函数 f(x)(a23a3)ax是指数函数，则有() Aa1 或 a2 Ba1 Ca2 Da0，且 a1 答案C 解析由题意，得Error!解得 a2. 答案A 解析 3函数 y 1x的单调递增区间为() ( 1 2) A(，) B(0，) C(1，) D(0,1) 答案A 解析设 t1x，则 y t，则函数 t1x 的单调递减区间为 ( 1 2) (，)，即为 y 1x的单调递增区间 ( 1 2) 4下列函数中，值域是(0，)的是() 答案B 解析y5的值域为(0,1)(1，)；y 1x的值域为(0，)；y ( 1 3) 的值域为0，)；y的值域为0,1)故选 B. 2x112x 5函数 y(0a1)的图像大致是() xax |x| 答案D 解析由题意可得 yError!(0a0，且 a1)的图像不经过第二象限，则实数 a 的取值范围为_ 答案11 且当 x0 时，y0，即 a0a30，即 a2，故 1ax7(a0 且 a1)，求 x 的取值范围； (2)已知(a2a2)x(a2a2)1x，求 x 的取值范围 解(1)当 a1 时，因为 a5xax7， 所以5xx7，解得 x ； 7 6 当 0aax7， 所以5x . 7 6 综上所述，当 a1 时，x 的取值范围是； (， 7 6) 当 0a1， (a 1 2) 7 4 所以 y(a2a2)x在 R 上是增函数 所以 x1x，解得 x . 1 2 所以 x 的取值范围是. ( 1 2，) 10已知函数 y |x1|. ( 1 3) (1)作出此函数的图像； (2)由图像确定其单调性； (3)由图像指出当 x 取什么值时函数有最大值 解由函数解析式可得 y |x1|Error! ( 1 3) (1)当 x1 时，y x1是由 yx向左平移 1 个单位得到的； ( 1 3) ( 1 3) 当 x1 时，y3x1是由 y3x向左平移 1 个单位得到的函数 y |x1| ( 1 3) 的图像如图实线部分所示 (2)由图像知，函数在(，1上是增函数，在1，)上是减函数 (3)由图像知，当 x1 时，函数有最大值为 1. B 级：“四能”提升训练 (1)若 0a1，求满足不等式 f(x)1，则 3x235x5， 即 3x25x20，解得 x1 或 x ； 2 3 若 0a1， 则所求解集为(，1； 2 3，) 若 0a1，则所求解集为. 1， 2 3 2已知定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数 b2x 2xa (1)求 a，b 的值； (2)用定义证明 f(x)在(，)上为减函数； (3)若对于任意 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范 围 解(1)f(x)为 R 上的奇函数， f(0)0，b1. 又由 f(1)f(1)，得 a1. (2)证明：任取 x1，x2R，且 x1x2， (3)tR 时，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立， f(t22t)f(2t2k) f(x)是奇函数，f(t22t)k2t2，即 k3t22t 恒成立 又 3t22t3 2 ， (t 1 3) 1 3 1 3 k ，即 k 的取值范围为. 1 3 (， 1 3) 4.1.2指数函数的性质与图像 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概 念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数 的单调性与特殊点. 教学重点：指数函数的概念、图像和性质. 教学难点：运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题. 知识点一指数函数的概念 一般地，函数yax称为指数函数，其中a 是常数，a0 且 a 01 02 03 1. 04 知识点二指数函数的图像和性质 指数函数 yax(a0 且 a1)的图像和性质如下表： 1指数函数 yax的特征 (1)ax的系数是 1. (2)ax的底数是常数，且是不等于 1 的正实数 (3)ax的指数仅含有自变量 x. 2指数函数 yax中规定底数 a0 且 a1 的原因 (1)若 a0 时，ax0；当 x0 时，ax无意义 (3)若 a1，则对于任何 xR，ax是一个常量 1，没有研究的必要性 为了避免上述各种情况，所以规定 a0 且 a1，这样对于任何 xR，ax都 有意义 3在同一坐标系中，几个指数函数图像的相对位置与底数的关系 在 y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图像从下到 上相应的底数由大变小，这一性质可通过 x 取 1 时，函数值的大小去理解如图 所示，a，b，c 分别对应函数 yax，ybx，ycx当 x 取 1 时的函数值， abc，在 y 轴右侧图像从上到下对应 yax，ybx，ycx，这就验证了上 述性质 1判一判(正确的打“” ，错误的打“”) (1)指数函数的图像一定在 x 轴的上方() (2)当 a1 时，对于任意 xR 总有 ax1.