1、8.5 空间直线、平面的平行空间直线、平面的平行 知识梳理知识梳理 一、判定定理： 定理 表示 线面平行的判定定理面面平行的判定定理 文字叙述 平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线 与此平面平行 一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行， 则这两个平面平行 符号表示 a ba a b a b abA a b 图形表示 二、性质定理： 线面平行的性质定理面面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该 直线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行 符号语言 a aa b b =aaa b b 图形语言 作用线
2、面平行线线平行面面平行线线平行 知识典例知识典例 题型一 线面平行判定 例 1如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形， /AB CD，4AB ，2CD ，点M在棱PD上. 求证：/CD平面PAB 【详解】因为/CD AB，CD 平面PAB，AB平面PAB，所以/CD平面PAB； 巩固练习巩固练习 已知三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面 ABC，BAAC， 1 2ABAAAC，M 为 AC 中点. 证明:直线 1 /BC平面 1 ABM 【分析】 连接 1 AB交 1 AB于点 O，再证明 1 /OM BC，得证； 【详解】 证明：连接 1 AB交 1 AB于点 O，连接 O
3、M， 11 A ABB为平行四边形， O为 1 AB的中点， 又 M 为 AC 的中点， 1 /OM BC. 又OM 平面 1 ABM， 1 BC 平面 1 ABM. 1 /BC平面 1 ABM. 题型二 面面平行判定 例 2如图，在三棱柱 111 ABCABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、 11 AB、 11 AC的中点. （1）求证：B、C、H、G四点共面； （2）求证：平面 1/ EFA平面BCHG； （3）若 1 D、D分别为 11 BC、BC的中点，求证：平面 11/ ABD平面 1 AC D. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】 （1）证
4、明出/GH BC，即可证明出B、C、H、G四点共面； （2）证明/EF BC，可得/EF平面BCHG，证明四边形 1 AEBG是平行四边形，可得出 1 /AE BG，可证明出 1 /AE 平面BCHG，再利用面面平行的判定定理可证明出结论； （3）连接 1 AC交 1 AC于点M，可得出 1 /DM AB，可证明出/DM平面 11BD A，证明出四边形 11 BDC D为平行四边 形，可得出 11 /C D BD，可得出 1 /C D平面 11BD A，然后利用面面平行的判定定理可证明出结论. 【详解】 （1）GH是 111 ABC的中位线， 11 /GH BC. 在三棱柱 111 ABCAB
5、C中， 11 /BBCC且 11 BBCC，则四边形 11 BBCC为平行四边形， 11/ BCBC，/GH BC，因此，B、C、H、G四点共面； （2）E、F分别为AB、AC的中点，/EF BC. EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，/EF平面BCHG. 在三棱柱 111 ABCABC中， 11 /AABB且 11 AABB，则四边形 11 AAB B为平行四边形， 11 /AB AB且 11 ABAB， E、G分别为AB、 11 AB的中点， 1 /AG BE且 1 AGBE， 四边形 1 AEBG是平行四边形，则 1 /AE BG， 1 AE 平面BCHG，BG 平面BCHG， 1
6、/AE平面BCHG. 1 AEEFE，且 1 AE 平面 1 EFA，EF 平面 1 EFA，平面 1/ EFA平面BCHG； （3）如图所示，连接 1 AC，设 1 AC与 1 AC的交点为M，连接DM， 四边形 11 A ACC是平行四边形， M是 1 AC的中点， DQ为BC的中点， 1 /AB DM. DM 平面 11BD A， 1 AB 平面 11BD A，/DM平面 11BD A. 由（1）知，四边形 11 BBCC为平行四边形，则 11 /BC BC且 11 BCBC， DQ、 1 D分别为BC、 11 BC的中点，所以， 11 /BD C D且 11 BDC D， 四边形 11
