1、第九章 解三角形 9.1.1 正弦定理 复习三角形相关知识 1.角的关系：角的关系： 2.边的关系：边的关系： 两边之和大于第三边，两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边。两边之差小于第三边。 3.边角关系：边角关系： 大角对大边，大边对大角；大角对大边，大边对大角； 小角对小边，小边对小角；小角对小边，小边对小角； 等边对等角。等边对等角。 4.在直角三角形在直角三角形ABC中中,C=900,则则 。 A CB CBA C B A 222 ABBCAC 复习三角形相关知识 5.5.三角形的分类：三角形的分类： 三边都不相等的不等边三角形 三边都相等的等边三角形 有两边相等的等腰三角形 按边
2、分 有一个角是钝角钝角三角形 有一个角是直角直角三角形 每个角都是锐角锐角三角形 按角分 三角形的分类 . 3 . 2 . 1 . 2 . 3 . 2 . 1 . 1 6.6.三角形外接圆：三角形外接圆：与三角形各顶点都相交的圆。 三角形外接圆圆心是 三边垂直平分线交点 复习三角形相关知识 7.7.三角形全等条件三角形全等条件 （1）边角边：两边及其夹角对应相百等,这两个三角形 全等.简写成（S.A.S） （2）角边角：两角及其度夹边对应相等,这两个三角形 全等.简写成（A.S.A） （3）角角边：两角及其一角所对的边对应相等,这两个 三角形全等.简写成：（A.A.S） （4）边边边：三条边分
3、别对应相等,这两个三角形答全 等.简写成：（S.S.S） （5）直角边斜边：斜边和其中的一条直角边分别对应相 等,这两个三角形全等.简写成：（H.L） 情境与问题 在现代生活中，得益于科技的发展.距离的测量能 借助 红外测距仪、激光測距仪等工具直接完成.不过，在这些 工具没有出现以前.你知道人们是怎样间接获得两点冋距 离的吗？ 如图所示.若想知道河对岸的一点A与岸边点H之间 的距离，而且已经测量出了BC的长，也想 办法得到了 ABC与 ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？ 为了方便，将将ABC 3ABC 3个内角个内角A A，B, C B, C 所对的边分别记为所对的边分别记为a
4、a，b b，c c。 在这样的约定下.情境中的问题可以转化为：已知已知a a，B B，C C，如何求如何求c? c? 类似的问题可以通过构造直角三角形来解决.更-般地.可利用本小 节我们要介绍的正弦定理来求解。 尝试与发现 (1) 如图 9-1-2 所示，已知ABC 中,“a=5,b=3, C= ,你能求出这个三角形的面积吗？ (2) 一般地，在ABC中,如何根据a,b与C的值, 求出这个三角形的面积？ 3 解(1):如图9-12所示,在中ABC中,过点A作BC边上的高AD, 在RtADC中,由正弦的定义可知 AD = bsinC, 因此所求三角形的面积为 4 315 3 sin35 2 1
5、sin 2 1 CabS 尝试与发现 (2)一般地，在ABC中,如何根据a,b与C的值,求出这个三角形 的面积？ 解:当C为锐角时，在RtADC中,由正弦的定义 可知AD = bsinC,则 CabS ABC sin 2 1 当C为钝角时,如图,仍设ABC的BC 边上的高 为AD，则 CbCbACDbADsinsinsin 当C为直角时，sinC=sin900 =1， 仍有CabS ABC sin 2 1 仍然成立。,sin 2 1 CabS ABC 三角形面积公式 在ABC中,用上述方法，可以推导出下面 已知b，c与A的值,则 已知a，c与B的值,则 AbcBacCabSsin 2 1 si
6、n 2 1 sin 2 1 一般地，记ABC的面积为S，则 AbcS ABC sin 2 1 BacS ABC sin 2 1 正弦定理 由此三角形面积公式AbcBacCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 a A b B c C abc Ssinsinsin2 , 0sin, 0sin, 0sinCBA又因为 可得 C c B b A a sinsinsin 这就是正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的 正弦的比相等。正弦的比相等。 .0 ,0 ,0 , BB ACBA 可知 如图作如图作ABCABC外接圆，外接圆，R R为为AB
7、CABC外接圆半径外接圆半径 CDCD为为外接圆外接圆O O的直径，连接的直径，连接BDBD，则，则A=DA=D A B C a b c O D 三角形外接圆法推导正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin （R R为为ABCABC外接圆半径）外接圆半径） ,2 sinsin RCD D a A a 因此 ,2 sin ,2 sin R C c R B b 同理可证 从而证得 直径所对的圆周角是 直角，即角CBD为直角 正弦定理及其变形 在ABC中，角A，B，C，所对应的边分别为a，b，c， 三角形外接圆半径为R， 正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin
8、 变形： ;:sin:sin:sin3cbaCBA ;sin2,sin2,sin21CRcBRbARa ; 2 sin, 2 sin, 2 sin2 R c C R b B R a A .2 sinsinsin 4R CBA cba C A a B bc 左右分别相 加做比值 适用于任何三角形 例例1 1 已知ABC中，B=75,C=60,a =10,求 c. 解：由已知可得 A=180- B-C = 180-75-60=45. 由正向定理可知 C c A a sinsin 所以 65 45sin 60sin10 sin sin A Ca c 注意注意: : 在一个三角形中，已知两个角与一条边
9、已知两个角与一条边，就可求这个三角形的 另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边. 这与初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致. 把三角形3个角与3条边都称为三角形的元素。 已知三角形的若干元素求其他元素称为解三角形解三角形。 已知两角和任一边，求其 他两边和其余一角类型 例例2 2：求解这个三角形。，已知,30, 32, 2ABC Aba 解：解：, sinsinB b A a 因为 . 2 3 2 2 1 32 sin sin a Ab B所以 ，或所以由于 120B60B,1800B ,906030180180C60B BA时，有当 为斜边，是直角三角形，且此时