() (3)函数 f(x)2x在 R 上是增函数() 答案(1)(2)(3) 2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若 f(x)(a23)ax是指数函数，则 a_. (2)若函数 f(x)ax1(a0 且 a1)的图像过点(3,9)，则 f(1)_. (3)函数 f(x)()x，x0,2的值域是_ 2 答案(1)2(2)3(3) 1 2，1 题型一指数函数的概念 例 1(1)函数 f(x)(m2m1)ax(a0，且 a1)是指数函数，则 m_； (2)若指数函数 f(x)的图像经过点(2,9)，则 f(2)_，f(1)_. 解析(1)函数 f(x)(m2m1)ax是指数函数， m2m11，解得 m0 或 1. (2)设 f(x)ax(a0 且 a1)， f(x)的图像过点(2,9)， a29，a3，即 f(x)3x. f(2)32 ，f(1)3. 1 9 答案(1)0 或 1(2) 3 1 9 1.指数函数的判定 判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合 yax(a0 且 a1)这一结构形式，其具备的特点为： 2待定系数法求指数函数的解析式 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然 后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式，其中掌握 指数函数的概念是解决这类问题的关键 已知指数函数 yax(a2)(a3)的图像过点(2,4)，求 a 的值 解由指数函数的定义，可知(a2)(a3)0，解得 a2 或 a3.当 a2 时，指数函数 y2x的图像过点(2,4)，符合题意；当 a3 时，指数函数 y3x的 图像不过点(2,4)，应舍去 综上，a2. 题型二 指数函数的图像问题 例 2(1)如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图像，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为() Aab1cd Bba1dc C1abcd Dab1d0 且 a1)的图像过定点_ 解析(1)解法一：由图像可知的底数必大于 1，的底数必小于 1. 作直线 x1，在第一象限内直线 x1 与各曲线的交点的纵坐标即各指数函 数的底数，则 1dc，ba1，从而可知 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 ba1dc. 解法二：根据图像可以先分两类： 的底数大于 1，的底数大于 0 小于 1，再由比较 c，d 的大小， 由比较 a，b 的大小当指数函数的底数大于 1 时，图像上升，且底数越大 时图像向上越靠近 y 轴；当底数大于 0 小于 1 时，图像下降，底数越小，图像向 右越靠近 x 轴由以上分析，可知 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 ba1d0，且 a1)的图像过定点(0,1)，所以在 函数 yax33 中，令 x3，得 y134，即函数的图像过定点(3,4) 解法二：将原函数变形，得 y3ax3，把 y3 看成 x3 的指数函数，所 以当 x30 时，y31，即 x3 时，y4，所以原函数的图像过定点(3,4) 答案(1)B(2)(3,4) 1.识别指数函数图像问题的注意点 (1)根据图像“上升”或“下降”确定底数 a1 或 0a0 且 a1)的图像过定点(0,1)，据此，可解决形如 ykaxcb(k0，a0 且 a1)的函数图像过定点的问题，即令 xc，得 ykb，函数图像过定点(c，kb) (1)二次函数 yax2bx 与指数函数 y x的图像可能是() ( b a) (2)函数 ya2x11(a0 且 a1)的图像过定点_ 答案(1)A(2)( 1 2，2) 解析(1)抛物线的方程是 ya 2 ，其顶点坐标为， (x b 2a) b2 4a ( b 2a， b2 4a) 由指数函数的图像知 0 1，所以 0，再观察四个选项，只有 A 中的 b a 1 2 b 2a 抛物线的顶点的横坐标在 和 0 之间，故选 A. 1 2 (2)令 2x10，得 x ，此时 ya012，所以函数图像恒过. 1 2 ( 1 2，2) 题型三 比较大小 例 3比较下列各题中数的大小： (1)1.5a,1.5a1； (2)0.32,0.33； (3)0.80.1,1.250.2； (5)a1a，(1a)a. ( 1 2 a a1，1.5a1.5a1. (2)函数 y0.3x在(，)上为减函数， 又20.33. (3)1.250.20.80.2，由于 00.81， 指数函数 y0.8x在(，)上为减函数， 0.80.10.80.21.250.2. (5) aa1a0， 1 2 (1a)a(1a)1a1，y1.8x在 R 上为增函数 1.82.20.4，0.70.31.901,0.92.40.92.4. 