7、 BDC D为平行四边形， 11 /C D BD， 又 1 DC 平面 11BD A， 1 BD 平面 11BD A， 1/ DC平面 11BD A. 又 1 DCDMD， 1 DC 平面 1 AC D，DM 平面 1 AC D， 平面 11/ ABD平面 1 AC D. 巩固练习巩固练习 如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，棱PD与EC均垂直于底面ABCD，2PDEC，求证：平面/EBC 平面PDA. 【答案】见解析 【分析】 由正方形的性质得出/BC AD，可得出/BC平面PDA，由线面垂直的性质定理得出/CE PD，可得出/CE平面 PDA，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
8、【详解】 由于四边形ABCD是正方形，/BC AD， BC 平面PDA，AD平面PDA，/BC平面PDA， PD 平面ABCD，CE 平面ABCD，/CE PD， CE 平面PDA，PD 平面PDA，/CE平面PDA， BCCEC ，平面 /EBC 平面PDA. 题型三 性质应用 例 3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和 AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：/AP GH. 【答案】证明见解析 【分析】 连接AC交BD于点O，连接MO， 推导出/MO PA 从而/AP平面BMD 由线面平行的性质定理可证明/AP G
9、H 【详解】 证明：如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO 四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中点 又M是PC的中点，/MO PA. 又MO 平面BDM，PA平面 BDM， /PA平面BDM 又PA平面PAHG，平面PAHG平面BDMGH， /AP GH 巩固练习巩固练习 如图，过正方体 1111 ABCDABC D的顶点 1 B、 1 D与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则 l与 11 B D的位置关系为_. 【答案】 11 /l B D 【分析】 利用面面平行的性质定理可得出l与 11 B D的位置关系. 【详解】 如图所示，连接 1 D P、 1 B
10、P， 在正方体 1111 ABCDABC D中，平面/ABCD平面 1111 DCBA，且平面 11 B D P平面 111111 ABC DB D，平面 11 B D P 平面ABCDl，所以 11 /l B D. 故答案为： 11 /l B D. 题型四 翻折问题 例 4如图甲，在直角梯形ABED中，/AB DE，ABBE，ABCD，F、H、G分别为AC、AD、DE的 中点，现将ACD沿CD折起，如图乙.求证：平面/FHG平面ABE. 【答案】证明见解析 【分析】 分别证明出/FH平面ABE，/GH平面ABE，然后利用面面平行的判定定理可得出平面/FHG平面ABE. 【详解】 翻折前，在图
11、甲中，ABCD，ABBE，/CD BE， 翻折后，在图乙中，仍有/CD BE， F、H、G分别为AC、AD、DE的中点，/FH CD，/HG AE，/FH BE， BE 平面ABE，FH 平面ABE，/FH平面ABE. AE 平面ABE，HG 平面ABE，HG/平面ABE. 又FHHGH，平面/FHG平面ABE. 巩固练习巩固练习 如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，/AD BC，6AD ，24BCAB，EF，分别在BC，AD上，且 EFAB， 现将四边形ABEF沿EF折起， 使BEEC.若1BE ， 在折叠后的线段AD上是否存在一点P， 使得/CP 平面ABEF？若存在，求出 AP PD
12、 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在； 3 2 AP PD = 【分析】 存在P，使得/CP平面ABEF，此时 3 2 AP PD =，易知 3 5 AP AD =，过P作/MP FD，与AF交M，则 3 5 MP FD =，可 证四边形MPCE为平行四边形，得到/CP ME，因此/CP平面ABEF成立 【详解】 在折叠后的线段AD上存在一点P，使得/CP平面 ABEF，此时 3 2 AP PD =以下为证明过程： 当 3 2 AP PD =时， 3 5 AP AD =，过点P作/MP FD，交AF于点M，连接EM， 则有 3 5 MPAP FDAD . 1BE ，5FD=， 3MP
13、.又3EC ，/MP FD EC，四边形MPCE为平行四边形， /CP ME，又CP 平面ABEF，ME 平面ABEF， /CP 平面ABEF成立. 题型五 比值求解 例 5如图所示，已知，都是平面，且 / / /，两条直线 l，m 分别与平面，相交于点 A，B， C 和点 D，E，F. 求证： ABDE BCEF . 【答案】证明见解析 【分析】 连接 DC，设 DC 与平面相交于点 G，连,BG GE，根据面面平行的性质定理，可得/ /BGAD，利用三角形相 似关系，即可证明结论. 【详解】 证明：连接 DC，设 DC 与平面相交于点 G， 则平面 ACD 与平面，分别相交于直线 AD，B
