1、10.2.1复数的加法与减法 一、复数的加法与减法的运算法则 1.思考 (1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? 提示:是复数,唯一确定. (2)若复数z1,z2满足z1-z20,能否认为z1z2? 提示:不能, 例如可取z1=3+2i,z2=2i. 2.填空 (1)复数的加、减法法则 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),称 z1+z2为z1与z2的和,并规 定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, 由复数和的定义可知,两个共轭复数的和一定是实数. 一般地,复数z=a+bi(a,bR)的相反数记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-
2、a- bi.复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2). 一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. (2)复数加法运算律 复数的加法运算满足交换律与结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有 z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 3.做一做 (1)判断正误. 复数加法运算符合实数加法的运算律. () 复数与复数相加减后结果只能是实数. () 因为虚数不能比较大小,所以虚数的模也不能比较大小. () 答案: (2)已知复数z1=3+4i,z2=
3、3-4i,则z1+z2等于 () A.8iB.6 C.6+8iD.6-8i 答案:B (3)已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于() A.0B.2iC.6D.6-2i 答案:D 二、复数加、减法的几何意义 1.思考 (1)复数加、减法的几何意义如何用文字叙述? 提示:复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几 何意义. 复数的减法可按照向量的减法来进行,这是复数减法的几何意义. (2)复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些? 提示: 设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,由复数减法的几何 意义,可得复平面内两点间的距离公式d=|z1-z2|. |z-z1|=
4、r(r0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心, 半径为r的圆. |z-z1|=|z-z2|,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段垂直平分线. 2.填空 (1)复数加、减法的几何意义 (2)性质 由复数加减法的几何意义可以得出 |z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2| 答案:B 解析:(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0. 答案:0 答案:-1-7i 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 复数的复数的加、加、减法运算减法运算 例1计算:(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i); (2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i); (3)(a+bi)-
5、(3a-4bi)+5i(a,bR). 解:(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i. (2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i. (3)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟复数的加、减法运算 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚部与 虚部合并,注意符号是易错点; (2)复数的加、减法运算结果仍是复数; (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的 混合运算; (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练1计算: 探究一探究
6、二探究三思维辨析当堂检测 复数复数加、减运算加、减运算的几何意义的几何意义 例2已知平行四边形ABCD的顶点A,B,D对应的复数分别为 1+i,4+3i,-1+3i.试求: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟向量加、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复 数加、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法 “指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的 复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点 对应的复数). 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练2在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i, 以
7、AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD 的长. 解:如图所示. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 复数模的最值问题复数模的最值问题 例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是() 解析:如图,设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3, 因为|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|=2, 所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为 |Z1Z3|=1. 所以|z+i+1|的最小值是1. 答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 (2)若复数z满
8、足|z+ +i|1,求|z|的最大值和最小值. 解:如图所示, 反思感悟1.|z1-z2|表示复平面内,复数z1,z2对应的点Z1与Z2之间的距 离,在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式; 2.涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公 式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 延伸探究若本例题(2)条件改为已知|z|=1且zC,求|z-2-2i|(i为虚数 单位)的最小值. 解:因为|z|=1且zC,作图如下: 所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的 距离,所以|z-2-2i
9、|的最小值为|OP|-1=2 -1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练3设z1,z2C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 |z-z0|(z,z0C)几何意义的应用 |z-z0|(z,z0C)的几何意义是：将模长问题转化为距离问题,将看上 去抽象的有关复数模的表达式,转化为直观形象的图形问题,体现 了“数学抽象”的核心素养 典例已知zC,指出下列等式所表示的几何图形: (1)|z+1+i|=1; (2)|z-1|=|z+2i|. 解析:(1)表示以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆. (2)以点(1,0),(0,-2)为
10、端点的线段的垂直平分线. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟1.|z-z0|(z,z0C)的几何意义 设复数z,z0在复平面内分别对应点A,B,则|z-z0|(z,z0C)的几何意义 是点A到点B的距离. 2.|z-z0|(z,z0C)几何意义的应用 (1)判断点的集合. (2)利用几何知识解决代数问题. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是() A.-2B.4C.3D.-4 解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,故选B. 答案:B 2.已知复数z满足z-2i=1(其中i为虚数单位),则|z|= () 答案:D 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 3.已知xR,yR,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=,y= . 答案:611 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 5.计算: (1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i); (3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2. 解:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i) =-7i+5-9+8i+3-2i =(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i. (3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i, z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i. =1+i.