题型四 定义域、值域问题 例 4求下列函数的定义域与值域： (1)y2 ；(2)y 2x1. ( 1 2) 解(1)令 t，则 y2t，函数 t的定义域是x|xR 且 x4， 1 x4 1 x4 函数 y2的定义域为x|xR 且 x4 函数 t的值域是 1 x4 t|t0， 函数 y2t的定义域是t|t0 函数 y2t(t0)的图像如图所示 y2的值域为y|y0 且 y1 (2)令 t2x1，则 y t，函数 t2x1 的定义域是 R. ( 1 2) 函数 y 2x1的定义域为 R. ( 1 2) 一次函数 t2x1 的值域是 R， 函数 y2t的定义域是 R. 函数 y t(tR)的图像如图所示 ( 1 2) y 2x1的值域为y|y0 ( 1 2) 指数函数定义域、值域问题的求解思路 (1)求定义域要根据函数自身的要求，找出关于 x 的不等式，解不等式或不 等式组可得定义域 (2)求函数 yaf(x)(a0 且 a1)的值域的方法： 换元，令 tf(x)，并求 tf(x)的定义域； 求 tf(x)的值域 M； 利用 yat的单调性，求 yat在 tM 上的值域 (1)函数 f(x) x1，x1,2的值域为_； ( 1 3) (2)求函数 y |x|的定义域和值域 ( 2 3) 答案(1)(2)见解析 8 9，2 解析(1)1x2， x3， 1 9 ( 1 3) x12，值域为 . 8 9 ( 1 3) 8 9，2 (2)令 t|x|，则 y t， ( 2 3) 函数 t|x|的定义域是 R， 函数 y |x|的定义域为 R， ( 2 3) 函数 t|x|的值域是t|t0， 函数 y t的定义域是 ( 2 3) t|t0 函数 y t(t0)的图像如图所示 ( 2 3) y |x|的值域为y|y1. ( 2 3) 题型五 指数函数性质的综合应用 例 5(1)若函数 f(x)是奇函数，则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为() 2x1 2xa A(，1) B(1,0) C(0,1) D(1，) (2)求函数 f(x) x22x的定义域和单调区间； ( 1 3) (3)求函数 y x3x2，x2,2的值域 ( 1 4) ( 1 2) 解析(1)由题意，知 f(x)f(x)， 即， 2x1 2xa 2x1 2xa 所以(1a)(2x1)0，解得 a1， 所以 f(x). 2x1 2x1 由 f(x)3，得 12x2，所以 0 x1 时，函数 yaf(x)与函数 f(x)的单调性相同；当 0a0 且 a1)是定义在 R 上的奇函数 求 k 的值； 若 f(1)0，试判断函数的单调性(不需证明) 答案(1)C(2)见解析(3)见解析 解析(1)由题意可得 f(x)22x2x12(2x1)211,2， 2x1(1,1，即 2x(0,2，x(，1，即函数 f(x)22x2x12 的定 义域是(，1，即 M(，1结合所给的选项可得，一定正确的结论的 序号是，即一定正确的有 4 个 (2)函数的定义域为 R，因为 31，故指数函数 y3u是增函数 令 ux22x7，对于二次函数 ux22x7(x1)26，当 x1，)时， u 为增函数，当 x(，1时，u 为减函数 y3x22x7 的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1 (3)解法一：f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)0，即 k10，k1， 又 f(x)axax，f(x)axax(axax)f(x)， k1，符合题意 解法二：f(x)kaxax，f(x)kaxax，又 f(x)是奇函数，f(x) f(x)在定义域 R 上恒成立， Error!解得 k1. f(1)a 0，又 a0 且 a1，a1. 1 a yax，yax都是 R 上的增函数， f(x)是 R 上的增函数 1下列各函数中是指数函数的是() Ay(3)x By3x Cy3x1 Dy x ( 1 2) 答案D 解析根据指数函数的定义，yax(a0 且 a1)，可知只有 D 项正确，故 选 D. 2若 2a132a，a . ( 1 2) 1 2 3已知 1nm0，则指数函数ymx，ynx的图像为() 答案C 解析由于 0mn0 且 a1)，则 f(0)a01，它的图像过点 (，2)， 2a，f()a . 1 a 1 2 5求下列函数的定义域、值域： 解(1)由 x10 得 x1， 所以函数定义域为x|x1由0 得 y1， 1 x1 所以函数值域为y|y0 且 y1 (2)由 5x10 得 x ， 1 5 所以函数定义域为Error!. 