14、G， 平面 DCF 与平面，分别相交于直线 GE，CF. 因为/ /，所以/ /BGAD，因此CBGCAD， 因此 ABDG BCGC .同理可得 DGDE GCEF .因此 ABDE BCEF . 巩固练习巩固练习 已知：如图，三棱柱 111 ABCABC中，点 D， 1 D分别为 AC， 11 AC上的点若平面 1 BC D平面 11 AB D，求 AD DC 的 值 【答案】1 【分析】 连接 1 AB交 1 AB于点 O，连接 1 OD，由平面 1 BC D平面 11 AB D，得到 11 BCDO，由平面 1 BC D平面 11 AB D， 得到 11 ADDC， 11 ADC D是
15、平行四边形， 根据 1111 1 2 DCAC， 得到 1111 11 22 ADC DACAC， 所以得到1 AD DC . 【详解】 如图，连接 1 AB交 1 AB于点 O，连接 1 OD 由棱柱的性质，知四边形 11 A ABB为平行四边， 所以点 O 为 1 AB的中点 因为平面 1 BC D平面 11 AB D， 且平面 11 ABC 平面 111 AB DDO， 平面 11 ABC 平面 11 BC DBC， 所以 11 BCDO， 所以 1 D为线段 11 AC的中点， 所以 1111 1 2 DCAC 因为平面 1 BC D平面 11 AB D， 且平面 11 AAC C 平
16、面 11 BDCDC， 平面 11 AAC C 平面 111 AB DAD， 所以 11 ADDC 又因为 11 ADDC， 所以四边形 11 ADC D是平行四边形， 所以 1111 11 22 ADC DACAC，所以1 AD DC 巩固提升巩固提升 1、 如图， 在四面体ABCD中，M是AD的中点，P是BM的中点， 点Q在线段AC上， 且3AQQC求证：/PQ 平面BCD. 【答案】证明见解析 【分析】 取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得3DFFC，连接OP、OF、FQ，证明出四边形OPQF为平行四边 形，可得出/PQ OF，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出/PQ平面BCD.
17、 【详解】 如下图所示，取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得3DFFC，连接OP、OF、FQ. 3AQQCQ，3 AQDF QCFC ，/QF AD，且 1 4 QFAD. O、P分别为BD、BM的中点，/OP AD，且 1 2 OPDM. M为AD的中点， 1 4 OPAD. /OP QF且OPQF，四边形OPQF是平行四边形，/PQ OF. PQ Q平面BCD，OF 平面BCD，/PQ平面BCD. 2、如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，M、E、F、N分别为 11 AB、 11 BC、 11 C D、 11 D A的中点，求证： （1）E、F、D、B四点共面； （2）平
18、面/AMN平面EFDB 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1） 利用中位线的性质得出 11 /EF B D， 再证明出 11 /BD B D， 利用平行线的传递性得出/EF BD， 即可证明出E、F、 D、B四点共面； （2）连接NE、MF，证明四边形ABEN是平行四边形，可得出/AN BE，利用直线与平面平行的判定定理可证明 出/AN平面EFDB， 同理可证明出/AM平面EFDB， 最后利用平面与平面平行的判定定理可证明出平面/AMN平 面EFDB 【详解】 （1）E、F分别是 11 BC、 11 C D的中点， 11 /EF B D， 在正方体 1111 ABCDA
19、BC D中， 11 /BBDD，四边形 11 BB D D为平行四边形， 11 /BD B D，/EF BD，因此，E、F、D、B四点共面； （2）如下图所示，连接NE、FM， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 1111 /ADBC， NQ、E分别为 11 AD、 11 BC的中点， 11 /A N B E ，则四边形 11 AB EN为平行四边形， 11 /NE AB ， 11 /AB AB ， /AB EN ，则四边形ABEN为平行四边形，/AN BE， AN 平面EFDB，BE 平面EFDB，/AN平面EFDB， 同理可证/AM平面EFDB， ANAMA，平面/AMN平面EFD
