1、专练 45椭圆 考查椭圆的定义、标准方程及几何性质. 基础强化 一、选择题 1椭圆x 2 16 y2 6 1 上一点 M 到其中一个焦点的距离为 3，则点 M 到另一个焦点的距离为 () A2B3 C4D5 2已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x 2 3 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长为() A2 3B4 3 C6D12 3已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，则( ) Aa22b2B3a24b2 Ca2bD3a4b 42021全国新高考卷已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 9 y 2 4 1 的两个焦点，
2、点 M 在 C 上， 则|MF1|MF2|的最大值为() A13B12 C9D6 5已知椭圆的长轴长为 8，离心率为3 4，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 2 16 y2 9 1 B.x 2 16 y2 7 1 或x 2 7 y 2 161 C.x 2 16 y2 251 D.x 2 16 y2 251 或 x2 25 y2 161 6曲线x 2 25 y2 9 1 与 x2 25k y2 9k1(kb0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点， 且PF 1 PF2 ， 若PF1F2的面积为 9，则 b_. 能力提升 13已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直
3、线与 C 交于 A，B 两点若|AF2| 2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为() A.x 2 2 y21B.x 2 3 y 2 2 1 C.x 2 4 y 2 3 1D.x 2 5 y 2 4 1 14已知椭圆 C: x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A 1、A2，且以线段 A1A2为直径的 圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为() A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D.1 3 15 F1， F2是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右焦点， 若椭圆上存在一点 P， 使F 1PF290， 则椭圆的离心率的取值范围是_ 16已
4、知椭圆x 2 9 y 2 5 1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方若线段 PF 的中点 在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是_ , 专练专练 45椭圆椭圆 1Da4，由椭圆的定义知，M 到另一个焦点的距离为 2a32435. 2B由椭圆的方程得 a 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得|BA|BF| |CA|CF|2a，所以ABC 的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|) (|CF|CA|)2a2a4a4 3. 3B由题意得，c a 1 2， c2 a2 1 4，又 a 2b2c2，a 2b2 a2 1 4
5、， b2 a2 3 4，4b 23a2.故选 B. 4C由题，a29，b24，则|MF1|MF2|2a6， 所以|MF1|MF2| |MF1|MF2| 2 29(当且仅当|MF1|MF2|3 时，等号成立) 故选 C. 5B2a8，a4，ec a，c3，b 2a2c21697，椭圆的标准方程为 x2 16 y2 7 1 或y 2 16 x2 7 1. 6Dc225k(9k)16，c4， 两曲线的焦距相等 7C由题可知椭圆的焦点落在 x 轴上，c2， a24c28，a2 2，ec a 2 2 2 2 2 . 8C由已知 a2，b 3，c1， 若 P 为短轴的顶点(0， 3)时，F1PF260，P
6、F1F2为等边三角形， P 不可能为直角， 若F190，则|PF1|b 2 a 3 2， SPF1F21 2 b2 a 2c3 2. 9D 不妨设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， PF2F160，|F1F2|2c，|PF2|c， |PF1| 3c，由椭圆的定义知|PF1|PF2|( 31)c2a. e2c 2a 2 31 31. 10(3,4)(4,5) 解析：由题意可知 5k0， k30， 5kk3， 解得 3k4 或 4kb0)，连接 F 1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1| 3m.由椭圆的定义知，4m2a，得 ma 2，故|F 2A|a|F1A|，则点 A
7、为椭圆 C 的上顶点或下顶 点令OAF2(O 为坐标原点)，则 sin1 a.在等腰三角形 ABF 1中，cos2 a 2 3a 2 1 3，所以 1 3 12 1 a 2，得 a23.又 c21，所以 b2a2c22，椭圆 C 的方程为x2 3 y 2 2 1.故选 B. 14 A由题意得(0,0)到直线 bxay2ab0 的距离为 a， 2ab a2b2a，a 2b24b2， a23b23(a2c2)，c 2 a2 2 3，e 6 3 . 15. 2 2 ，1 解析：设 P0为椭圆x 2 a2 y2 b21 的上顶点，由题意得F 1P0F290， OP0F245，c asin45，e 2
8、2 ， 又 0e1， 2 2 e0)，由题意知 F(2，0)，所以线段 FP 的中点 M 2m 2 ，n 2 在圆 x2y24 上，所以 2m 2 2 n 2 24，又点 P(m，n)在椭圆x2 9 y 2 5 1 上，所以m 2 9 n 2 5 1，所以 4m236m630，所以 m3 2或 m 21 2 (舍去)，n 15 2 ，所以 kPF 15 2 0 3 22 15. 优解：如图，取 PF 的中点 M，连接 OM， 由题意知|OM|OF|2，设椭圆的右焦点为 F1，连接 PF1，在PFF1中，OM 为中位线， 所以|PF1|4，由椭圆的定义知|PF|PF1|6，所以|PF|2. 因为 M 为 PF 的中点，所以|MF|1.在等腰三角形 OMF 中，过 O 作 OHMF 于点 H，所 以|OH|22 1 2 2 15 2 ，所以 kPFtanHFO 15 2 1 2 15.