由0，得 y1，所以函数值域为y|y1 5x1 (3)定义域为 R. A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1若 log(x1)(x1)1，则 x 的取值范围是() Ax1 Bx1 Cx2 Dx1 且 x2 答案D 解析使 log(x1)(x1)1 有意义，需 x10 且 x11，即 x1 且 x2，故选 D. 2下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是() 答案C 解析A，B，D 正确log392 变成指数式应为 329，故 C 不正确 3方程 2log3x 的解是() 1 4 Ax Bx 1 9 3 3 Cx Dx9 3 答案A 解析 4设 alog310，blog37，则 3ab() A. B. C. D. 10 49 7 10 10 7 49 10 答案C 解析alog310，blog37，3a10,3b7，3ab. 3a 3b 10 7 5如果 f(10 x)x，则 f(3)等于() Alog310 Blg 3 C103 D310 答案B 解析解法一：令 10 xt，则 xlg t，f(t)lg t. f(3)lg 3. 解法二：令 10 x3，得 xlg 3，f(3)lg 3，故选 B. 二、填空题 答案 1 2 解析 答案1 解析由 a0，a2 2，可知 a ， 4 9 ( 2 3) 2 3 答案3 解析 三、解答题 9计算： 解(1)设 log84x，则 8x4， 即 23x22,3x2，x ，故 log84 . 2 3 2 3 10求下列各式中的 x 的值： (1)logx27 ；(2)log2x ； 3 2 2 3 (3)logx(32)2；(4)log5(log2x)0； 2 (5)lg (ln x)1；(6)lg (ln x)0. 解 B 级：“四能”提升训练 解 2已知二次函数 f(x)(lg a)x22x4lg a 的最大值为 3，求 a 的值 解原函数式可化为 f(x)lg a 2 4lg a. (x 1 lg a) 1 lg a f(x)有最大值 3， lg a0，且4lg a3， 1 lg a 整理，得 4(lg a)23lg a10， 解得 lg a1 或 lg a . 1 4 4.2.1对数运算 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的 底数和真数的范围.3.掌握对数的基本性质，并能运用基本性质解决相关问题.4.了 解常用对数和自然对数的概念. 教学重点：对数的概念及对数的基本性质. 教学难点：对数概念的理解及对数基本性质的运用. 知识点一对数的定义及相关概念 在表达式 abN(a0 且 a1，N(0，)中，当 a 与 N 确定之后，只有 唯一的 b 能满足这个式子，此时，幂指数 b 称为以a 为底N 的对数， 01 02 03 记作blogaN，其中a 称为对数的底数，N 称为对数的真数 04 05 06 知识点二对数的基本性质 由对数的概念可得到如下性质： (1)负数和零没有对数 01 (2)以 a(a0 且 a1)为底 1 的对数为0，即 loga10(a0 且 a1) 02 03 (3)底的对数为1，即 logaa1(a0 且 a1) 04 05 (4)对数恒等式 alogaNN(a0 且 a1，N0) 06 因为由 blogaN，得 abN，所以将 blogaN 代入上式，可得 alogaN 07 N. 08 (5)logaabb(a0 且 a1) 09 因为 abNlogaNb，所以 logaabb(a0 且 a1) 10 11 知识点三常用对数与自然对数的概念 1常用对数 (1)定义：以 10 为底的对数称为常用对数 01 (2)符号表示：常用对数 log10N 通常简写为lg_N. 02 2自然对数 (1)定义：以 e 为底的对数称为自然对数 03 (2)符号表示：自然对数 logeN 通常简写为ln_N. 04 在对数 logaN 中规定 a0 且 a1 的原因 (1)若 a0，知 N 恒大于 0. 1判一判(正确的打“” ，错误的打“”) (1)因为(2)416，所以 log(2)164.() (2)对数式 log32 与 log23 的意义一样() (3)对数运算的实质是求幂指数() (4)等式 loga10 对于任意实数 a 恒成立() 答案(1)(2)(3)(4) 2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)将 log3a2 化为指数式为_ (2)若 5x2020，则 x_. (3)lg 10_；ln e_. 答案(1)32a(2)log52020(3)11(4)1 题型一对数的定义 例 1在对数式 bloga2(5a)中，实数 a 的取值范围是() Aa5 或 a2 B2a5 C2a3 或 3a5 D3a4 解析由题意得Error! 解得 2a3 或 3a 且 x1. 1 2 即 x 的取值范围是Error!. 