20、B. 3、如图，在三棱柱 111 ABCABC中，D、P分别是棱AB， 11 AB的中点，求证： （1） 1 AC 平面 1 BCD； （2）平面 1 APC平面 1 BCD 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【分析】 （1）设 1 BC与 1 BC的交点为O，连结OD，证明 1 ODAC，再由线面平行的判定可得 1 AC 平面 1 BCD； （2）由P为线段 11 AB的中点，点D是AB的中点，证得四边形 1 ADB P为平行四边形，得到 1 APDB，进一步得到 AP平面 1 BCD再由 1 AC 平面 1 BCD，结合面面平行的判定可得平面 1 APC平面 1 BCD 【详解】 证明：
21、（1）设 1 BC与 1 BC的交点为O，连结OD， 四边形 11 BCC B为平行四边形，O为 1 BC中点， 又D是AB的中点，OD是三角形 1 ABC的中位线，则 1 ODAC， 又 1 AC 平面 1 BCD，OD 平面 1 BCD， 1 AC 平面 1 BCD； （2）P为线段 11 AB的中点，点D是AB的中点， 1 ADB P且 1 ADB P，则四边形 1 ADB P为平行四边形， 1 APDB， 又AP 平面 1 BCD， 1 DB 平面 1 BCD， AP平面 1 BCD 又 1 AC 平面 1 BCD， 1 ACAPP，且 1 AC 平面 1 APC，AP 平面 1 AP
22、C， 平面 1 APC平面 1 BCD 4、已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD中，点E在PD上，且:2:1PE ED ，在棱PC上是否存在一点F， 使BF平面AEC？证明你的结论. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 连接BD交AC于O， 连接OE， 过B点作OE的平行线交PD于点G， 过点G作GFCE， 交PC于点F， 连接BF， 利用线面平行的判定定理，证得BG平面AEC，同理GF平面AEC，证得平面BGF平面AEC，得到BF平 面AEC，进而得到GFCE，即可得到答案 【详解】 在棱PC上存在点F，使BF平面AEC， 证明： 如图所示， 连接BD交AC于O， 连接OE， 过B点作OE
23、的平行线交PD于点G， 过点G作GFCE， 交PC 于点F，连接BF， 因为BGOE，BG 平面AEC，OE 平面AEC， 所以BG平面AEC，同理，GF平面AEC， 又BGGFG，所以平面BGF平面AEC，所以BF平面AEC， 因为BGOE，O是BD的中点，所以E是GD的中点， 又因为:2:1PE ED ，所以G是PE的中点， 而GFCE，所以F为PC的中点， 综上可知，当点F是PC的中点时，BF平面AEC. 5、如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，2AB ，1AF ，M是线段EF的中点.求证： /AM平面BDE. 【答案】证明见解析 【分析】 设AC与BD的交点为O
24、，连接OE，利用线面平行的判定定理，即可证明结果. 【详解】 证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. ,O M分别是,AC EF的中点，四边形ACEF是矩形， /EM OA，且EMOA， 四边形AOEM是平行四边形，/AM OE. 又OE 平面 BDE，AM 平面 BDE， /AM平面 BDE. 6、如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，MN，分别是AC和 1 BB的中点.求证：/MN平面 11 A BC. 【答案】证明见解析 【分析】 取 1 AC的中点 D，由中位线定理和平行线的传递性可证四边形 1 DMNB为平行四边形，可得 1 MNB D，再根据线面 平行的判定定理即可证明
25、结果. 【详解】 证明：取 1 AC的中点 D，连接MD， 1 B D. M，D 分别为 AC， 1 A C的中点， 1 /MD AA且 1 1 2 MDAA. 又N为 1 B B的中点， 11 /B N AA且 11 1 2 B NAA， 1 /MD B N且 1 MDB N=，四边形 1 DMNB为平行四边形， 1 /MN B D. MN 平面 111 ABCB D ，平面 11 A BC， /MN平面 11 A BC. 7、如图，在斜三棱柱 111 ABCABC中， 1 D为 11 AC上的点当 11 11 AD DC 为何值时， 1 BC 平面 11 AB D？ 【答案】当 11 11
26、 1 AD DC 时， 1 BC 平面 11 AB D. 【分析】 先由题意，判断出结果；再连接 1 AB交 1 AB于点O，连接 1 OD，根据线面平行的判定定理，证明 1 BC 平面 11 AB D即 可. 【详解】 当 11 11 1 AD DC 时， 1 BC 平面 11 AB D. 如图，连接 1 AB交 1 AB于点O，连接 1 OD. 由三棱柱的性质知，四边形 11 A ABB为平行四边形， 所以点O为 1 AB的中点. 在 11 ABCV中， 1 OD，分别为 111 ABAC，的中点， 11 ODBC. 又 1 OD 平面 11 AB D， 1 BC 平面 11 AB D， 1 BC平面 11 AB D， 当 11 11 1 AD DC 时， 1 BC 平面 11 AB D.