10、cABC ; 4322 2 222 bac从而 ,3012030180180C120B BA时，有当 . 2acABC等角对等边可知是等腰三角形，从而由此时 注意：注意：根据例2的解答可知.图9-1-4中的 (1)(2)都满足例2的条件.事实上，这与我 们初屮所学的SSA不能作为:角形全等的判 定定理一致. 已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其余两角类型 例例3 3：及三角形的面积。求，已知CABcb,120, 6, 63ABC 解：解： , 2 2 63 2 3 6 sin sin, sinsin b Bc C C c B b 得由 ，或所以由于 135C45C,1800C ,15451
11、20180180C45C CB时，有当 不合题意，应舍去。 时，有当,75135120180180C135C CB , 4 26 2 2 2 1 2 2 2 3 4560sin15sin 而 . 2 3927 4 26 663 2 1 sin 2 1 S Abc 所以三角形的面积为 已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其余两角类型 例例4 4： 并说明理由。是否存在 的判断满足条件 , ABC4, 1,30 caA 解：解：, sinsinC c A a 存在，则假设满足条件的三角形 . 2 1 30sin4sin sin a Ac C可知 。此不存在这样的三角形所以这是不可能的，因又因为,
12、 1sinC 总结总结：例2、例3、例4都是两边及一边的对角，此时三 角形形状不确定，所以解的个数不确定.题中最终有几 个解是由已知条件所确定的，明确所求角的范围是解 题的关键. 已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其余两角类型 探究三角形解的个数的确定因素 1.画图法画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 若无交点，则无解； 若有一个交点，则有一个解； 若有两个交点，则有两个解； 若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 2.2.公式法公式法：运用正弦定理进行求解。 absinA，0，则一个解； absinA，0，则两个解； absinA，0，则无解。
13、探究三角形解的个数的确定因素 练习：练习：下列关于ABC的说法正确的是（） A.若a7，b14，A30，则B有两解 B.若a30，b25，A150，则B只有一解 C.若a6，b9，A45，则B有两解 D.若b9，c10，B60，则C无解 直角三角形。 是求证：中，已知在ABCCBAABC,sinsinsin 222 例例5 5： , 0, sinsinsin kk C c B b A a 则设证明：证明： .sin,sin,sin k c C k b B k a A且 ,sinsinsin 222 CBA又因为 , 2 2 2 2 2 2 k c k b k a 所以 , 222 cba即 直
14、角三角形。 是理可知因此由勾股定理的逆定ABC 代 入 角化边 判断三角形形状 判断三角形形状 的形状。判断中，补充题：已知在ABCAbBaABC,tantan 2 解：由正弦定理可知,sin2,sin2BRbARa , cos sin sin2 cos sin sin2 22 A A BR B B AR 因此 ,cossincossinBBAA即 .2sin2sinBA 化简得 ,2222,0 ,0BABABA或所以因为 , 2 BABA或即 因此，ABC为等腰三角形或直角三角形。 边化角 代 入 利用正弦定理判断三角形形状的两种方法：利用正弦定理判断三角形形状的两种方法： 1利用正弦定理把
15、已知条件转化为边边关系转化为边边关系，通过因式分 解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； 2利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关转化为内角的三角函数间的关 系系， 通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角 形的形状，此时要注意应用A AB BC C这个结论 注意注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式一般两边不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解以免漏解 判断三角形形状 例例6 6：如图所示，在ABC中，已知 的角分线AD与 边BC相交于点D，求证： BAC . AC AB DC BD 证明：证明：如图，设 则由题意可知 ,BADADB .
16、,CADADC 在ABD和ADC中，分别应用正弦定理， 可得 , sinsinsin , sinsin ACACDC ABBD 两式相除即可得 . AC AB DC BD 内角平分线定理 一题多解：一题多解：例例6 6也可用面积公式或平面几何知识证明也可用面积公式或平面几何知识证明 课堂小结课堂小结 C c B b A a sinsinsin 高底 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 AbcBacCabS ;:sin:sin:sin3cbaCBA .2 sinsinsin 4R CBA cba ; 2 sin, 2 sin, 2 sin2 R c C R b B R a A ;sin2,sin2,sin21CRcBRbARa 1.正弦定理正弦定理： 正弦定理常用变形：正弦定理常用变形： 2.三角形面积公式：三角形面积公式： 3 3正弦定理的应用范围正弦定理的应用范围 (1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角 谢谢观看