题型二 指数式与对数式的互化 例 2(1)将下列指数式改写成对数式： 2416；25；3481； mn； 1 32 ( 1 2) 解(1)log2164；log25；log3814； 1 32 (2)53125； 416；eba,1031000. ( 1 2) 指数式与对数式互化的思路 指数式 abN 可以写成 logaNb(a0 且 a1)，这是指数式与对数式互化的 依据对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式具体对应如下： (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变， 写出对数式 (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变， 写出指数式 (1)若 alog23，则 2a2a_； (2)将下列指数式与对数式互化： 答案(1)(2)见解析 10 3 解析(1)因为 alog23，所以 2a3，则 2a2a331. 10 3 (2)2416；()6x；log4643. 3 题型三 对数恒等式的应用 例 3求下列各式的值： 解(1)设 5log54x，则 log54log5x，x4. 运用对数恒等式时的注意事项 (1)对于对数恒等式 alogaNN(a0 且 a1，N0)要注意格式：它们是同底 的；指数中含有对数形式；其值为对数的真数 (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应 用 解 题型四 对数性质的应用 例 4(1)给出下列各式： lg (lg 10)0； lg (ln e)0； 若 10lg x，则 x10； 由 log25x ，得 x5. 1 2 其中，正确的是_(把正确的序号都填上) (2)求下列各式中 x 的值： log2(log5x)0；log3(lg x)1； 解析 答案(1)(2)见解析 对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa1，loga10(a0 且 a1) (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于 多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质 (1)若 log3(2x1)1，则 x_； (2)已知 log2log3(log4x)0，求 x 的值； (3)若 log(x2)(x27x13)0，求 x 的值 答案(1)2(2)见解析(3)见解析 解析(1)由已知可得 2x13，x2. (2)log2log3(log4x)0， log3(log4x)1，log4x3. x4364. (3)因为 log(x2)(x27x13)0， 所以Error!即Error! 解得 x4.故所求 x 的值为 4. 1有下列说法： 零和负数没有对数； 任何一个指数式都可以化成对数式； 以 e 为底的对数称为常用对数 其中正确命题的个数为() A1 B2 C3 D0 答案A 解析正确；对于，(2)38 不能化为对数式，故错误；对于 ，以 e 为底的对数称为自然对数，故错误，故选 A. 2若 log8x ，则 x 的值为() 2 3 A. B4 C2 D. 1 4 1 2 答案A 解析 3已知 logx162，则 x 等于() A4 B4 C256 D2 答案B 解析x216 且 x0，x1，x4.故选 B. 答案5 解析 5(1)若 log31，求 x 的值； 12x 3 (2)若 log2020(x21)0，求 x 的值； 解(1)log31，3， 12x 3 12x 3 12x9，x4. (2)log2020(x21)0， x211，即 x22.x. 2 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 12log510log50.25() A0 B1 C2 D4 答案C 解析2log510log50.25log5100log50.25log5252. 2如果 lg xlg a3lg b5lg c，那么() Ax Bx ab3 c5 3ab 5c Cxa3b5c Dxab3c3 答案A 解析lg xlg a3lg b5lg clg alg b3lg c5lg，x. ab3 c5 ab3 c5 3化简 log2log2log2log2等于() 1 2 2 3 3 4 31 32 A5 B4 C5 D4 答案C 解析原式log2log25. ( 1 2 2 3 3 4 31 32) 1 32 4若 2.5x1000,0.25y1000，则 () 1 x 1 y A. B3 C D3 1 3 1 3 答案A 解析xlog2.51000，ylog0.251000， (lg 3 lg 2.5 3 lg 0.25 1 x 1 y 1 3 2.5lg 0.25) lg lg 10 1 3 2.5 0.25 1 3 1 3 5若 lg a，lg b 是方程 2x24x10 的两个根，则 2的值等于() (lg a b) A2 B. C4 D. 1 2 1 4 答案A 解析由根与系数的关系，得 lg alg b2，lg alg b ， 2(lg 1 2 (lg a b) alg b)2(lg alg b)24lg alg b224 2. 1 2 二、填空题 答案 15 4 解析 7化简(log43log83)(log32log92)_. 答案 5 4 解析原式 ( log23 log24 log23 log28) ( 1 log23 1 log232) log23 . 5 6 3 2log23 5 4 8计算：log225log3log5ln _. 1 16 1 9e 答案8 解析原式 8. 2lg 5 lg 2 4lg 2 lg 3 2lg 3 lg 5 1 2 三、解答题 解 10解下列方程： (1) (lg xlg 3)lg 5 lg (x10)； 1 2 1 2 (2)lg x2log(10 x)x2. 解(1)由已知方程知Error!故 x10. 原方程可化为 lg lg ， x 3 5 x10 所以 ，即 x210 x750. x 3 5 x10 解得 x15 或 x5(舍去)， 经检验，x15 是原方程的解 (2)由已知方程知 10 x0 且 10 x1， 即 x0 且 x. 1 10 原方程可化为 lg x2， 2lg x 1lg x 即 lg2xlg x20. 令 tlg x，则 t2t20， 解得 t1 或 t2， 即 lg x1 或 lg x2， 所以 x10 或 x. 1 100 经检验，x10，x都是原方程的解 1 100 B 级：“四能”提升训练 1设 0a0，y0，z0，且 ，求证：zxy. 1 a 1 b 1 c 证明(1)令 5x2y()zk，则 10 xlog5k，ylog2k， zlg k，z2lg k， 1 2 所以 z x z y 2lg k log5k 2lg k log2k 2lg k(logk5logk2)2lg klogk102. 所以 2. z x z y (2)当 xyz1 时，满足 zxy； 当 x1，y1，z1 时， 令 xaybzct(t0，且 t1)， 则 alogxt，blogyt，clogzt. 因为 ， 1 a 1 b 1 c 所以 logtxlogtylogtz. 所以 logt(xy)logtz.所以 zxy. 4.2.2对数运算法则 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握对数运算法则，并能运用对数运算法则进行对数式的化简、 求值与证明.2.掌握换底公式，并能运用换底公式将一般对数化成自然对数或常用 对数. 教学重点：对数运算法则、换底公式. 教学难点：对数运算法则及换底公式的应用. 知识点一对数运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，R，那么， (1)loga(MN)logaMlogaN； 01 推广：loga(N1N2Nk)logaN1logaN2logaNk(kN)； 02 (2)logaMlogaM； 03 (3)logalogaMlogaN. 04 M N 知识点二对数的换底公式 (1)logab，其中 a0 且 a1，b0，c0 且 c1. 01 logcb logca (2)转换成自然对数或常用对数 logab. 02 ln b ln a 03 lg b lg a 1对数运算性质口诀 积的对数变加法，商的对数变减法； 幂的乘方取对数，要把指数提到前 2换底公式的常用推论 (1)loganbnlogab；(2)logambn logab； n m (3)logablogba1；(4)logablogbclogcdlogad. 对于上述结论，都可采用换底公式证出，以(4)为例，证明如下： logablogbclogcdlogad. lg b lg a lg c lg b lg d lg c lg d lg a 1判一判(正确的打“” ，错误的打“”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差() (2)loga(xy)logaxlogay.() (3)log2(5)22log2(5)() (4)由换底公式可得 logab.() log2b log2a 答案(1)(2)(3)(4) 2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)log325log35_. (2)lg 8lg 53_. (3)若 lg 5a，lg 7b，用 a，b 表示 log75_. 答案(1)log35(2)3(3) a b 题型一对数运算法则的应用 例 1若 a0 且 a1，xy0，nN*，则下列各式： logaxlogayloga(xy)； logaxlogayloga(xy)； loga(xy)logaxlogay； loga； logax logay x y (logax)nlogaxn； logaxloga； 1 x loga； logax n n x logaloga. xy xy xy xy 其中式子成立的个数为()